1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных31.Доказать, что через каждую точку (х; у;координатнойплоскости,проходят триz),не лежащую напопарно ортогональные поверхности видах2-- +л2 - а2-у2Ь2л2 -+Z2Л2 -с2--1,а> Ь > с > О,эллипсоид, однополостный И двуполостный гиперболоиды.32.х2К эллипсоиду 2а+у2Ь2Z2+ 2 == 1,са> О,Ь> О,с> О,провестикакую-либо касательную плоскость так, чтобы:сумма длин отрезков, отсекаемых ею на координатных осях,1)была наименьшей;2)центр тяжести треугольника, высекаемого на ней плоскостямикоординат,находилсянанаименьшемрасстоянииотцентраэллипсоида;3)тетраэдр, ограниченный ею и координатными плоскостями,имел наименьший объем.Исследовать особые точки кривых, заданных уравнениями35).(33-Найти касательные в особых точках.33.
1) х 3 + у3 - 3ху == О; 2) х 3 - 2х 2 у - у2 == О;3) х 3 + у3 - 3х 2 == О; 4) х 3 - 2х 2 + х - у2 == О;5) х 3 - 2х 2 у + 2 ху 2 + 2х 2 - 2ху + х == О; 6) х 4 + ху - у4 == О;7) у4 + х 2 у 2 - 4х 2 == О; 8) х 4 + у4 - х 2 - у2 == О;9) х 2 у 2 - (у + 1)2(4 - у2) == О; 10) х 4 + у4 - 8х 2 - 10у2 + 16 == О;11) х 5 - (у - 2х 2 )2 == О; 12) у5 + 5 у 4 - 4х 2 == О;13) х 6 - (у - 2)4 - х 2 == О; 14) у6 - у4 + х 2 == о.34. 1) у2 == ах 2 + х 5 ; 2) х(х 2 + у2) + а(у2 - х 2 ) == О, а 1: О;3) (2а - х)у2 == х(х - а)2, а 1: О;4) (х 2 + у2)(у - а)2 - Ь 2 у 2 == О, а > О, Ь > О;5) у2==х 3 +ах+Ь; 6) у2==(х-а)(х-Ь)(х-с), a~Ь~c.35.
1) х 2 / 3 + у2/3 == 22/3; 2) у2 == sin х 2 ; 3) у2 == sin 3 х;4) у2 == 1 - е- х2 ; 5) у2 == 1 _ е- Х3 ;6)7)8)36.== { х/(l + е 1 / Х ), если х 1: О,уО,если х == о·,-у уХ{XlnX,О,==если Хесли Х1: О,== о·,хУ •Определить порядокnособой точки (О, О) кривой и построитькривую в окрестности этой точки:1) х 4 + 2х 2 у - ху2 + у2 == О; 2) х 4 - 6х 2 у + 25 у 2 - 16х 2 == О;3) (х 2 + у2 - 6х)2 - (х 2 + у2) == О; 4) х 4 + у4 - 6 у 3 + 8х 2 у == О;5) х 4 + 2 у 3 - 4х 2 у == О; 6) х 5 + у5 - ху2 == О;§ б.7)у3-х2 уГео.меmрuчеСffuе nрuложенuя+ х == О;58)Определить порядок37.+ у2)3(х 227х 2 у 2-139==о.особой точки (О; О) уравненияn(у/3)3+ (х/5)5 == о.Имеет ли кривая, определяемая этим уравнением, особые точки?Найти огибающую семейства прямых:38.1)4)5)6)8)39.у======Сх- С 2 ; 2) у == С х+ 1/ С;3) у == С х - ln С;+ cosC, ICI < п/2;уСх + I(С), 1 - непрерывно дифференцируемаяxcosC + ysinC == р, р> О; 7) 3(Сх - у) == С ;уСхфункция;32С 2 (у- Сх) == 1.Найти огибающую семейства прямых, образующих с координатными осями треугольники постоянной площади В.40.Найти огибающую семейства прямых, содержащих отрезокпостоянной длины41.а,концы которого скользят по осям координат.Доказать, что огибающая нормалей плоской кривой есть эволюта этой кривой.42.
На дугу окружности х 2+ у2 == а2, х> О,падает пучок параллельных лучей, направленных вдоль оси х. Найти катакаустику, т. е.огибающую отраженных лучей.43. Найти огибающую семейства окружностей:1) (х - С)2 + у2 == R 2; 2) (х - С)2 + у2 == С 2 /2;3) (х - С)24) (х - С)244.22~R/V2.Найти огибающую семейства окружностей, имеющих центрына параболе у245.+ (у - С)2 == С ;+ у2 == R2 - С , ICI==2х и проходящих через ее вершину.Найти огибающую семейства окружностей, построенных какна диаметрах на фокальных хордах параболы у2==8х.46.
Найти огибающую семейства эллипсов х 2 /а 2сумма полуосей каждого эллипса постоянна и равна47.+ у2/Ь == 1,2еслиd.Найти огибающую семейства парабол:1) у =(Х+Сс-1)2; 2) х= С+2~; 3) у = х 2-2Сх - ЗС 2 ;4) у2==2Сх+С 2 ; С#О; 5) y==C 2 (x-С)2, С#О;6) Сх 2 + С 2 у == 1.48.Найти параболу безопасности, т. е. огибающую траекторийснарядов,выпущенных с начальной скоростьюVoв вертикальнойплоскости при всевозможных углах бросания а (сопротивлением воздуха пренебречь).49.Найти огибающую семейства кривых:140 Гл. 1.
Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных1) у == С 2 /(х - С); 2) у == С/х - С 2 ; 3) х == у4/(4С) + С, С > О;4) ((y-С)/3)3+((х+С)/5)5==0; 5) у==Се Х / С ;6) у==Се 2Х +1/С; 7) y==x+sin(x+C); 8) у==С· tgx-C 2.Найти50.иисследоватьдискриминантную кривую семействакривых:1) С 2 у == 4(С + l)х; 2) у == (х - С)3; 3) у2 == (х - С)3;4) у3 == (х - С)2; 5) у - С == ((х - С)/3)3;6) ((у + С)/5)5 == ((х + С)/7)7;7) у == 3Сх 4 / 3 - С 3 ; 8) (2 - х)(у - С)2 == х 2 (2 + х);9) х 3 + (у - С)3 == 3х(у - С); 10) (у - (х - С)2)2 == (х -С)5.Найти огибающую семейства поверхностей:51.z==(x-1)соsС+(у-2)siпС; 2) X 2 +y2+(Z-С)2==R 2 ;(х - С)2 + (у - С)2 + (z - С)2 == R 2;(х - С)2 + (у - С)2 + (z - С)2 == С 2 , Со.1)3)4)1:52.
Найти огибающую сфер радиуса R, центры которых лежат:1) на окружности х 2 + у2 == т 2 , Z == О; 2) на конусе х 2 + у2 == z2.53. Найти огибающую эллипсоидов х 2 / а 2v.имеющих постоянный объем+ у2/Ь + Z2 / с ==221,ОТВЕТЫ1. 1) х2х2)+ 2у -+ 2у -z2, х _ 2 -==z == 2х-1у-12-1 'z-2-_.-1 'х+25)z== -1 ,6)23х7)не существуют;у19у-- z == 1,- 4·'{ху ==== 1;1,+ 5z + 60 ==хО11) ех - z == О8)О,х+3у-423-19не существуют;== У - 1 == -z; 10)х- 1'е1г== !L ==Ох-1Гуz -175+ z == О,е.-1'У - 1z - 1Г/4- - ==-12х-z -+ 2z == -2 ' х - 1 ==.1) 3х + 4у - 12z == 169, 3 == у4 == z-12;х + у + 3z == 9, х - 1 == у - 2 == (z - 2)/3;х + 11у + 5z == 18, х - 1 == (у - 2) /11 == (z + 1) /5;2х + у + 11z == 25, (х - 1) /2 == у - 1 == (z - 2) /11;12)2)3)4)-у-1+ 8у + z + 4 == О ' 8 == - == z8у-1х - 2у + z == О х - 1 == - - == z - 1·,-2'4)2.2== - - =='23) 8х9)у - 1 _ z - 1.-х-ух1гу-1== - - == z;-1Г§ б.Гео.меmрuчеСffuе nрuложенuя1415) 5x+4y+z==28, (x-2)/5==(y-3)/4==z-6;6) х + 2у == 4, х - 2 == (у - 1) /2 == z /0;7) х + у - 2z == О, х - 1 == у - 1 == (z - 1)/( -2);8) x+y-4z==0, x-2==y-2==(z-1)/(-4).3.
1) 12х - 9у + 2z == 9, (х - 3)/12 == (у - 5)/( -9) == (z - 9)/2;2) 6х + 3у - 2z == 7, (х - 1)/6 == (у - 3)/3 == (z - 4)/( -2);3) 3х - у - 2z + 4 == О, (х - 1)/( -3) == у - 1 == (z - 3)/2;4) chv21 (х + у) - (sh l)z = 1, х = у = - cthv21 ( z - 2 sh 1) .+Ха Ха24. 1)3) ХаХ - уауqра2 Х5. 1)+ Za Z ==с== z + Za.Уа уЬ2- Ха2==ь2 УХа2)р-Х3) а 2ХаХ-ХаХа6 · 1) x аn-а2== _ с 2==у-УаУаЬ2у-==УаУаZ - Za-1==-с2Ха Ха2+2а2_ Za Zс2== -1.'Z - Za ;Za;Z - Za2, если хZaа+ yn-l y + zn-l Z -- а n ,.)Ха Х + (2т + а )УаУ + (2таУа уЬ22+ у а2 + z а2 i:о.== т 4 ,2т == Х6 + У6 + z6 > о.7. 1) (cos va)x + (sin va)Y - z == О, Ха Х + УаУ - ZaZ == О;cos иа cos Vacos иа Sln Va( .)1 ХаХУаУ12)3х +2У + Sln иа z == , 9+ 4 + Za z == .8.
1) (cos Фа cos <ра ) х + (cos Фа sin <ра ) У + (sin Фа) z == а + Ь cos Фа;2) (cos <ра cos Фа)Х + (cos <ра sin Фа)У - (sin <Ра) (z - ln tg (<Ра /2)) == о.9. Х - 6у + 9z == 16, 5х + 3у + 9z + 16 == о.10. Х + 2у - z + 5 == о.2) (2т21Х'Уа== qХа- Уа1. 2)-2a )za z11. 1) (О; 3; 3), (О; 3; -7), (5; 3; -2), (-5; 3; -2), (О; -2; -2),(О; 8; -2);2) (1; 1; О), (1; -1; О), (О; О; О), (2; О; О);3) (О; 2J2; -2J2), (О; -2J2; 2J2), (2; -4; 2), (-2; 4; -2), (4; -2; О),(-4; 2; О).12. 1) 2х - 2у + 4z == ±yI22;2) Х - у + 2z == ±уь; 3) Х + 2у - 2 == О, Х + 2у == о.13. 1) 4х - 2у - 3z == 3; 2) 3х + 4у == 24, 3х - 28у == 120.14. 1) Х + у == 1 ± J2; 2) 2х + 2у - z == 4.15. 4х - 5у - 2z + 2 == о.16.
Х + у + z == Va 2 + Ь2 + с 2 .17. 9а 3 /2.2 О · Za у''---(Х--=6-+-у----,,6,.....-)-/(-Х=-6-+-У-=-6-+-1-) .22. Х - 2 == (у - 10/3)/3 == (z + 4)/4.23. (-1;2±уЬ;1).24. (20/7; 15/7; 2), (-20/7; -15/7; -2).26. arccos(2/3), arccos( -2/3), arccos( -1/3).142 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных27.(О; О; Zo1г+ J X 5+ У5/ f'( J X 5+ у5))·28. 1) -; 2) arccos22azobva 2 + Ь 2,аппликата точки пересечения;Zo -3) 7г /2.29.
7г /2.32. 1) х/ <га2 + у/ W + z/ <гс2 ==<га2 + W + <Гс2;2) x/yГa+y/vГЬ+z/yГc == Va+b+c; 3) x/a+y/b+z/c == vГз.33. 1) (О; О) - узловая точка с касательными х == О и у == О;2) (О; О) - точка возврата первого рода с касательной у == О;3) (О; О) - точка возврата первого рода с касательной х == О;4) (1; О) - узловая точка с касательными у == ±(х - 1);5) (-1; О) - изолированная точка;6) (О; О) - узловая точка с касательными у == О, х == О;7) (О; О) - точка самоприкосновения с касательной х == О;8) (О; О) - изолированная точка;9) (О; -1) - узловая точка с касательными у == ±х/vГз - 1;10) (±2; О) - узловые точки с касательными у == ±2-J275 (х - 2),у == ±2-J275 (х + 2);11) (О; О) - точка возврата второго рода с касательной у == О;12) (О; О) - точка самоприкосновения с касательной х == О;13) (О; 2) - изолированная точка;14) (О; О) - точка самоприкосновения с касательной х == о.34.
1) (О; О) - изолированная точка при а < О, узловая с касаJтельными утельной у====±УГа х при аО при а2) (О; О) 3) (а; О) 4) (О; О) тельными у ==точка возврата первого рода с касаО;====узловая точка с касательными уузловая точка с касательными уизолированная точка при Ь±ax/Vb2 -с касательной х5) если а==> О,< О,==а2при Ь> а,== а;Ь == (2а/3) J< а,±х;±(х-а);узловая точка с касаточка возврата первого родаО при Ьто при-а/3 изолированная особая точка (-J-a/3;0), при Ь== (-2a/3)J-a/3 узловая точка (J-a/3;0) скасательными у == ± {I-a/3( vГзх - УСа), если а == Ь == О, то (О; О) точка возврата первого рода с касательной у== О,при остальных значениях а и Ь особых точек нет;6) если а< Ь < с,== Ь < с,то особых точек нет, если аизолированная точка, если а < Ь == с, то (Ь; О)-касательными ус, то (а; О) -== ±Vb -а(х-Ь), если авозврата первого рода с касательной у(О;==== Ь ==то (а; О) узловая точка сточкао.35.
1) (±2; О) - точка возврата первого рода с касательной±2) - точки возврата первого рода с касательной х == О;2) (О; О) - узловая точка с касательными у == ±х;у== О;§ б.миГео.меmрuчеСffuе nрuложенuя1433) (kn; О), k Е Z - точки возврата первого рода с касательных == kn;4) (О; О) - узловая точка с касательными у == ±х;5) (О; О) - точка возврата с касательной у == О;6) (О; О) - узловая точка; 7) (О; О) - точка прекращения;8) (е; е) - узловая точка с касательными у == х, х + у == 2е.36. 1) n == 2, точка возврата второго рода с касательной у == О;2) n == 2, узловая точка с касательными у == ±4х/5; 3) n == 2,узловая точка с касательными у == ±у135 х;4) n == 3, касательные у == О, У == ±2х/v'З;5) n == 3, касательные у == О, У == ±J2x;6) n == 3, касательные у == О, х == О;7) n == 3, касательные у == О, У == ±х;8) n == 4, касательные у == О, х == о.37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
