1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Да, см., например, 8, 4). 12. Нет, см., например, 6, 5).13. 1) Минимум и( -2/3; -1/3; -1) == -1/3;2) максимум и( -3; 2; -1) == 22; 3) экстремумов нет;4) минимум и(6;-18;2) == -112; 5) максимум и(4;4;2) == 128;6) максимум и(7; 7; 7) == 77, нестрогий максимум или минимумu == О в точках плоскости у == О, не лежащих на прямых х == О, z == О,х + 3z == 49.14. 1) Минимум и(1; 1; 1) == 5, максимум и( -1; 1; -1) == -3;2) минимум и(8; 4; 2) == 60;3) минимум и(1/2; 1; 1) == 4, максимум и( -1/2; -1; -1) == -4;4) нестрогий минимум u == 3 в точках прямой х == у == z, крометочки (О; О; О).15. 1) Максимум и(7Г /2; 7г /2; 7г /2)== 4;126 Гл.
1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных2)1 -7) == -ve5 '(_.10' '10максимум uо·5минимум u(1- _.10"о·- -107)ve'3) максимум и( 4; 6; 10) == 131n 2 + 31n 3 + 51n 5.16. 1) Максимум и(с; с; ... ; с) == с 1 /С, с == 2/(n 2 + n + 2);2) минимум и(x~; xg; ... ; x~) == (n + 1)(Ь/а)1/(n+l), x~ == a1- k /(n+l)xх bk /(n+l), k == 1,2, ... , n.17. 1) Максимум и(2; 3) == 5; 2) минимум и(1; О) == -7;3) максимум и(3; -1) == 13/3;4) нестрогий максимум u == 1 в точках окружности х 2 + у2 == 3;5) нестрогий минимум u == -4 в точках окружности х 2 + у2 == 25.18.1) Минимум иl( -1; 1) == -5, максимум и2( -1; 1) == 1;2) минимум иl(О, -2) == 1, максимум и2(0; 16/7) == -8/7;3) минимум иl(-1;2) == 1, максимум и2(-1;2) == -2;4) минимум иl (О; О) == 2V2, максимум и2(0; О) == V2, минимумuз(О; О) == -V2, максимум и4(0; О) == -2V2.19.
1) Максимум и(1/2; 1/2) == 1/4;2) минимум и(18/13; 12/13) == 36/13; 3) максимум и(2; 1) == 3;4) минимум и(1; О) == О, максимум и(1/3; 1/3) == 1/27;5) минимумы и(57Г /8 + nk; 37Г /8 + nk) == 1 - 1/ V2, максимумыи(7Г/8 + nk; -7Г/8 + nk) == 1 + 1/V2, k Е z.20. 1) и(а/2; Ь/2) == аЬ/4, минимум, если аЬ < О, максимум, еслиаЬ> О;аЬ22) м и н и мум u (3) u ( Ь 2аь22а+2Ь2 ;а Ь)2а Ь)2а+Ь2а ь==22а+2Ь2 ;2== Ь 22' минимум, если а> Ь 2 , максимум, если а 2 < Ь 2 , при а == Ь, экстремумов нет;4) и(а/3; 2Ь/3) == (4/27)аЬ 2 , минимум, если а < О, максимум, еслиа > О, и(а; О) == О, минимум, если а > О, максимум, если а < о.21.
1) Минимум и(3; 4) == -20, максимум и( -3; -4) == 30;2) минимум и( -4; 1) == 9, максимум и(4; -1) == -7;3) два минимума u(±l/V2; =r=1/V2) == 1/2 и два максимумаu(±l/V2; ±1/V2) == 3/2;4) два минимума и(±3; =r=2) == -50 и два максимума и(±4; ±3/2) ==== 425/4;5) минимум и( -Т / аА; -Т /ЬА) == -Т А, максимум и(т / аА; r /ЬА) ==-а2;а2Ь222а Ь-а==тА, где A==Va2+b2/labl.Минимум и(О; О) == 2; 2) минимум и(1; О) == 1. Метод Лагранжа неприменим в случаях 1), а) и 2), так как ранг матрицы (6)22. 1)в точкахминимума не равен единице.23.
1) Минимум и( -4; -4) == 1/2, максимум2) максимум и(-1/2;-1/2) == -21n2.и(4;4) == 3/2;§ 5.Э1iсmремумы ФУН1iЦUЙ12724. Нет, СМ., например, 22,2).25. 1) Минимум и(6; 4; 3) == 156; 2) максимум и(2; 4; 6) == 6912;3) максимум и(2; 2; 2) == 512; 4) максимум и(7Г /6; 7г /6; 7г /6) == 1/8;5) минимум и( -1; 2; -2) == -9, максимум и(1; -2; 2) == 9;6) минимум и( -2; 2; -2) == -8, максимум и(2; -2; 2) == 8;7) минимумы и(1; 1; -1) == и(1; -1; 1) == и( -1; 1; 1) ==== и( -1; -1; -1) == -1,максимумы и(1; 1; 1) == и(1; -1; -1) == и( -1; -1; 1) ==8) минимум и(6; 6; 3) == 108;== и( -1; 1; -1) == 1;9) минимумы и(О; О; ±с) == с 2 , максимумы и(±а; О; О) == а 2 ;10) минимум u(dya; dVБ; dyC) == d2 , d == уа + VБ + уС.26.
1) Максимум и(11/4; -5/2; -11/4) == 605/32;2) минимумы и(2; 2; 1) == и(2; 1; 2) == и(1; 2; 2) == 4, максимумыи( 4/3; 4/3; 7/3) == и( 4/3; 7/3; 4/3) == и(7/3; 4/3; 4/3) == 112/27;3) максимум и(1; 1; 1) == 2, минимум и( -1; 1; 1) == О;4) два минимума и(О; ±1/у'2; =r=1/y'2) == 1 и два максимумаu(±2/vГз; =r=l/vГз; =r=l/vГз) == 2;5) минимум и(-2;1;4) == 11, максимум и(2;-1;-4) == 59;6) два минимума u(±13/V182; =r=2/V182; =r=3/V182) == 17/56, двамаксимума и(О; ±3/М; =r=2/M) == 1.(А; ...
; -А ) == А, где А ==27.1) Минимум u 2)а1аnаn(nаа )3) минимум u -; ... ; 14 ) минимум u ( Аn=минимум u ( -J(2:: ~);а,;i=l== -----=-1;nа;... ;a~)а1аn )А; ... ; - А_-"А2 ,где А -_ ~ГL.~ Vaibi,i=lА=n(~) п afi, где Аi=l== -а'lnаС};. 1 ~)V[7Е.Т;;' ... , А V Ьn5) максимум u(a~6)i=lминимум и( А; ... ;~) == А, где А ==а1(n2:: -.1)-1;n=2:: a i;i=lА ,максимум u ( а1аn )А; ... ; А==А, где А = f~ а;.28.
1) М == 14 , m == -6·, 2) М == 13 , m == -5·, 3) М == 21 , m == -3·,4) М == 13, m == -1; 5) М == 9 + 4у'2, m == -7;6) М == 4 , m == -1·, 7) М == 1 , m == О·, 8) М == 4Ге m == -2е .29. 1) М == 3 " m == 1· 2) М == 10 " m == 2· 3) М == 4 , m == 1·,4) М == 6 , m == -1·, 5) М == 8 , m == -216·, 6) М == 3 Уд,13/2 m == О .30. 1) а) М == 4 " m == 2 б) М == 12 , m == -6·, 2) М == 225 " m == 25·3) М == 4, m == -1/2; 4) m == 2vГз/9, m == -2vГз/9;ус,128 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных5) М == 81, m == -81; 6) М == 4е 5 , m == -1.31. 1) М == 33, m == О; 2) М == 7, m == -6;3) М == 1 + V2, m == -1/2; 4) М == 300, m == о.32.
М == VN, m == о.33. 1) М == у!5 - 1, m == -у!5 - 1;2) М == 3/7(4 + V2), m == 3/7(4 - V2); 3) м == 7, m == 1;4) М == 1, m == -1/2.34. 1) Не существуют; 2) М == V2, m == -1; 3) М == 2, m == О;4) М == е- 1 , m == о.35. Верно только при n == 1, см., например, 34, 1).37. 1) 19V2/8; 2) 3у!5/5; 3) (9у!5 - 15)/vГsO; 4) 8/V130.38. (8/5; 16/5). 39. зvГзаЬ. 40. V2, 2/у!5. 41.
la - bl.42. (3; -1, 1). 43. у'П. 44. 256/13. 45.1) (8/6)3/2; 2) (а/12)3.4vГз R 3 ;46.1)48.9~J2S.3 271г-v52.405n 2 V 4 .54. Основание -~Hr2;2)278vГз аЬс;3)4) abhГs.3 У з;'lГ9P650.53. arcsin(2/3).квадрат со стороной3 У з;51.8==6~.349. S47. S2с9Гs.2-V2V + 2d, высота -V2V/2 ++d.,~f J А2 + В2 + С 2 ;55. 1)1ГаЬс2)56.1) n~; 2) n/~.57.ХУ1- _а-nху-хх- х .у - _Ь- -х . -,ххх.
у - ху . х-хх - -х . -х= nLXiYi.58.i=lЧисла т, тl, т2,ческую прогрессию; (тL ,,' --- - Ln, где- _ 1х - nnх,;1уn. 11,=у,;,,'. 11,=... , т n , М должны образовывать геометри2//Мv наибольшее зна1(n+l)+ Мl)n+l(n+l)чение скорости.59.Х= ~пппLmixi,У= ~LmiYi, где м = Lmi'i=l60.Х= ~i=lnLmixi,У= ~i=li=lnLmiYi, гдеА==(LmiXi)i=l~-n---2---n---2i=l61 ·а1t== -2 arc g _хх2(х·у-ху)-_ _х.х -_уу__ ,+у .ур==-х+ (LmiYi).i=lCOS а.+ -у Slnа,-где х==§ б.~Гео.меmрuчеСffuе nрuложенuя129пппLmiXi,LУ= ~i=lmiYi,LХУ = ~i=lАI62. I i = Ri'Qmin§ 6.miXiYi·i=l= Q oAI2,где А =Геометрические приложенияСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Касательнаяплоскостьинормаль.
КасаmеЛЫ-lОЙnлос-1i',осmью к поверхности в некоторой ее точке называют плоскость, содержащую все касательные к кривым (см. [1, § 17]), проведеннымна поверхности через эту точку (mоч1i',У 1i',асанuя). Прямую, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормальной прямой (или нормалью) к поверхности вэтой точке.Если гладкая поверхность (см., например,NQ 7.19, NQ 7.20]) задана уравнением[3, NQ 50.4],или[4,z == f(x;y),то уравнения касательной плоскости и нормали в точке(xo;Yo;zo)поверхности имеют видz - Zo == f~(xo;Yo)(x - хо)х-Хауff (ха; уа)-+ f~(xo;Yo)(Y Z -уаf~(xa; уа)Уо),(1)Za(2)-1Если гладкая поверхность задана неявно уравнениемF(x; у; z) ==О,то уравнения касательной плоскости и нормали в точке(xo;Yo;zo)поверхности записываются следующим образом:F~ (хо; Уо;zo) (х - хо)++F~(xo; Уо;х-zo)(y - Уо)ХаFf (ха; уа; za)у-+ F~(xo; Уо; zo)(z -уаP~(xa; уа;za)Z -ZaFi(xa;уа;zo) == о,za) .(3)(4)в случае, когда гладкая поверхность задана параметрически уравнениямих ==x(u;v),у ==y(u;v),z == z(u;v),уравнения касательной плоскости и нормали в точкехо ==9x(uo;vo),Под ред.
Л.Д.Кудрявцева, Т.3Уо ==y(uo;vo),Zo == z(uo;vo)130 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхповерхности имеют видх-х( ио;Vo)x~ (ио; Vo)x~ (ио; Vo)х-х(ио;y~ (ио; vo)y~ (ио; vo)у-у(ио;Vo)z - z(uo; Vo)z~(uo; Vo)z~(uo; Vo)y~(иo; Vo)y~(иo; Vo)уvo)z~( ио; vo)z~ (ио; vo)у(ио;-z~( ио; vo)z~ (ио; vo)==0 ,(5)vo)x~ (ио; vo)x~ (ио; vo)z - z( ио; vo)x~( ио; vo)x~( ио; vo)Направляющий вектор прямой.1x~x~.иногда записывают в виде(6)Jy~y~(6)y~(иo; vo)y~ (ио; vo)kz'z'v(7)исчитая, что для такого "определителя" верна формула разложения поэлементам первой строки.Углом между двумя поверхностями в точке их пересечения называютуголмеждукасательнымиплоскостями,проведеннымикповерхностям в этой точке.Поверхности называют ортогональными, если они пересекаютсяпод прямым углом в каждой их точке пересечения.2.Особые точки плоских кривых.
Под JliРИВОЙ, заданной урав-нениемгдеF -F(x;y) ==О,(8)непрерывно дифференцируемая функция, будем пониматьмножество точек плоскости, координатых,укоторых удовлетворяют этому уравнению.Заметим, что это множество не обязательно будет являться непрерывным образом отрезка, и тем самым "кривая, заданная уравнениемF(x;y) ==§ 24, п.
2]).О", может не быть кривой в обычном смысле (см.Точку (хо; Уо) будем называть особой тОЧJliОЙ уравнения(8),[1,еслиее координаты удовлетворяют системе трех уравнений:F(x; у) == О,F~(x; у)==О,F~(x; у)==о.(9)Если в особой точке (хо; Уо) уравнения (8) все частные производные функции до (k - l)-го порядка включительно обращаются в нуль,а среди производныхk-roпорядка по крайней мере одна отлична отнуля, то точку (хо; Уо) называют особой тОЧJliОЙОсобая точка уравнения(8)k -го n оря aJlia.может быть особой точкой кривой, заданной этим уравнением, т. е. такой точкой, в окрестности которой§ б.Гео.меmрuчеСffuе nрuложенuя131ни в одной системе координат кривая не является графиком непрерывно дифференцируемой функции. Для того чтобы точка (ха; Уа)была особой точкойуравнениембыла(8),особойкривой,заданнойунеобходимо, чтобы онаточкойэтогоуравнения,т.
е. необходимо, чтобы ее координатыудовлетворяли системенеявляетсяЭто условие(9).достаточным.оНапример,для уравнения F == у 2 == О точка (О; О)Рис.х6.1является особой, но кривая, определяемая этим уравнением (прямаяУ == О), особых точек не имеет.Поведение кривой(8)в окрестности особой точки второго порядказависит от знака определителяу~==F"F"хххуF"F"хууув этой точке.Если ~>О,то точку называют изолированной. В некоторой окрестности изолированнойособой(рис. 6.1,Если(двойной)ЕслиРис. 6.2точкинетдругихточеккривойточка (О; О)).~О, то точку называют узловойтОЧJliОЙ (рис. 6.2, точка (О; О)).в особой точке второго порядка<определитель ~ == О, то характер поведения кривой(8)в окрестности такой точки может быть различным.
Такая точка может бытьизолированной тОЧJliОЙ Jliривой (рис. 6.3), тОЧJliОЙ са.мОnРИJliосновения(рис. 6.4), тОЧJliОЙ возврата первого рода (рис. 6.5), тОЧJliОЙ возвратауоРис.6.3Рис.Рис.6.46.5второго рода (рис. 6.6). Для определения типа особой точки в случае ~ == О нужно изучить расположение точек кривой в некоторой ееокрестности.Направления9*([; k)касательных к кривой(8)в двойной особой132 Гл. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
