1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Формула Тейлора93J == arcsin ху.Найти второй дифференциал функцииJ(x;y)в указаннойточке:== е х2 / у , (1; 1); 3) J == (х/у)е х2 , (О; 1);(О; О) ; 5) J == х cos ху, (7г / 2; -1);у), (О; О); 7) J == (2х + у) ln(x/y), (1; 1);9) J == е ху - п sin У, (О; О);1) J == е ХУ , (1; -1);4) J == х 2 ch 3у - у2,6) J == 4 у 2 + sin 2 (x 8) J == е У ln х, (2; 1);2) J~ ~ ~ ~ ::,О);О);f= ln12)f=14)J ==16.Найти множество точек плоскости, для которых верно нера-у arctg(1;11)2у' (О; О);1:f(х 2 - 2у),10)13)= arctgf=(1;(х + у)х у , (1; О);(sin х )COS У, (7Г /6; 7г /2).венство d2 J ~ О, если:1) J==X 2 +y2- ху -7у;17.Найти второй дифференциал функции1) J ==18.2) J==VX2+y2;ху3) J==cos(x+y).J (х; у; z), если:+ yz + xz; 2) J == ln(x + у + z).Найти в точке (О; О; О) второй дифференциал функции1) J == х + 2 у З + 3z 2 - 2ху + 4xz + 2yz;2) J == (1 +х)а(l +y)fJ(l +z)r, а, jЗ, r Е R.J,если:J,если:419.Найти в точке(1; 1; 1) второй дифференциал функции1) J == z/(x 2 +у2);20.Найти в точке2) J == (X/y)l/z.(1; 1; ...
; 1) второй дифференциал функцииni=l21. Найти d З J, если:1) J == х 2 у;4) J == xyz.2) J==хЗ+ уЗ + 3ху(у -х);3) J==sin(x 2+ у2);22. Найти в указанной точке d З J, если:2•1) J == е У, (О; 1); 2) J == sln(2x + у), (О; 7Г);3) J==xcosy+ysinx, (0;0); 4) J==x4+xy2+yz2+ZX2, (0;1;2).23. Найти d4J, если: 1) J==cos(x+y); 2) J==ln(xXyYzZ).Х24.Найти в точке (7Г; О) дифференциал шестого порядка функцииJ == cos х ch у.25.Найти дифференциал порядка1) J == е + ;ахЬу26. Доказать,пени n, то2) J == ln(xnфункцииJ,если:+ у + z).что если Рn(Х; у;z) -однородный многочлен сте-Гл.941.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхНайти d4 J, если:1) J == х 4 + 4х 3 у + 2xy2z - 3xyz2;2) J == х 4 + 5х 3 у - х 2 у + z3 + xz 3.J-Пусть27.дважды дифференцируемая функция.
Найти вто-рой дифференциал функции ер, если:1) ер(х; у) == J(u), u == х + у; 2) ер(х; у) == J(u), u == Jx 2 + у2;3) ер (х; у; z) == J (u ), u == ху z;4) ер(х; у) == J(u; v; ш), u == х 2 + у2, V == х 2 - у2, W == 2ху.28. 1)Доказать, что двумерному уравнению Лапласад2 uд2 u+ д у 2 == О~и == дх 2удовлетворяют следующие функции:а)==u ==cos у - у sin у) ; б) u == х ch х sin у + у sh х cos у;arctg (у/х); г) u == ln т, r == J(x - а)2 + (у - Ь)2.е Х (хв) u ==2) Найти функциюх2 + у2 )ер(3)хеслиep(t),известно,чтофункцияuудовлетворяет уравнению Лапласа.Доказать, что если функция и(х; у) удовлетворяет уравнениюЛапласа, то функцияv == u (х2х.+ у2' х2у+ у2)также удовлетворяет этому уравнению.29. Доказать, что:1) функция u == 1/т, r+ (у -а)2== J(x -Ь)2+ (z -с)2 удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласад2 u~и == дх 22)если функция и(х; у;д2 uд2 u+ д у 2 + az 2 == О;удовлетворяет уравнению Лапласа, тоz)функцияv -1 u(-:;:х .
у . Zт 2 ' т 2 'т 2)r'== J х 2 + у2 + z2,также удовлетворяет этому уравнению;3) если функции Ul(X;y;z), U2(X;y;z) удовлетворяют уравнениюЛапласа, то функция v==иl+ (х + у2 + Z2)U22удовлетворяет бигармони чеСJliОМУ уравнениюav4д.(д.v) = дх 430.avav44+ 2 дх 2 д у 2 + д у 4= о.Доказать, что функцияnun== 1/т - ,2n> 2,r==L(Xk - ak)2,k=l§ 4.удовлетворяетЧастные nроuзводные. Формула Тейлораn -мерному95уравнению Лапласаnl:iu =д2 uLдх 2k=lkо.=Доказать, что функция31.и==где r ==Jx 2+ у2 + Z2,+ C2 e krC 1 e- krrk, С1 , С2постоянные, удовлетворяет урав-нению Гельмгольца32.Доказать, что:функция1)u(t, х)е Х j ( 4а 2 t ) удовлетворяет уравнению12ay1Гiтеплопроводностидu - а 2 д 2 uat -дх 2.'если функция и( t, х) удовлетворяет уравнению теплопровод2)ности, то функцияV(t ,х;;е) ==_1_ -x22j(4a t)ayt_~)u (~2'4а tа tтакже удовлетворяет этому уравнению.33.Доказать, что функцияnU(t ;Х1; ...
;Х n ) ==удовлетворяетn -мерному1~(2ау Jrt)nat -j(4a t)2"д иk=lkn2а ~ дх2 .Пустьfиказать, что функция==at +~ eix2j (4t) удовлетворяетvt2. дu~35. 1),k=lДоказать, что функция U(t;x)уравнению Шрёдингерат 2 == "~ X2k'2уравнению теплопроводностидu _34.е -r2д uдх2 == о.дважды дифференцируемые функции. До9 -и(х;у) == f(x)удовлетворяет уравнению+ g(y)д2uдхду ==0.2)Найти функцию и(х;у), удовлетворяющую условиям:2д uа) дхду ==0, и(х;х) ==х,б)д2 uдхду==х+ у,и(х; о)дu(х х)д;== sin х,2==х;и(О; у)==у.96Гл.36.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхДоказать, что одномерному волновому уравнению2д u- 2==аat2д u- 22дхудовлетворяют следующие функции:2 2х/ (х 2 );А sin1) u ==3) u == f(xшх cos awt;a t2) u ==+ at) + g(x - at), где fипроизвольные дважды9 -дифференцируемые функции.37.Найти функциюд uд uat 2дх 2238.удовлетворяющую условиямu(t;x),2au(t; 2t)2tat.u(t·,2t) == t,'1u(t;x;y) ==Доказать, что функцияJa 2t 2 -х2 - у2удовлетво-ряет двумерному волновому уравнениюд u _д uдх 222at2 - а39.Пустьfи2(д u)ду2 .2+произвольные дважды дифференцируемые9 -функции.
Доказать, что функцияu удовлетворяет данному уравнению:22д uд u2д u+ д у 2 =0;д uдuдх 2 + 2 at + 41) u=xf(x+y)+yg(x+y), дх 2 -2 дхду_ f(2) u х+ 2t)еx/2-t+9д u _2(_)х22t, at 2(24дu _ .дх - О,2У)д uд u3) u=f(xy)+vxyg х ,х 2 дх 2 _у2 д 2 =0;4) и = f(x - t) + g(x + t)х5)уи = f(xуд u = д u + ~ дu .22'at2дх 2х дхд u2дх 2+ 2А) + g(x - 2FY),< О;6) и = f(xy)+g(х)д u222д uд2 u1 дu+ у д у 2 +"2 дудu2'О,дuу ,х дх 2 - У д у 2 = У ду - х дх ;2д uдu дu7) и = f(x)g(y), и дхду = дх ду ;дuд2 uдu д 2 u8) u=f(x+g(y)), дх дхду = ду дх2·40. 1) Доказать, что n раз дифференцируемая однородная степени а (§ 2, (1)) в области G С R3 функция f удовлетворяет в области G уравнению( х дхд2)+дУ дуд+ z az)n f = а(а -1) ... (а - n + l)f·д + У дуд + Z aZд) 2 f ,если f -- V. /х 2 + у 2 + Z,2выIислитьь ( Х дх§ 4.Частные nроuзводные.
Формула Тейлора97Найти в указанной точке частные производные второго по-41.рядка функции и(х;у), заданной неявно уравнением:+ 2у2 + и/а + у2/Ь1) 2х 2222) х42. Найти22- 8хи - и2+ 8 == О,(2; О; 1);2- и /с == 1, (а; Ь; с).частные производные второго порядка функции и(х; у),заданной неявно уравнением:1)еи == е х + у + и ;2) и == хНайти второйМа(Ха; Уа), если и(х; у)+arctg (у / (и - х)).дифференциал функциии(х; у)в точке- дифференцируемая функция, заданная ука43.занным ниже уравнением и такая, что и(Ха; Уа)==А, если:1) 2хуи + (4у З - 2х )и + 3х у 2 - 4 == О, и(2; 1) == 2;2) иЗ - 3хуи - 2 == О, и(l; 1) == 2;З23) иЗ5) иЗ44.2+ хи + у2 == О, и( -2; 1) == 1; 4)+ 2уи + ху == О, и(l; -1) == -1;х+ и == еиу, и(О; О) == 1;6) у - и == е хи , и(l; 1) == о.Найти второй дифференциал функции и( х; у), заданной неяв-но уравнением:1) х 2 /а 2 +у2/Ь 2 +и 2 /с 2 == 1; 2) х+у+и==е И ; 3) u==ln(yu-x);4) и / J х 2 - у2 == tg (и / J х 2 - у2).45.Пусть уравнением:1) f(xu;yu) ==0;гдеf -2) f(x;x+y;x+y+u) ==0;дважды дифференцируемая функция, определяется дважды2д uдифференцируемая функция и(х;у).
Найти дх 2 •46.Пусть уравнением:1) f(xгдеf -+ и; у + и)== О;2) f(x/u; у/и) == О;дважды дифференцируемая функция, определяется дваждыдифференцируемая функция и(х; у). Найти d2 u(x; у).47.Доказать, что если уравнением у== xf(u) + g(u),гдеfи9 -дважды дифференцируемые функции, определяется дважды дифференцируемая функция и(х;у), то она удовлетворяет уравнениюдu ) 2 д u _ 2 дu дu д u2(48.дх 2дуПусть и2дх ду дх ду== F(v),гдеуравнениемv == хиv(x; у)~д дхду'W (3; 3)аити2ду2дхw -_an-axn1==1(дu )fn дх .( .
) v ( х,у. ) ,аи х,уф ункциизаданы неявно системой уравнений{ии7если2+ yf(v).дnuН(дu) 2 д u == о.функция, определяемая неявноv(x;y) -Доказать формулу Лагранжа дуn49 .++ v22== х,-v ==у,ЗПод ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3и(3·, 3) == 2,v(3·,3) == 1.()и х;уГл.98Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных1.50. Найти в точке (О; 1г /2) дифференциалы d2 u, d2 v, если функции и(х; у) и v(x; у) заданы неявно системой уравненийи. + v==хSlnUхSlnVу+ у,Преобразовать51.гаях== r cos ер,2д u1) дх 2уравнениек+ ду2- ; .координатам,О;=д u2) х дх 2д2 u+х+ 2ху дхдуд2 uполадu== ху ,+22д uУ ду 2=О;дuд у 2 - Х дх - У ду = о.2Преобразовать уравнение, принимаяu+2д u23) у2 дх 2 - 2ху дх ду52.;) =(о;полярным2д uV== r SlП ер:у2д2 uv;) =]Т,и (о;{ -.---,vиuза новые незави-v== У.,х22a z + 3х дхaz + У azдуО,у ду2uху,ху3;==8) Xдх2a z+2ху2a2Z22дх дуaz2+y22a2Zду 2+ х2azazдх+!!..az2az =0;ду2az _ .9) (1 + х ) дх 2 + (1 + у ) д у 2 + х дх + У ду - О,22210 )д Z•д Z2 д ZХSlП Х дх 2 -2УSIПХ дхду +у д 2 ==0, u==ytg"2' v==y.53.Решитьныеи,.
2уv:azaz21) дх 2уравнение,4 дх ду_4х 2 д+х;2) д2Zдх2az2-2az2+ 3 д у 2 + 4 дхz ==ду 2введя1azХ дх'х> О,новыеaz- 12 дуu==независимые== О,u2у - х , v54. Доказать, что уравнение Лапласа ~z==== у + 3х,v== у +== у + х 2 .az azдх 2 + д 2у2перемен2==Оне из-§ 4.Частные nроuзводные. Формула Тейлора99меняется при любой замене независимых переменныхх == x(u;v),у == y(u;v),удовлетворяющих условиямдхдудхдуд(х,у)дuav 'avдu'д(u,Преобразовать уравнение, принимая55.1: оv).иuза новые незавиvсимые переменные:a z + 2 дхa дуz + az = Одхд у 2'21)222az(2) дхду =56.2u =х + z,az) 31 + ду,и = х, v = уу + z;v =+ z.Преобразовать уравнение, принимая ш(х; у) за новую функ-цию:a 2z1) дхду+аazдх+a 2z)ду2янные;a2Z2) z ( дх 257.azду+ЬО, z = ше-(Ьх+а у ),+ cz =az ) 2( дх2+ (az)ду ,ш =2д z1) дх 2+y+z;у3) дх 2д Z2 дхду-2+az2ухдхду2(++ 2 -дa 2z+z+ (1 -2a 2za 2z5) (1 - х ) дх 21+ду 22v == у - arccos х, W ==U= Х,V= Х+ у,w = х+уи == х, v == х, w == xz - у;azдz == e W ,•2у) д Zх д у 2 = О,дх = z, 2и = х24) (1 - х ) дх 2за новые независиvза новую функцию:2a 2z2) у дa 2zwпосто--z2.Преобразовать уравнение, принимая и,мые переменные иа, Ь, с2д2Z+ у,дzу ) д у 2 = Х дхaz2х дх-2v = х - у, w = eYz;+Удz..ду' х = sш и, у = sш v,1"4z, Ixl < 1,2и ==y+arccosx,(1 - х 2 )1/4 z;a 2za 2za 2zpqpq6) q(1+q)ax 2 -(1+ + +2 )axay +р(1+ Р )д у 2 ==0, гдер==azazдх' q == ду; u == х + z, v == у + z, W == Х + у + z.Введя новые независимые переменныеновую функцию W == z/x, решить уравнение58.a 2zдх 2и7*-a 2z2 дхду+u ==х+ у,v ==у/х иa 2zд у 2 == о.59.
Преобразовать, приняв за новыеz, а за новую функцию х, уравнение:независимые переменные у100 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхZд Z( дх ду== дх 2 д у 2 ;2 д Zд Z2 д Zр дх 2 - 2pq дх ду + q д у 2 == о,д21)Z )2д222)t,2д2zдр == дх'zq == ду·Преобразовать, приняв за новые независимые переменные и,60.V,2уравнение:2д2ш _ 4 д ш1) дх 2+ у + z,дхду2t == 3х+2+у-22д шд шaz 2 == о, u == х, 2v == хaxaz + 4 д у 2 ++z;2) 4 д ш _ 4 д ш _ 2 д шдх 2дхдуayaz22д ш2+ дш + дш2ду== О u == хaz'V2'== Х"2 +у,хt==-"2- Y + z .Преобразовать уравнение, принимая за новые независимые пе61.ременные Уl,з./.1,~)===хl+ Х2L..1,,)='Уl-хl==+ Х2 + ХЗ,У2==XiXjaд2uXiдXj==0, Уl==Х2У2==хlхзхl+ ХЗ,Х2-уз==ОКУЗ==Х2- Х З·д2 uдх 262.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
