1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Формула Тейлора87при условии, что при вычислении первого дифференциала в качестве приращений независимых переменных берутся те же приращения,которые использовались при вычислении (тПри этом условии имеем(1 )dmu == d d m - u .Для дифференциала порядкаmmd m =="CkUl)-го дифференциала.-~mЕсправедлива формулаNmд иd m-kd kax m - k ayk ху .(2)k=lЗамечание. Для сложной функции w == f(x;y), где х == x(u;v),у == у(и; v), второй дифференциал функции и, вообще говоря, не выражается через dx и dy согласно формуле (1). Следовательно, длядифференциалов порядка m ~ 2 (в отличие от дифференциала первого порядка) не имеет места свойство инвариантности формы дифференциала относительно выбора переменных. Для сложной функцииw== f(x(u; v); у(и; v))разом:22d w ==мула(3)2д w2дх 2 dxЕсли х и у -формулад ш+ 2 дх ду dx dyобобщается следующим об-(1)2д ш2д у 2 dy++дш 2дх d хнезависимые переменные, то d2 xсовпадает с формулой==+дш 2ду d у.О, d2 y==( )3О, И фор(1).В случае функции n переменныхлогичная формуле (1), имеет видu == f(Xl; ...
; х n )формула, ана(4)Формула(2)== f(Xl; ... ; х n )обобщается на случай функцииnпеременныхu ==следующим образом:(5)гдет!,,'0:1· ... О:n·асуммированиепроизводитсяповсемцелымнеотрицательнымQinтаким, чтоLQk== т.k=l3.Формула Тейлора и ряд Тейлора. Пусть функцияf(x;у)в окрестности точки (хо; Уо) имеет непрерывные производные до порядкамулаmвключительно. Тогда в этой окрестности справедлива фор-" 1" Ck.akf(xo· уо)mkf(x; у) = ~ k! ~k=Oi=Ok ..axk-iiJуi (х - Ха) -"(у - Уа)"+ о(рт),(6)Гл.881.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхгде~----------------рХа)2== v(x -Многочлен==Уа)2,х -+ ха,У -+ уа.kmр (х· у)m,+ (у -1-k!Lk=aL C .akf(xo·yo)Zi=a.'.k axk-zayz(х-хаk .) -1, (У -называют многочленом Тейлора т-го порядка функциике (ха; Уа), а функциютт(х; У)== f(x; У) -уа)1,.f(x;(7)у) в точРт(х; У)остаточным членом т -го nорядJliа формулы Тейлора.-Формулу(6) называют формулойOJlipeCmHOcmU тОЧJliU (ха; Уа)f (х; У)Тейлора т -го nорядJliа фУНJliЦUUвс остаточным членом в формеПеано.
В частном случае, при ха == Уа == О, формулу (6) называют также формулой МаJliлорена. Формулу (6) можно записать и в таком виде:f=fL а)а2! ~k!a~X;~~~) (х - ха)"'" (у - Уа)"'2 + о(рт),(8)k=a СУl +CY2=kгдер == J(x - Ха)2+ (У -Уа)2, х -+ ха, У -+ Уа.Если функция f(x; У) имеет в окрестности точки (ха; Уа)рывные производные до (тl)-го порядка включительно,любой точки (х; У) из этой окрестности найдется точка+(~;такая,(Ха1]) ==+ ()(х -+ ()(У -Уа)),Отодля< () < 1,чтоf(x;y) ==_ р ( . )-Ха); Уанепреm х, У+т+l(т1'"""+ 1)!~'[=агде Рт(х; У)Формулу(9)т+l.дf(~,1]) (т+l ax m+1 - i a y i х -CiХа)m+l-i(У-Уа)i,(9)многочлен Тейлора (7).называют формулой Тейлора с остаточным членом вформе Лагранжа.Если функцияf(x;У) представима в видеворят, что она разложена по формуле(6), (8)или(9),то гоТейлора в окрестности точки (Ха; Уа).Если функциярядков,f(x;У) имеет в точке (Ха; Уа) производные всех пото рядСХ)kk'""" 1 '""" C i д f(xo; уо) (~ k! ~ k axk-iayi х k=ai=aХа)k-i (У-Уа)i(10)называют рядом Тейлора функции f(x; У) в точке (Ха; Уа).Если ряд (10) сходится в некоторой окрестности точки (Ха; Уа) кфункции f(x; у), то говорят, что в этой окрестности функция f(x; У)разлагается в ряд Тейлора.
В частном случае, при Ха == Уа == О, ряд (10)называют рядом МаJliлорена.§ 4.Формулаf=Частные nроuзводные. Формула Тейлораможет быть записана и в следующем виде:(10)~~k=O89aдхО;lду0;2f(xo; УО) (х _ х )"'1 ( _)"'2.ОУ УОk'"1~а1! а2!0;1 +0;2=k(11)Для функций трех и более переменных формула Тейлора и рядТейлора определяются аналогично.ная формулеНапример,формула,(11), т.
е. ряд Тейлора функции !(хl; Х2;аналогичх n ) в точ... ;ке (x~; xg; ... ; x~), имеет вид!==-~'"""~ ~,а1·k=Okaf(x~; ...д ; О;nx~) (хl'д10;1... аn·Х1Lтаким, что Lгде суммирование...0)0;1-ХNХ1...(хnО )О;пХN-(12),производится по всем целым неотрицательnнымQiQi==- k.i=lПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.а) х и У-Найти второй дифференциал функцииu ==-хе У , если:функции каких-либо независимых переменных и ихвторые дифференциалы d2 x и d2 y известны;б) х и У-независимые переменные.А а) 1-й с п о с о б.По определению второго дифференциала получаем+ х е У dу) ==22==- d(e Y ) dx + е У d x + d(xe Y ) dy + хе У d y ====- 2е У dx dy + хе У dy 2 + е У d 2 x + хе У d 2 y.d2 u ==- d (d (х е У)) ==- d (е У dx2-й способ. Так какдu _ Удх - е,дuУду ==- хе,то согласно формуле(3)2д u2Од uдх2 ==-,Удх ду ==- е,2д uд у 2 ==- хеУ,находимd 2 u ==- 2е У dx dy + хе У dy 2 + е У d 2 x + хе У d 2 y.б) В этом случае d2 x ==- О, d2 y ==- О, и, следовательно,d 2 u ==- 2е У dx dy + хе У dy 2.
АПример 2. Для каждой дифференцируемой функциии(х;у), заданной неявно уравнением2х 2+ 2у2 + и2-8хи - u+ 8 ==- О,(13)Найти d2 u(2; О) .1-й с п о с о б. В окрестности точки(2;О) уравнением определяются две дифференцируемые функции; их значения в этой точке равныи16.Частные производные функцииF(x; У; и) ==- 2х 2+ 2у2 + и2-8хи - u+8190Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных==соответственно равны F~4х- 8и,(11) § 3 находимдu == 42u - хдх2u - 8х - 1 '==F~4у,F~==2и- 8х - 1.По формуламдu-4уду2u -8х- 1Дифференцируя первое равенство по х, второе по х и У, получаем2д u== 4 (2u -8х -1)(2aujax -1) - (2u - x)(2aujax - 8)дх 28х(2u -д u = 4у 2дu/дх - 8дхду(2u - 8х -1)2'- 1)2'д u = -4 (2u - 8х -1) - 2удu/дуду2(2u - 8х -1)2.22В точке(2; О; 1) значения найденных производных равны222дu == Одuд u4д uд uдх'ду == О, дх 215 'дх ду == О, д у 2415 '== 1, то4d 2u == - (dx 2 + dy 2).следовательно, если и(2; О)(14)15В точке(2; О; 16) производные равныдu == 8дхдu == О'дуПоэтому, если и(2; О)2д и'дх 2== 16,2д и == О415 'дх ду2д и4'ду 215то4d 2u == - - (dx 2 + dy2).(15)152-й с п о с о б.
Если и(х; у)летворяющая уравнениюдифференцируемая функция, удов--(13), то при подстановке и(х; у) вместо uв это уравнение оно становится тождеством.Найдем дифференциал этого тождества:+ 4у dy + 2и du -dx - du == о.(16)Аналогично найдем дифференциал тождества (16):4 dx 2 + 4 dy2 + 2и d 2u + 2(du)2 - 16 du dx - 8х d 2u - d 2u == о.(17)В точке (2; О; 1) равенство (16) примет вид du == О, а из (17) следуетравенство (14).Аналогично, в точке (2; О; 16) из (16) находим du == 8 dx, а из (17)следует равенство (15).
Аa2za2zazПри м е р 3. Преобразовать уравнение х дх ду - У == О ,ду2дуприняв за новые независимые переменные u == х;v == ху.4хАdxПрименяяправилонайдемdu -8идифференцированиядz = дz дuду8х+дu дусложнойфункции,дz дv = х дz .avдуavДифференцируя обе части этого равенства по х и у, получимa zaz(a Z дu +a z av)--==-+хдх дуavдu av дхav 2 дх222a z2( a z дu2д у 2 == х auav ду2az(a Z==-+хavдu av2a z aV)+ av 2 ду == х22a zav 2 •2a Z)+уav 2'§ 4.Частные nроuзводные.
Формула Тейлора91Подставляя найденные значения производных в данное уравнение, будем иметьхт. е. х2+дzavazдu av2д2Zх дu av+х2Уд2Z2 -avух22д2Z2 -avazдu avхдz== о,av2== о, или, окончательно, и2== о. АП Р и м е р 4. Разложить по формуле Маклорена до о(р5),==J х + у2,2функцию fР==== sin х sh 2у.fА 1-й с п о с о б. Функцияв точке (о; о) равна нулю. Из всехее производных до пятого порядка включительно в точке (о; о) отличны от нуля только смешанная производная второго порядка и двесмешанные производные четвертого порядка,a f(0;0)причем2дхдуСогласно формуле1f == -2' Ci2xy1+ 4'.
.==2,(6), положив в ней mЗ(Cl( -2)х у== 5,ха==уа+ сg8 ху З) + о(р5) ====2ху -1==о, получаем4"3 хЗу + "3 хуЗ + о(р5).2-й с п о с о б. Воспользуемся известными разложениями функцийsin хf=иsh 2упо формуле Маклорена. Тогда получим(х - ~3 + о(х 4 )) (2У + 8~3 + о(у4))===2ху -14"3 хЗу + "3 хуЗ + о(р5).АЗАДАЧИ1.Найти частные производные второго порядка функцииf(x;y),если:1) f == ху(х З+ уЗ- 3); 2) f== е ХУ ; 3) f == arctg х + у1-2. Вычислить частные производныеции f(x;y) в заданной точке:1)f=х:у,(1; О);2)fвторогоху; 4) fпорядка== х У .функ-= у2(1 - е Х ), (О; 1);3) f == ln(x 2 + у), (о; 1); 4) f == у sin(y/x), (2; 1Г);5) f == cos (ху - cos у) , (О; 1г / 2) ; 6) f == arctg (х / у ) , (1; 1);7) f == arcsin(x/Jx 2 + у2), (1; -1); 8) f == (ху)Х+У, (1; 1).3.
Выяснить, существуют ли в точке (о; о) частные производныевторого порядка функцииу /(х 2 + у2), если х 2 + у2 1: о,=={хfо,если х 2 + у2 == о.92Гл.4.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхВычислитьвточке(О; О)частныепроизводныеf~'y,f~'xфункции f == {х у (х 2 - y2)j(x 2 + у2), если х 2 + у2 1: О,О,если х 2 + у2 == о.5.Пусть функцияfи ее производные f~, f~, f~'y определены внекоторой окрестности точки (ха; Уа) и f~'y непрерывна в этой точке.Доказать, что в точке (ха; Уа) существует производная f~'x' причемf~'x(xa; Уа)6.==f~'y(xa; Уа).Найти частные производные второго порядка функцииz), если:1) f==х(1+у2 z З); 2) f==sin(x+y+z).7.
Вычислить частные производные второго порядкации f(x; У; z) в заданной точке:yZ1) f == ln(x 2 + у2 + Z2), (1; 1; 1); 2) f == x , (е; 1; 1).f(x;У;функЗд !8. Найти частную производную ду дх 2 ' если:1) j=4)f ==+ 8 ху Зх+2у ;х4eos(e 2Y2) j=ln(x+y);3) j=sin(x+cosy);2х).-дЗ !9. Найти частную производную дх ду1) f == Jху З z 5;4)f ==are t gхaz ' если:2) f == х З siny + уЗ sinz + zЗ sinx;+У+z -1-ху3) f == e XYz ;xyz.- yz - zx410.f == ln11.д !Найти частную производнуюдх 1 дх 2 дх з дХ41J (хl -хз)2+ (Х2 -Найти смешанную производную.Х4)2p qa+ !ддхрфункции,если:yq1) f==(x-а)Р(у-ь)q, а,ЬЕ R; 2) f==(x+y)j(x-y);3) f == (х 2 + у2)е Х + У ; 4) f == ln(xX y y ).12. Вычислить13.p qa+ !ддхрyqв точке (О; О), еслиНайти частную производнуюP +q +r !aдддхрyqf ==Zrе Х sin у.функцииf == xyze x+ y+z .14. Найти второй дифференциал функции f(x, у), если:1) f == х(l + У); 2) f == х sin 2 У; 3) f == (ljy)e XY ;4) f == У ln х; 5) f == ln(x 2 + у2);§ 4.6)15.Частные nроuзводные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
