1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 19
Текст из файла (страница 19)
f(x; У)+ (}у)-5/2,О70. 1) f(x·,Рху 2-+ о; Т2(Х; У) == -16 (2 + (}у)(l +У) == !2 + !2 (х _ 1Г)+ !2 (У _ 1Г)+ !4 (х _ 1Г)2+ !2 х444х (х- :)(у-:) - ~(y- :)\о(р2),р---tО;r2(x;y)=-~ х108Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхх (( х - :) 3 COS ~ sin 7] + 3 ( х - :) 2 (У - :) sin ~ COS 7] + 3 ( х - :) хх (У- :)2 COS~COS7]+ (У_ :)3 sin~COS7]), где ~=: +о(х- :),7]=: +О(У- :),0<0<1;=2) f(x; у) == 1 + (х - 1) + (х - 1)(у - 1) + о(р2), Р -+ О;~ ~'I} ( (х - 1) 3 1] (1] 1] - 2) + 3 (х _ 1) 2(У _ 1) 21] - 1 + ~;2i}Т2(Х; у)==- 1]) ln ~ ++ 3 (х - 1) (У - 1) 2 ln ~ (2 ~ 1] ln ~) + (У - 1) 3 ln 3 ~ ) , где ~ = 1 + О (х - 1),1]== 1 + () (у - 1), О < () < 1.71.
1) f(x; у) == 1 - (х 2 - у2)/2 + о(р2);2) f(x; у) == п/4 + (х - у)/2 - (х 2 - у2)/4 + о(р2);3) f( . ) == 1 о:х + jЗу0:(30: - 4)х - 20:jЗху + jЗ(3jЗ22х, У+4+32- 4)у2++ о(р2);+ 2(х - 1) + ~ (У - 3) - 3(х - 1)2 - ~ (У - з)2 - (х -4) f(x; У) = :- 1)(у - 3) + о(р2);5)-1гf(x·y) == --+4vГз (х,6+ l)(у -6) f(x;У)=1)+1ХvГз.м+у3(у-1)-(х+ 1)26vГзvГз2--(у-1)2-+ о(р2);(2 - 2vГз) (х - ~) - (У - 1) - Jз (х - 1)2 - (У - 1)2 ++2(Х- ~)(Y-1)+o(p2);17) f(x; у) == -(у - 1) + 2(х - 1)2 + "2 (у - 1)2 - 2(х - 1)(у - 1)++ о(р2).§ 4.Частные nроuзводные. Формула Тейлораln 2 32) f -_ х ln 2 + х(у 2- 2) - 6Хх(у - 2)2х (у - 2)38-109-12+ х(у -2)3+ о(р4).24mf == L(x k - yk) + о(рт).76.+k=lkmf == 1 + '""""77.(2k - 1)!! '"""" C i x2k-2iy2i2k k!~ k~k=lmf78.= L+ о(р2т).i=Ok~! L CL(x - l)k-i(y + l)i + о(рт).k=Oi=O79.
1) u == 1 + 2(х -1) - (у -1) - 8(х -1)2 + lО(х -l)(у -1)- 3 (у - 1)2 + о(р2);2)== 1 + ~ (х - 1) - ! (у - 1) - ~ (х - 1)2 + ! (у - 1)2 + о(р2).U3 2 9 8 '3) u == 1 + (х - 1) +80.!4 (у -1) -!8 (х - l)(у -1) + ~ (у - 1)2+64+ о(р2).u=е+ ~(X-2e)+ ~(y-1)- 5~e(X-2e)2+ 227 (х-2е)(у_ 1) - 2е (у _ 1)2 + о(р2).27лх; у) + ~ (д ~~; у) + д ~~; у) ) h 2 + o(h 2 ).281. F(h) =82.
F(h) == f(x;y) +222f4f(a(X;Y) + af(x;y) )h 2 + ~ (a (X;Y)448!дх 2ду2дх 44+ д f (х; у) ) h4 + О ( h5) .ду4~84.1)f == 1 + 2 L L( -l)iСLх k - i у i, Ix - yl < 1;~2)kk=li=O2kf == 1 + !2 '""""'""""~~~~'""""~k=O СХl +2CX2=k~6)f= Lk=l(-llk-lC i x 2k - i y i R2.2k"'"""" C 2i +1 X2k-2i-l y2i+l~f == '""""(-1)(2k)!k=li=Ok+l k-l3) f == '"""" (-1)~(2k)!k=l4)k+i~i=O2k,R 2.,(-1) СХ2 хСХ1 у2СХ 2 R2.O:l! (20: 2)!"kLCLxk-iуi,i=O-1< х+у:::;: 1;+110 Гл. 1.
Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхkсх)7)f ==8)f=L L C~/2C~;;ixiyk-i,k=Oi=Of~~~:(x 2k +1-Ixl < 1, lyl < 1;у2Н1),Ixl:::::;1,lyl : : :;1,k=Oсх)85.1)f == 1 + L(-1)k((y _1)k + (х-1)(у _1)k-1, О< У < 2;k=lkсх)L(x - 1)k-i yi, Оk=Oi=O2) f == L3)f= е4< х < 2, lyl < 1;kсх)~! L Ck(x - 2)k-i(y - 2)i,Lk=O2R ;i=Ok 2ki2kii4) f == '"""" (-1) '"""" C x - (У _ 1Г) R2.~ (2k)! ~ 2k2',k=Oi=Oсх)k 2k2k .25) f= L \~~~! LC~k(X- ;) -'y2i, R ;k=Oi=Oсх)6)f= ln 2 -f~ ((х -l)k +(~~)k (У -l)k),о:::::; Х < 2,k=lk=2f=i=lfLх(-l)kа1а2k=l<х~2,О<У~2.k-1.LL86.F(u,v)сх)k=2i=1§ 5.<У(х-1)"'"(у-1)"'2, суммированиеВОДИТСЯ по всем натуральнымО<У~3;~ L(-l)iСkхk-i(у -l)i, -1:::::; х < 1, О < у:::::; 2,7) f = L8)-1k-1сх)(11и(12,kд f(x; у)"'"(k.- z')'. дх Z' ду k-'1таким, что (11~ хL+ 2;произ+ (12 ==k;uiv k - i .1,Экстремумы функцийСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Локальный экстремум.
Точку ХО называют mОЧJliОЙ ЛОJliального MaJlicuMyMa функции u== f (х),х ЕR n , если существует окрестность точки х о , ДЛЯ всех точек х которой верно неравенствоf(x) ~ f(x O ).§ 5.Если для всех х#Э1iсmремумы ФУН1iЦUЙ111х О из некоторой окрестности точки х О вернострогое неравенството точку х О называют точкой строгого локаЛЫ-lого максимума функцииf(x).Аналогично, если в некоторой окрестности точки х О выполняетсянеравенството точку х О называют точкой локального минимума; если для всеххх О из некоторой окрестности точки х О верно неравенство#f(x) > f(x O ),то точку х О называют точкой строгого локального минимума.Для краткости слово "локальный" часто опускают и пишут просто"точка минимума" или "точка строгого максимума"Точкимаксимумаиминимумафункцииэкстремума, а значения функции в этих точкахНапример, для функций u== х + у2И2U==Ix -называют-yl-точкамиее экстремумами.точка (О; О) является точкой минимума, причем для первой функцииминимума, а для второй.-точкой строгогонестрогого.Н еоб х о Д и м ы е у сл о в и яс у Щ е с т во ва н и яэ к с т р е м у м а.Если точка х == (x~; xg; ...
; x~) является точкой экстремума функции u == f(Xl; Х2; ... ; х n ), то либо f~i (х О ) == О, либо f~i (х О ) не сущестОвует,i== 1,2, ... , n.Точки, в которых функция определена, а ее частные производныеравнынулюилинесуществуют,называютфункции. Например, для функции uкритическими== f(x;y) == lylточкамивсе точки оси хявляются критическими, так как в каждой ее точке функция определена, частная производная f~==О, а частная производная f~ несуществует. Точки экстремума функции следует искать только среди ее критических точек.Если у функции uвуютчастные== f(Xl;X2; ...
;х n )производныеповсемв точке экстремума сущестпеременным,товсеониравнынулю в этой точке:дu == ОдХ1Условия(1)дu'дХ2==О' ... ,дu(1)дхn == о.не являются достаточными условиями существования экстремума. Например, для функцииu ==ху они выполняются вначале координат, однако эта точка не является точкой экстремумафункции.Точки,ний(1),координатыкоторыхудовлетворяютсистемеуравненазывают стационарными точками функции и.
Точки экстремума дифференцируемой функции следует искать только среди еестационарных точек.112 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхдостаточ н ыефункцияu == fусловия(х),х ЕRnст рогогоэ к с т р е м у м а.Пустьдважды непрерывно дифференцируема,в окрестности стационарной точки х О • Тогда точка х О :1)является точкой строгого минимума функции, еслиd2 f(x O ) ~ О,nL dx; == О;причем равенство имеет место только при условииi=l2)является точкой строгого максимума функции, еслиd2 f(x O ) ~ О,nL dx; == О;причем равенство имеет место только при условииi=l3)не является точкой экстремума, если d2f(xO)принимает какположительные, так и отрицательные значения.Эти условия не являются необходимыми.
Например, функцияu ==== х + у4 имеет в точке (О; О) строгий минимум, хотя условие 1) невыполнено, так как d 2 u(0; О) == О при любых dx и dy.4Условияносительно1), 2), 3)означают соответственно, что квадратичная отдифференциалов независимыхn2 ( О)d2 ЛХ О ) =L..11,,)=положительноопределенная,переменныхdXiформад f Х dXi dx·aXi aXj)отрицательно(2)определенная,неопределенная.Согласно критерию Сильвестра (см., например,[20]),условие1)выполняется тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы(3)aXhдх 1 д х nквадратичной формыда и только тогда,(2)положительны; условие2)выполняется тогкогда главные миноры нечетного порядка отрицательны, а четного порядка положительны.В частном случае функции двух переменных достаточные условия строгого экстремума можно сформулировать следующим образом.
Пусть функцияu == f(x;y)дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки (Хо;Уо). Тогда точка (Хо;Уо):1)является точкой строгого минимума, если в этой точке~2==д !2д !2дх 2дхду2д !д !дх дуду22> О·,§ 5.2)Э1iсmремумы ФУН1iЦUЙявляется точкой строгого максимума, если в этой точкед !2д !дх 2дхду2д !д !дх дуду2~2==3)с2> О·,д !2д !дх 2дх ду2д !д !дхдуду22< О·,2Условный экстремум.
Пусть на открытом множествеGсзаданы функцииf(x),и пусть Е<Рl(Х)УравненияТочку хОf(x)<рl (х),... ,<Рт(Х),m< n,множество точек, координаты которых удовлетворяют-уравнениямции2не является точкой экстремума, если в этой точке~2 ==2.Rn113(4)==О,... , fm(x) == о.(4)называют уравнениями связи или ограничениями.Е Е называют тОЧJliОЙ условного строгого маJliсимума функотносительно уравнений связи(4),если существует такаяокрестность точки х , для всех точек х i=- х О которой, удовлетворяющих уравнениям связи, верно неравенство f (х) < f (х О ). Еслипри тех же условиях выполняется неравенство f (х) > f (х О ), то точку х О называют тОЧJliОЙ условного строгого минимума функции f (х )Опри ограничениях (4).Например, функция и(х; у) == ху относительно уравнения связи<р(х; у) == у - х == О в точке (О; О) имеет условный строгий минимум,так как и(О; О)== О,связи у - хО, значения функции положительны: и(Е; Е)==а в точках (Е; Е), Еi=- О,принадлежащих уравнению==Е2>о.Аналогично вводится понятие не строгого условного экстремума.Точки условного максимума и минимума называют тОЧJliами УСловного ЭJliстремума.
Значения функции в этих точкахнымиЭJliстремумами.Условныйэкстремуминогда-ее условназываютотносительным ЭJliстремумом.Прямой метод нахождения точек условного экстремума (метод исключения). Если уравнения связи(5)удается разрешить относительно каких-тоотносительно переменныхxi, ... , х т ,т. е.хl == gl(X m +l;Х2 ==g2(X m +l;8Под ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3m... ;х n ),... ;X n ),переменных, например,114 Гл. 1. Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхfто исследование функции u == (Х1 ; Х2; ... ; Х n ) на условный экстремумпри ограничениях (5) сводится к исследованию на обычный (безусловный) экстремум функции n - т переменных Х т +1, ...
, Х n :U== f(gl; ···;gm;X m+1; ... ;Х n ).МетоД Лаг ранжанахожДен ияточек условногоэ к ст р е м у м а. Пусть функцииXER n ,i==1,2, ... ,m,f(X),CPi(X),т<n,непрерывно дифференцируемы в окрестности точки х О и ранг мат-рицы Якобидер1 (Х )дер1 (Х )(6)дерт(Х)дерт(Х)дХ1В этой точке равен т. Функциюдхnmi=lназывают ФУНJliцией Лагранжа, параметры Л1,... , Л m-множителямиЛагранжа. При сделанных предположениях можно сформулироватьнеобходимые условия существования условного экстремума и достаточные условия наличияили отсутствияусловного экстремума.Необходимые условия.
Для того чтобы точка х О являласьточкой условного экстремума функции f(x), Х == (Х1; ... ;Х n ), приуравнениях связи CPi(X) == о, i == 1,2, ... , т, необходимо, чтобы ее координаты при некоторых значениях Л1,... , Л mудовлетворяли системеуравненийk == 1,2, ... ,n,(7)== 1,2, ... ,т.(8)iУсловия(7)и(8)означают соответственно, что точка ХО являетсястационарной точкой функции Лагранжа и ее координаты удовлетворяют уравнениям связи.Достаточные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
