1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Будем называть интервалом рангаотрезка рангаkkинтервал, получаемый изисключением его концов.Пер вый шаг. Интервал 1-го ранга, имеющий меньший конец всередине отрезка [О; 1], обозначим А 1 . Удалив А 1 из [О; 1], получимдва отрезка, совокупность которых обозначим /31. Концы каждого изних являются концами отрезков 1-го ранга, следовательно, серединыотрезков изВ т о рой/31являются концами отрезков 2-го ранга.шаг.В каждом отрезке из/31возьмем интервал 2-горанга, имеющий меньший конец в середине отрезка. Таких интервалов будет два, их объединение обозначим А 2 . Удалив А 2 из имевшихсядвухотрезков,получимчетыреотрезка,совокупностькоторыхобозначим /32.
Длина каждого отрезка из /32 не больше 1/22. Их концы являются концами отрезков 2-го ранга, поэтому их середины-концы отрезков 3-го ранга.Допустим, что на n-м шаге получены множество А n -объединение 2n - 1 интервалов ранга n, и совокупность /3n из 2n отрезков,образующаяся после удаления А n из 2n - 1 отрезков, составляющих/3n-1. Длина каждого отрезка из /3n не больше 1/2 n , их концы являются концами отрезков ранга n.
Тогда (n + l)-й шаг состоит вследующем. Середина каждого отрезка из /3n является концом отрезка ранга n + 1. В каждом отрезке из /3n выберем интервал ранга n + 1, имеющий меньший конец в середине этого отрезка. Объединение выбранных 2n интервалов обозначим А n + 1 . После удаления изотрезков /3n этих интервалов получим совокупность 2n+1 отрезков,которую обозначим /3n+1. Длина каждого из этих отрезков не больше 1/2 n + 1 , их концы являются концами отрезков ранга n + 1.
Темсамым индуктивный процесс задан полностью.В результате этого процесса получаем последовательность множеств А n ,n == 1,2, ... Каждое из них открыто как объединение 2n интервалов ранга n.00Множество А== Un=11А n открыто и неизмеримо по Жордану.Первое выполнено потому, что А есть объединение открытых множеств А n . Докажем второе, вычислив внешнюю и внутреннюю меры А.Гл.1502.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыУстановим, что JL*(A)== 1,доказав, что каждый отрезок Qk С [О; 1]k, k == 0,1,2, ...
, имеет с А непустое пересечение. Обозначим== [О; 1] \ A 1 , В n == B n - 1 \ А n , n == 2,3, ... , т. е. В n - обоедuненuерангаB1непересекающихся отрезков совокупности fЗn.Qk n А == (25, т. е. Qk n А n == (25 для любого n. Приn == 1 из того, что Qk n A 1 == (25, следует, что Qk С B 1 .
Из того, чтоQk С В n для n ?: 1 и Qk n A n+1 == (25, следует, что Qk С B n+1 == В n \\A n+1 . Методом индукции доказано, что Qk С В n с B n+1 == В n \ A n+1для любого n. Поскольку В n есть объединение неnересеJliающuхсяотрезков совокупности fЗn, отрезок Qk содержится в одном из них,и, значит, его длина не превосходит 1/2 n , т. е. 1/10 k ~ 1/2 n длялюбого n.
Это неверно, поэтому неверно и допущение Qk n А == (25.Объединение Sk всех отрезков Qk С [О; 1] фиксированного ранга k совпадает с [О; 1], поэтому JL(Sk) == 1 при любом k, а значит, иJL*(A) == 1.Найдем внутреннюю меру А. Интервал ранга n не содержит ниодного отрезка ранга k, если k ~ n. Если же k ?: n, то интервал ранга n содержит 10 k - n - 2 отрезков ранга k. Множество А n состоитиз 2n - 1 непересекающихся интервалов ранга n, поэтому оно не содержит отрезков ранга k при k ~ n, а если k > n, то А n содержит002n - 1 (10 k- n - 2) отрезков ранга k.
В объединении А == U А n толькоn=lмножества A 1 , ... , A k - 1 содержат отрезки ранга k, остальные их неДопустим, чтосодержат. Поэтомуk-lk-l1nknkJL(Sk) == '""" 2 - (10 - - 2) . 10- == ! '""" ~__1~2 ~ 5n10 kn=ln=lk-l'""" 2n ==~n=l== !(1- _1_) _ _ 2_(2 k - 1 -1) ==! _ 13 . ~ + _1_85k- 110 k88 5k10 k 'откуда JL*(A) == lim JL(Sk) == 1/8.
Следовательно, JL*(A) < JL*(A) и Анеизмеримо.k---+ooИспользуя описанное здесь множество А, можно указать вn ?: 2,дану.Rn ,открытые множества и даже области, неизмеримые по ЖорАЗАДАЧИ1. Доказать, что в Rn куб ранга k содержит (10 l - k - 2)n кубовранга l < k, не пересекающихся с его границей.2. Доказать, что для куба Q ранга k в Rn имеется:1) З N - 1 кубов ранга k, имеющих с Q непустое пересечение, ноне совпадающих с Q;2) (10 l - k + 2)n кубов ранга l ?: k, имеющих с Q непустое пересечение.§ 7.М ера Жордана. Измерuмые множестваПусть Х с3.1)Rn .151Доказать, что:если для некоторого ko Sko (Х) есть объединение счетной совокупности кубов ранга k o , то и для любого k == 0,1, ...Sk(X) является объединением счетной совокупности кубов ранга k (т.
е. если впоследовательности /-L(Sk) один из членов есть +00, то и все ее членыесть +(0);2) последовательность Sk(X) не обладает свойством, указаннымв 1) для последовательности Sk(X).4. Доказать, что открытый куб ранга k в Rn измерим по Жордану и его мера равна мере замкнутого куба ранга k, т. е. 10- kn .5. Доказать, пользуясь определением меры Жордана, измеримость и найти меру:1) отрезка [а; Ь] в R1 ; 2) интервала (а; Ь) в R1 ;3) замкнутого прямоугольника в R2 , стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины а и Ь;4) открытого прямоугольника в R2 с такими же сторонами, что ив 3);5) замкнутого параллелепипеда в Rn , n ~ 3, ребра которого параллельны координатным осям и имеют длины6) открытого параллелепипеда в Rn,n~аl, а2,...
, а n ;3, с такими же ребрами,чтоив5).Пользуясь определением меры Жордана, доказать измеримость6.множеств:1) {(Хl;Х2): Хl ~ О, Х2 ~ О, Хl +Х2 ~ 1};2) {(Хl;Х2): -l~Xl~l, 0~х2~J1-хi};3) {(Хl;Х2): О ~ Хl ~ 1, О ~ Х2 ~ е Х1 };4) {Хl;Х2): 1 ~ Хl ~ е, О ~ Х2 ~ 1nxl};5) {( хl ; Х2): О ~ хl ~ 1Г, О ~ Х2 ~ sin хl }.7. Доказать, что внутренняя и внешняя мерыЖордана ограниченного множества конечны.8. 1)Доказать, что множество с конечной внешней мерой Жордана ограниченно;указать2)неограниченное множество с конечной внутреннеймерой.9.Доказать, что измеримое по Жордану множество ограниченно.10.
Доказать, что:1) внутренняя мерамножества, имеющего хотя бы одну внутреннюю точку, либо положительное число, либо2)+00;множество с положительной внутренней мерой имеет внутренние точки;3)мера измеримого по Жордану множества, не имеющего внут-Гл.152Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.ренних точек,11.равна нулю.Доказать,что непустое пересечение замкнутогокуба с открытым множеством вnRn-мерногоимеет положительную внутреннюю меру.12.Пусть Х-замкнутое множество вкрытие кубами рангаk.его поДоказать, что каждая точка Х являетсявнутренней точкой множестваn13. Пусть Х 1 С Х2 С RJ-L*(X 1 ) ~ J-L*(X 2 ).14. Пусть Х -R n , S k (Х) -Sk(X)..Доказать, чтоJ-L*(X 1 )~иJ-L*(X 2 )ограниченное множество вRn ,Х 1 С Х. Доказать,== Sk(X) \ Sk(X1 ); 2) Sk(X \Х1 )== Sk(X) \ Sk(X1 ).ограниченное множество вRn ,Х 1 С Х.
Доказать,что:1) Sk(X \15.Х1 )Пусть Х-что:1) J-L*(X \ Х 1 ) == J-L*(X) - J-L*(X 1 ); 2) J-L*(X \ Х 1 ) == J-L*(X) - J-L*(X 1 ).из16.Rn ,Указать два таких непересекающихся множества Х 1Х217.Пусть Х 1 и Х 2 -открытые множества вRn .Доказать, что18.Указать два таких множества Х 1 и Х 2 изRn ,чтоичтоJ-L*(X 1 U Х2 ) > J-L*(X 1 ) + J-L*(X 2 ).19. Доказать, что если J-L* (Х) == о, то Х измеримо и J-L(X) == о.20.номДоказать, что данное выше определение меры Жордана в частслучаемножествамерынульравносильноследующему:жество Х имеет меру нуль по Жордану, если для любого Еществуют такие натуральноежества Х кубами ранга21.мно>Осуk и конечное покрытие Sk(X) мноk, что J-L(Sk(Х)) ~ Е.Доказать, что конечное множество точек вRn имеет мерунуль.22.
Последовательность точек x k Е Rn , k Е N, сходится к точкеnиз R . Доказать, что множество {x k : k Е N} имеет меру нуль.23. Пусть Q - k-мерная гиперплоскость в Rn (прямая при k ==== 1); Х - ограниченное подмножество а. Доказать, что J-L(X) == о.24.Множество имеет меру нуль. Пользуясь определением мерыЖордана, доказать, что:1)2)любое его подмножество имеет меру нуль;мера его замыкания равна нулю.25. Пусть Х с R n и для любого Е>Осуществует совокупность§ 7.М ера Жордана.
Измерuмые множества153NизN измеримых по Жордану множеств X j такая, что Х сNU Xjиj=lLJL(Xj )<Е(N и X j , вообще говоря, зависят от Е). Доказать,j=lчто Х измеримо и26.Пусть Х сJL(X) == о.R n , ах -граница Х,объединение всех(J"k(X) -кубов ранга k, содержащихся в Sk(X), но не входящих в== 0,1, ... Доказать, что ах с (J"k(X) с Sk(aX).27.Sk(X), k ==Доказать критерий измеримости: для измеримости множества по Жордану необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и чтобы его граница имела меру нуль по Жордану.28. Доказать, что измеримым по Жордану является:1) объединение конечной совокупности измеримыхпо Жорданумножеств;пересечение конечной совокупности измеримых по Жордану2)множеств;3) разность двух измеримых по Жордану29. Доказать монотонность меры.30.31.множеств.Доказать аддитивность меры.Пусть Х 1 и Х 2 -измеримые по Жордану множества вRn .Доказать, что:1) JL(X 1 U Х2 )2) JL(X 1 u Х2 )32.== JL(X 1 \ Х2 ) + JL(X2 \ Х 1 ) + JL(X 1 n Х2 );== JL(X 1 ) + JL(X2 ) - JL(X 1 n Х2 ).Доказать, что замыканиеХжества Х измеримо по Жордану и33.Пусть Х-измеримого по Жордану мноJL(X)== JL(X).измеримое множество,его внутренних точек.
Доказать, чтоin Хin Х -множество всехизмеримо иJL( in Х)==== JL(X).34.Пусть Х-измеримое множество,in Х -его внутренних точек. Доказать, что если Х 1 С Х==множество всех\ inX, то JL(X 1 )==о.nПусть Х 1 С R , JL(X 1 ) == о. Доказать, что для любого мноnжества Х С Rмножества Х, Х U Х 1 , Х \ Х 1 одновременно либо35.неизмеримы, либо измеримы, и в последнем случае36. Пусть множества Х 1 и Х2 измеримы по Жордану в R n , Х 1 СС Х 2 И JL(X 1 ) == JL(X 2 ).
Доказать, что любое множество Х такое, чтоnХ 1 С Х с Х 2 , измеримо по Жордану в R и JL(X) == JL(X 1 ) == JL(X 2 ).37. Пусть измеримое по Жордану множество Х С R n рассечено(n -l)-мерной гиперплоскостью а на две части Х 1 и Х 2 , т. е. всеГл.154Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.точки Х 1 лежат по одну сторону от а, все точки Х 2 -==и ХХ1U ао U Х2 ,где ао==Qn Х,Х1n ао ==зать, что Х 1 и Х 2 измеримы по Жордану и38.
Доказать,1) для любогоХ2JL(X 1 )по другуюn ао ==eJ. Дока+ JL(X 2 ) == JL(X).что:RnJL* (Х) == sup JL(X'),множества Х СХ'сХгде Х'2)-всевозможные измеримые множества, содержащиеся в Х;для любого ограниченного множества Х СRnJL* (Х) == inf JL(X'),X':JXгде Х'-всевозможные измеримые множества, содержащие Х.39. Множество Х С R n таково, что для любого Е>Осуществуютдва измеримых по Жордану множества Х' и Х" таких, что Х' с Х сс Х" и JL(X") - JL(X') < Е. Доказать, что множество Х измеримо поЖордану иJL(X) == sup JL(X') == inf JL(X") ,Х'сХгде Х' и Х"X":JXвсевозможные измеримые множества, содержащиеся-в Х и содержащие Х соответственно.40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
