1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 17
Текст из файла (страница 17)
По теоремео t?egHeM значении, межgу а и Ь сущитвупо-gpVZOМУ?еrn такая mо~кэ ХО1 чтоf'(x ) ~ f(b) - f(a)оНоЬ- аf'(xo),по нашему п"egположению,"авна О, а значит,f(a)~f(b)и функиияявляется константol:l.1.ПОЛО'жиТЕЛЬНАЯ ПРОИ3ВОAjiАЯ03НДЧдЕТ, ЧТО ФУНКЦИ~ tТPoгO ВО3Рд/:А отсюgаТдЕТ.Пустьf'(x) >в инте"вале (с,валеcm"ozoслegуето(cm"ozo!) gля I<3Жgоzо Хd). Tozga f на ,том инте,,caМbla важный"езультатвоз"астает .,той zлa.ы!А,ОКд3дТЕШТSО. Возьмем любые еветочки в инте"вале, такие, что а < Ь.По теореме оt?egHeM значении, межgу аи Ь сущитвует такая точкз Хо, что3.f'(x ) ~ f(b) - f(a)oЕсли f и 9 - люGые еве функции, такие, чтоf' ~ 9', то f и 9 \'3злuчаются лишь на конЬ- аМы npegположuли, что f'(Xo)П07томуcm"ozof(b) - f(a) >ГМВНЫЙ ВЫВОД.>О, т.е.О,станту. чтоБыfслegствия, ""именитеBblBumuВОЗ\'3стает.А темер•tJ<ахоЕс"" "'унlЩlJявсе времястремитсявверх, рз,веона МО%етуGЫ8Зrnь?Ь167•пгрее,кuнmщалам!,то из npegыgущеzоezo кфункиииf - 9.3адачиJмя ка"'еой <руНКЦии f найеите наклон m ~ (f(b) - f(a))/(b - а) секущей, соegиняющейKOHЦI>I zpа<рикэ на еанном инmе\,вале.
3атем найеите все mочки С на инmе\,вале, такие ,чmоf'(c) ~ т. П\,и не06хogимости мОЖНО nользоваmься кэлькуляmО\'ом .1. f(x)~ х ' + 2х+ 3наинmе\'Вале [о, 2]4. f(x)~ cos хна инmе\,вале [о, 31Т]2. f(x) ~ е- 'на инmе\,вале [-1 , 3]7. f(x)3. f(x) ~ 44 + х на инmе\'Вале [о, 2]6. f( х) ~-х~ 2х· - х 2 на инmе\,вале [-'50, '50]t<з хна инmе\'Вале [-а, а] gлялюбоzо а,maKozo,<чmо О3аметьте, чmо из теО\'емы Ролля, в часmносmи, слegуеm: если n\,оизвоgнаяа<1Т/2f'(x) Hen\,e\,bIB-ноо gu<p<pe\,eнLIU\'yeMoa <рункции f НИ Рд3У НЕ ПРИНИМАЕТ НА ИНТЕРВАЛЕ 3НАЧЕНИЕ о,то в 1том инmе\'Вале не сущесmвуеm таких евух mочек а и Ь, чmо f(a) ~ f(b) .7.
Покажиmе,не большечmо У\'авнение у ~ 3хOgHOZOкО\'ня. Есть ли у- sinHezoх+ 7 имеет"вообще кО\'ни?Почему еа или почему нет?в а. Покэжиmе, чmо мноzочлен втО\'ооР(х) ~ х 2в б. Покэжиmе, чmо мноzочлен т\,етьейcmeneHU имеетне более т\,ех кО\'Ней."vvв в. Покэжиmе, чmо мноzочлен n-й cmeneнu имеетне болееn кО\'ней.9. Машинанахogиmся на отметке20КМ. Если ее скО\'ость не n\,евышаеmМЭКL:имэльный номе\, сmолба с оmмеmкой,2"cmeneHU+ Ьх + С имеет не более евух кО\'ней.KomO\'0zo1'50 км/ч ,кэковона мо"'ет eocтиzнyтb за слegующиечаса?10. <1'ункцuя fHen\,e\,bIBHa на инmе\,вале [а, Ь] и gи<р<ре\,енЦU\'уемэ в (а, Ь), f(a) ~ 2. Еслиf'(x) $; 7 gля кэ"'gоzо хв инmе\,вале (а, Ь), кэково МЭКL:имэльное значение f(x), KomO\'ozo<рункцuя мо"'ет gocmuzHymb на 1том инmе?вале? (Поgскэзкэ : С\'авните с заgачей 9.)11. Пусmь f(x) ~ (х - 2) - 2. Покэжиmе, чmо в инmе\,вале (1, 3) не сущесmвуеm значения С,n\,U котО\'ом f(3) - f(l) ~ f' (с) (3 - 1).
Почему 1то не n\,оmивО\'ечum теО\'еме о С\'евнемзначении?12. Пусmь fи9 уgовлеmвО\'Я13. Покажиmе,чmо любая <рункцuя, n\,ouзвogноо котО\'ойюm условию теО\'емы о С\'евявляеmся она самэ, gолжна иметь вие f( х) ~ Се ', zge Снем значении на инmе\,валенекоmО\'ая константа. (Поgскэзкэ: n\,U\'авняйmе[а, Ь] и f(a) ~ 9(а).
Покажиf'(x) > 9'(Х)f(x) , gu<p<pe\,eHLIU\'yйme <рункцuюте, чmо если9 (х) ~gля кэ"'gоzо х в инmе\,вале(а, Ь), то f(b)>9(Ь).и-f'(x) ~f(x)е'n\'UMeHume слegсmвие 2 из теО\'емы о С\'евнем значении.)166Глава8Знакомимся с интеrрированиемСКАэgЫlJэем gIJЭ, gIJЭ, glJЭU glJЭКак мы уже 6ugелu, математuческu~ аналuз gелuт 6елuчuны на бесконечно мai\ble кусочкu,К\'охотные, похожие на мышек, с именами 6роеето Ь.Р - тонюсенькu~ ломтuк 1moZO n"1'oza.h,Ь.х, ь'у,b.t u b.f.Еслu Рох!u неEzo- n"1'oz,сбокуу6uguшь...А,о сих пО\' мы смотрелu, что буgет, еслu РМА,ЕЛИТЬ оену uз 1тих штучек на gpyzую6 соотношенuях тиnа b.f/h ... Д теперь мы хотим сgелать С1тими К\'ошечнымu 6елuчuнамuнечто gpyzoe - сложить.их.Сколько тебеВсе еоКУСОЧК06egUHOZOотсюgаположить?gосюgэСложенuе проще умноженuя, n01том у6 школемы учuмuezoраньше. И 600бще математики uсnоль З06алuА поперекрезать8Ы неnpоG06ЭЛU?сложенuе за тысячuлет еоНьютонmozo,какu Л~бнuцuзoG\>елu nРОUЗ6ogную.167U...~ СУМЖ>I мноzих 9лементов используется станgЭ1'тное обозна~енuе-заzлэвная Z\'е~еская буква сиzмэ, то есть«С», сокуэщенное оGoзна~ение слова«СУмма».Не БОЙСЯ,она некусается...Hat1f'UMep,возьмем nослegовательностьиз пяти ~ленов [2, 4, 9, 16, 32 }.
'gecbа; ~Если у нас есть nослegовательностьиз2 ; и n ~ 7.1224•в416?.2в 9том сл~аеn ~исел7Е а; ~ 2 + 4 + 9 + 16 + 32 ~ 62а; называется i-mbIМ ЧЛЕНОМ 9тойno-iслegовательности, а сумма всех ~леновЕ а; ~ 4 + 9 + 16 ~ 29nLi~i;noggo «9Н»). i называетсяИН.l>,EКСОМ nослegовательности.Сумма nослegовательных ~ленов от арзаписывается какqЕ а; ~ ар + ар+! + ... + а•i2,эк ... Кажem.:::я, мне1go а• вклю~ительно~уgэюа. ~b l:umу3Ц1JЮ(~итается «сумма всех а-и-тых по «и»от DgHOZO14записывается слegующим 06\>Эзом :a~~ Р1613ICOНn'IPOfIЬ.•.Если нам нужно n09елить nupoz Р на n9й! Поzo-(ВОЗМО)ICНо, неравных) ломтиКОВ, называемых 6.Р" 6.Р., 6.Р,весьnupoz...9 и -lOl6.Рn , mozgaминутку!6увет суммой:P~nL 6.Р,i~Хороwимвопросl1Возмо)ICНО, вы lnрашиваете себя: еслитenе\'Ь, как мы чаlто велэем в матемаlложение проще веления и вreBHиe лювитичecKoM анализе, уменьшим разМef' 9тихиlnользовали интеzpaльr заgолzо воломтиКов (во 6есконечно малоzо dP, какlказал 6ы Лeil6ни!.V.
Их lYммa тоже 6увет06означаться 6уквой «с» , но вrvzollmUHlKOIl $,-""uzaне начаЛЭlЬl 9mOZOразgелэ?лэlиЛЬНО вытянутоо по вертикали . Она называетlЯ ~HдКOM инТЕГРАЛА.Конечно же ты неH eт.~gумаешь , что Я 9то1тО9ие19елэл lneцuально, чт06ывывихнуть тебе мозzи?Р::д почемуопятьmozo,как Ньютон nриgумал nроиЗВО9ные, почемуs ZO/lD8yне...90 нынешней. МlJHyты!npuxoguдodPПоmомучmО9тотоже8каКОМ -тосамысле. сауN\НIЭ!Ксmэmu t ~тoтlи,.вол изоG\>елmоже я!•-- _.~Ответ вэс I возможно tуеивит: хотяlYMMbInpоще ПРЕА,СТд8И1Ъ СЕ&Е,8ЫЧИСЛЯ1Ъ их лezчеl ul-nОЛЬЗOfjанием ПРОИ~80Дных! Ньютон и Лeil6ншо\открыли, что межвуlYM-мами и nроизвО9НЫми естьуgивительноену хО\'ошо ...
~начит, мы 6увем пользоваться 9тoll заnиlЬЮ...lЛOжение отсюва и воОна означаетynopa ...169poglmBO!Как мь!увивим черезминуту...BugumПр~ставим се6е снова. ~тo Дельта B~eтОнамашину по прямой. но на 9тот раз стeJ<ЛaМожет ли она вы~слить.в машине затемнены.по npошествии. скажем.Часто npоверяя зна~ения t и v(t).Дельта пол ~aeт ряg ~исел V (to).v(t,). v(t,) • ... v(t,J и m.g. в моменты времени t o• t,. t, . ... t i • ••••t no zge t o = О и t n = 10.только «скоростемер» и время.zge нахogится.10 ~UHUL\ времени?Она заме~ает. ~тo на коротком интервале времени[t i_,. t,Jv(ti_, ).ее скорость no~ти постоянна и равнатак ~тo изменение положения машины на9том интервале примерно равно скоростиv(ti_ ,).умноженной на gлину интервала:5(t,J - 5(ti_,) '" v(ti_,) (ti - t i_,) =~ V(ti~,)l::;.ti'zge l:!.
t i =t i - t i_,. Изменениеположения на i-mОМ интервэлеno~ти тO~HO равноv(ti_,)l:!.ti .Сложив все 9ти вели~ины. nол~аем примерное зна~ение СУММАРНОГО изменения положениямашины в промежутке межgу t o = О и 10:n5(10) - 5(0)=L~tiV(ti_ l )i~ 1<170На zpэ<!'ике кажgый член 9той суммы Буgет изоGpажаться узким nJ'ямоyzольником с высотойv(t,_,) и основанием Дt,*. ОБщее изменение положения машины равно СУММЕ плоЩддF.Й9'f1.1X ПРЯ"'ОУГОЛЬНИКОВ.Площаgь neJ'BozonJ'ямоyzольника равнаv(tо)дt" аi-mozov(t,_,)* Дt,.to1;,t, 1;, t,t, t,,.j.I",":11:. , , ,,,'.,,t,Если считывать показания «скоростемера»ч аще, так что самый широкий интеl'вал дt,с тановитсяуже, сумма становится Болееточным nJ'иБлижением пути,~, ,.,t, 1;, I;,D 1;" 1;" 1;" 1;" • 10t,Iа втомоБилем,nовторяютf-:оrs, , ,, ,nl'oageHHozoа nl'ямоyzольники Более точноочеl'тания zra<!'uкa.1,I ~:показания:, , ,, ,,По мереmozo какдt--о, nl'иБлижениестановится все Более точным, а совокynность nl'ямоyzольников начинает выzляgетькак О&ЛАСТЪ под ГРД<РИКО'" <РУНКUj.lИy~ v(t) межgу t~ou t~ 10.о* ПJ'egnоложuм пока,10что скорость неотJ'ицательна.171Пус!<Э~ скорость заgаemся n"oc.mo~ фOf'муло~ V(t) ~ t м/с.
fOZ9a изменение положения~е"ез 10 секунв, 5(10) - 5(0), "а8НО nлощаgи nog Z\'a~UKoM у ~ t во t ~ 10, то естьnлощаgиgaHHozom"еyzольни!<Э:в СУШiJости,8местоно1010 можnogcma8umbлю60е 8\'емяt:т10Поскольку Т n"ОUЗ8ОЛЬНО, 1тозна~иm, ~тo5 !<ЭКПЛОtJJAA,b~УНКЦt.lЯ 8\'еnP€-8\'зmиласьмени оn"egеляеmся ~ормуло~5(Т) ~ 5(0) +i8 <!,ункцию?!р,Zge 5 (О) - сmЗ\'m08ая nозиЩJЯ.5(0)у ~ 5(0)+t 1"тдП рouзвogнзя ~ao?menepb А,И4>4>ЕРЕНIЦ-1РУЕМ 5(t).5'(t)Площзgu? Что зguь~..SL (.1.t 2 ) ~ tdt 1-вооGще творится?~ v(t)Как и слeg08ало ожиgаmь,n"o5U380gная ~YНKL;UU положенияt-по 8\'емени1то скорость V.(Уgи8иmельно, ~тo ~ункЩJЯ, onuСЫ8ающая положение а8томоБи ля, n"egсmа8ляеm соБо~ nлощаgьnogZ\'a~UKoM скорости!)172Оnl'egеляя положениепоCKOf'ocmu,мЫ как БыА,И<Р<РЕРЕН!Ц>1РУЕМВ О&рДТНylo СТОРОНУ.Нам вана функция V, иМbI ищем е?YZУЮ функцию, чьей nl'оизgовноlJяgляетсяlJ.,OV.9тоzo момента МbIgceZ9anеl'еховили отфункциивовНОIJf к ее nl'оизf'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
