1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 15
Текст из файла (страница 15)
С 91'yzo~ cmOPOНbI, 9(Х) ~ х' Begem сеБя в mочке х ~ О совеl'шенноnO-91'yzому. Первая и вmорая nl'0U3BogHbIe l'авны 9'(Х) ~ 4х ' и 9"(Х) ~ 12х' coomBem-cmBeHHo.Пl'и х ~ О оnяmь 9'(0) ~ 9"(0) ~ О, но в9moMслучае mочка х ~ О явны~ МUHиMYM.9то оченьраmа"",еm!у ~ х'9'(Х) ~ 4х '9'(0) ~ О9"(Х) ~ 12х'9"(0) ~ ОИноzgа nl'ихоgиmсяна саму функцию .cMoml'embВторая nро~зво€}ная HY)lCНa не только €}ЛЯ npOBep~ NVJKC~MYMOB. Она кое-что сооGщаето том, как выzля€}~т zpаф~К функщш.,,Hanp~мep, np~ росте 9Коно~~ отр~цательная вторая- -- - - ~ --- - -"-_._-- -~,nроозво€}ная (скажем, HaL\~O- - ---~-----г---,нальноzо ваЛ080Z0 npogyк,та) означает, что темпы-----"- -- --11...---роста сн~жаются ~ вскореnpe-рост может вооGщекрат~ться...f"дналоz~чно , nоло~теЛЬнаяcna€}aво времяХотя ~ не оБязательно!может указывать на то, что скоро начнется рост.,--- ~- - -- ~--- --r--- -~---+----~----~- - -- -r----~---II__ I ____~I,III__ J I ____II _____ IL ____ IL _ _~tJI___ _II" _ __ _ L ___ _L,,,,,,"IIII __ ___ IL ____ LI __~IIIIII,,,,,,,__ '_____ L ___ _1--- - г - ------ г -------+----~----~-----~tIIIIIItL-4 еще ogно: С помощью nрооз3€}ecbВO€jной MO)ICНO ~cкaтb ЛОКAЛЫlЫЕвнутренней точке с, а zлоБальный ~H~MYM9кстремумы, но ~HOZ€}a нам нуженимеет место в конечноо точке Ь.zлоGальный NVJКCUMYM €}ост~zается воГЛО&дЛbIIЫЙ NVJКC~MYM ~л~ ~H~мум , то есть на~Gольшее ~ли наименьшее значен~е во всей оGласт~onpееелен~я ФУНКL\~~.
Есл~f onpe-~елена на закрытом ~нтервалеLа,Ь], то 9кстреNVJльное значеnpUHUNVJmb на O€}!юм из KOHL\OB отрезка. П09томунужно сравнивать значен~я f( а),ние она можетf ( Ь) ~ значения fJ(3X 9кcmpeMYNVJ.в локальных точiiаС149ьЗадачи1. Найвите все ЛOkЗльные 9КlтpeMYMЫ 9тих функций.
ОnРe!:jелите, какие из них а какиеа.6.мзкlимумы'МUHUMYМbI. Нарисуйте zpэфики.-f(x) •х'9. F(e).+х- 1е. А(х).<з(х).х'- ~x+вв.h(t). 2.t' -z.7(Х)',in'~t·-~6t- 1хсо, е';4 _хln+ ,inZ. Каковаех'f(x). ,inQ(x).3.,(t) • •г · со,Х?Д сто весятая?х)1(.весятаяnPOLlзвogная функцииt3. Пoкэ;ocuте,что из всех npямоyzольников с nepимempOM Р наиБольшая nлощавь у кваgpата со стороной Р/4.4. Корова, которой выстрелили из катапульты,взлетает в возвух nog yzлoм е к земле с начальной скоростью v o ' "та скорость имеет 'ориЗ0Нтальную составляющую voco, е и вертикальнуюсоставляющую vo,in е.Iд'vo,ine?СтРOLlтельная компания хочет построитьgopozyот точки на Берezу крyzлоzо npуgа Кguамеmрально nроmuвоnоло.жнОО точке, нахogящейся на раатоянии 2.
КМ. СтрOLlтештво 130pozu оБхogится в 7 вомаров за метр по вове и4 gомара за метр по суше. Опишите маршрутnpоклзgки вороzи, который выБерет компания.voco, е(-1, О) +Высomа коровы нае землей в моментвремениt__--'-_L--+ (1, О)равнаh(t) • -4,9t· + (vo ,in e)tПоgсказка: раатояние () om nоворотнойточки Р 130 пункта назначения описываетсяа. Найвите момент времени т, в кomорыйgосmuzиеm МЭКlUМЭЛЬНoCi высоты."Of'0eaуравнением(Он зависит от е.)()'. (со,горuзонmальное рааmоянuе I котороеnокроет корова за 9то время, Бувет равно{)(е) •(voco,К моменту,корова уварится о землю,(2.vo co,МbIM yzлом. Ширина кориворасторону от yzла ие)т4мнаиБольшую влину фЗнериоzо листа.который nролезетчерез YZОЛ кориgора .Пogсказка: ищитесамый 9ЛUННЫi.:i кусок,который npолезет.Все куски, которые ко6. Найвитеекориgору, который noворачиваетБуgет в gва раза Больше, то есть{)(е).+ 1) ' + ,in'6.
ча строителя несут лист фанеры пое)т, а суммарное раатояниеKOZ9aеYZОЛ е, при котором () МЗКlимзльно.(Не заБывайте, что т функция om е!)-170роче иеzо, mожеnроле3ут ·-nog~ мвnpяogHYв gpyzую . НайвитеГлава6Деиствуем локальноСАееуем по nрямойnOCMom"UM немноzо nog 91'YZUM yzлом. 8место mozo чтобы смот"еть,I<ЗК n"оизвogнзя блужgзem по cвo~ области оn"egеления, сосрegоточим внимание 8 ОAjlОЙ,ОЧКЕ. Мы нз~gем тзм уgивительно мноzо ...А теnе\'Ь gзвз~те•НЗ С.цииf119 яи зэчем мне.оnисзл мелкие изменения <!,УНКgOК!'yz точки а урзвнением, котороеЯ нззвзл <ржА,АмЕн,АльныM УРАВНЕНИЕМн.АТЕн.АТИЧЕСКОГО АНАЛИ3А:f(a+ h) -f(a) ~ h f'(a)8ыuzрыэmьbпари 11 6аре?+ блохаЭто урзвнение ymве"жgзет, что 1'Ззницэмежgу f(a + h) - f(a), или t.f, с oeHO~стороны, и hf' (а) с 91'yzo~, мала по срзвнению с h.
,оzgз очень n"ocmo вычислять"""ближенные знзчения f.1-;1яИНОZ9а в математиКе нeGольшоеизменениеlUlmeMbI заnиlиBlezgaименно9то и zоворил!можеmnОi\НОlmью nоменяmь ваш ВЗZАЯgна вещи...&увем заnиlЫваmь х ~ ато ить h ~ х - а.TOZ9a+ h,q>унgаменmальное У\'Эвнениеn\,инимает lЛegyющu~ вив:f(x) - f(a) ~ f'(a) (х - а)+ Блохаилиf(x) ~ '(а)+ "(а) (х -а)+ БлохаТаким 06разом .
9то овин из lnoloGoв, кото\'bIM можно OnUlamb nовевение q>YНKL\UU fв OК\>umHolmu а. Теnе\,Ь вычmем из оБеих чаlme~ Блоху и получим Более n\'Оlmую q>УНКL\UЮ :Т/х) ~ f(a)у ~ f(a)+ f'(a)(x -Наклон ~Ее Z\'Зq>иКа)+ f'(a) (х -а)- n\'Ямая линия, коmорая ПРОХОДИТ'lЕРЕ~ аи ИМЕЕТ НдКЛОН, РД8НЫЙ f'(a).Сущumвуеm овна, и mолько овна, mакаяf'(a)прямая .10;29та прямая, КдеА'!'ЕЛЬНдЯ к zpафику у ~р ~ (а,f( а)),f(x) в точке а, касается кривой в точкеа ее наклон равен nроизвоgнойfв 9той точке. 9то функция, zpафиком которой является прямая линия с тем же значением функции и nроизвоgной, как и у функцииfв точке а.Т.
отличается отfна Gлоху- как выпомните, 9то значит не только, чтоlim(Т.(х)- f(x))/f(x)х +---===:::: ~'-... Т.(х)~ о,но также и то, что_аlim хх_.2а(Т.(х) -f(x))~о-f(a) ~ Т.(а)Иными словами, ряgом сточкой а разница межgуТ.(х) и f(x) мала !J.).ЖEПО СРА8НЕНИЮ с х-а.9то можно выразить и слegующими словами: ЧЕМ С &ОЛЫVИМ У8ЕЛИЧЕНИЕМ МЫ рдеСМдТРИ8АЕМ ПО8ЕА,ЕНИЕ ФУНКtЦ>IИ 8 ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ р, '!'ЕМ &ОЛЬUJЕ ГРАФИК У ~f( х)похож НА ПРЯМУЮ.СторонаПрegставьте себе, что точка х лежитнааzpaHULIe cepozo-nрямоyzольника, а точкаt.Acepozonрямоyzольнuка равна2 (х -и nрямOIA с.тановится npене6ре.жuмо N'>3ЛЫМ .в центре.
Теперь nриGлизим ...173а),по сравнению l Ней f'заmоянuе меЖ9У кривооA,PYZUMспосоБом ,то MO)I(НOдыразuть так: ~ 3НДЧЕНИЙ х.lnОРI.IМ на guяmt>&лизких К а. 3НДЧЕНИЕf( а) f' (а) (х ... а) Я8ЛЯЕ'ТСЯlCВэgpэmный "орень6ЭКlDв. что+ХОРОШИМ ПРИ&ЛИЖЕНИЕМ ~f(x) . 9то вает нам спосоБ дЫиз 10l""ен,9."31'7mочноаnью90ogной mы,ячнoti!чuсленuя npuБлuженных значенuйфункцuй.ПримерыU а ~ 1.
Мы умеемПусть f(") ~ гхПоеoGным 06\>азом MO)I(НO npuGлuженнодычuслuть натуральный лоzарuфмдычuслять npuGлuженныекорн" чuсел. Блuзкuх К1. так как знаем f( а)f·(a).f(1) ~ v1 ~ 1. разумеется. UUf,(,,)~_1_Еслu "GлuзОК Кf(,,) " f(1 )f(") ~f '(1) (" - 1)~1++ (" -(+)1е1)"_ 1 + О . 1.в1. "2.71в" 1.10......(1,3 ... 1) ~ 1.1SТочное значенuе радНО1.In 3 " 1 + (3 - е)HanpUMep,v1:3 " 1 +f(e) ~f'(")~x' f ·(е)~е ·значuт.1. mozga+In ".1f'(1)~_122УхIn "еля "д окрестностях е:'Точное значенuе радНО1.1401.
...•то есть1.09в6 .... то есть наш мemogнаш мemog вает точность лучше овноовает точность npuмepHo пятьтыСЯЧНЫХ ... нenлохо!сотоо.IS4--;....&--.;"ГJ'афик gиффеJ'енцupуемой ФУНКl.\Uи «~ЫnJ'ямляется», или paaмaтpи~aтbezo nogбольшим~еличением. 3начит, любая функция, чей zpафик не nJ'иближается к npямой ~ окритноститочки, не имеет nJ'оиз~оgной ~ 9той точке!в качит~е nJ'UMeJ'a можно раамотреть ФУНКI.\UЮ абсолютной ~еличиныв точКе а ~ О9 не имеетnJ'оиз~оgной: ее zpaфик nо~орачи~аетnog9( ,,) ~ 1,,1.nJ'ямым у2лом, и,СКОЛЬ бы сильную Л'(f1у мы ни ~зяли, ~ 9той точКе он ~ce pa~HO буgет ~ЫZАЯgеть npямым у2лом,И НИКАК ИНАЧЕ. Разностные отношения ~ точке ,,~ о стJ'емятся К J'азным nJ'egелам:~{-1, Kozga hh <> о1, Kozgaо8 9тойточке нет~ оnрegеленноzо наклонаДНалоzично, любая функция, у которой ~ zpафикеМЫ nОlmзрзе.,Мt::яить острые у2лы или пики, не gиффеJ'еНЦU1'уемаих uзGеzаmь!~ соот~етст~ующих точках.А1??meneJ'b~ернемся опять К nJ'ямым ...Скажу Кое-что насчет прямых (Возможно, во сих ПО!' ВЫ 9mOZO не замечали) : пусть вве невертикальные прямые, у ~L,(x) иу ~ /...(Х), мресекаются на оси Х в точке а.
Если их наклоны равны соответственно т и р, то прямые описываются слевующими wавнениями:у ~ /.., (Х) ~ т(х-а)у ~ L-.(x) ~ р(х-а)наклон тПусть р ~ о.Цх)_Tozeaт(х-.......... .. .....при х ~ аа) ~/... (х) - р(х - а)Хотя значения ФУНКЦU~Цх)1!LрхL, и /... nриGлuжзютсяК нулю, их соотношениеBcezeaоувет \'ЭвноСОО1НОШЕНИЮ ИХ НдКЛОНОВ.Куgз прямые,mуgэLI алаженныеК\'и8ые-В nрegеле!Правило АопиталяЕслиf(a) ~ 9(а) ~ о, тоlimf(x) ~ f'(a) при условии, что 9'(а) ~ ож- а 9(Х)9'(а)8 nревеле соотношение 3НД 'tЕНИЙ равно- вевь вокрестности а oGe кривые становятсясоотношению ПРОИ3ВОДIIЫХf(x) '" f'(a)неотличимы от прямых с наклонами9(Х)f'(a) и 9'(а) соответственно.1%9'(а)наклон'"f'(a)пример._0 - 1Найвем lim е:яn 2хМы можемd: (еСна~ала заметuм,чтоu числитель, uзнаменатель \,авныOn\,ux:O.Хn\,авuло Лоnuталя:n\,uMeHumbе Х е О:11) :-,..!L (9in 2х): 2СО9 2хdx9mо чре.звы·2СО9(0): 2u n\'egел \,авенчайно 6Э)I(НО IеО:2 СО9(0)д ~тo Буgет, еслu f(a), 9(а), f'(a)u 9'(а) -1"2все \,авныnrоuзвоgной, а еслu f"(a): 9"(а): О, то к т\,етьей,HYNO? Tozga ne\,exoguM ко втО\'ойu так gалее! Вот Более оБщая 4'О\'МЭnraвuла Лоnuталя :/.f'(x)Еслu f(a): 9(а): О u X~ 9' (х) существует, тоПримерНайвем lim е'" - 1 - 3хХ_О1-СО9 ХПомните: gля nruмененuя n\,авuла Лоnuталянужно О&Я3ДТЕЛЬНО У&ЕА,И1ЪСЯ, ~тoтель,u знаменатель\,авныHYNOu ~uслuzgeв тO~Ke,вы~uсляется n\,egел! &увем называть ~uслuтельf,а знаменатель-9.
Мывивим, ~тof(O) : 9(0) : Ок сожаленuю, их ПРОИ3ВОА,НЫЕ тожеНет n\,оБлем! Мы возьмем втО\'ыеоБе \,авныn\,оuзвоgные:HYNO n\,uf'(x): 3е'"9'(Х):9inх: о.- 3х9'(0): Оf"(O): 99 "(х) :9"(0): 1СО9 Хu nолу~uмУжасно,ужасноf"(x): 9е'Х...limКакоеХ_О177е'"1--1 - 3хСО9 Х: /imХ_Оf'(x):9'(Х)Пra~ило Лоnитэля тэкже raботэem gляПочему 9то nрэsuлоПотому чтомо.жно использовзтьоно шконечнонз Guконечнotmu?lC:f'ymo"!nl'egело~ нэ биконечности, ~ том числеgля биконечных nl'egело~:i-'--/Еслиlim f(x)~"'_(Х)lim f( х)"'_(Х)lim" ' .....~lim 9( х)" ' .....9(Х) ~ 00, или(Х)~ О, тоzвэ(Х)lim f(x) ~ /im f'(x) ,.-~ 9(Х).-~ 9'(Х)или nослegний nl'egел сущест~ует.При мер ДАЯ 6есконечностинэйgемКуgэrолова Болит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
