1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Может,ты?хоть в БUlCонечностuуt:покouтся•..г---/Рlim 1х ,р > о(Х) n х" ' .....Пl'и Х-+00 ичислитель, и знэменэтель стl'емятся к биконечности. Чтобы nl'UMeнumb nl'э~илоЛоnитэля, ~03bмeM npouз~оgную от обеих функций:dd1dx (/п х) ~ х 'dx (х Р) ~ рх""э слegо~этельно,хР• -//1т(Х) n х~" ' ...../.1т РХ"""' . . . (Х) -1-~"/'1т"' ..... (Х)рХ Р ~009тот zpэфик nоказы~эem, что /п х g~ижется К биконечности мegленнее, чем ЛIO&дЯСТEl1ЕННдЯ q>унКЩАЯ с nоложuтельнoiI степенью.
По меl'е~ится мноzо больше, чемInmozo какХ-+00,х. ЛоzЭ\'ифм I'эстет очень мegленно!ОGf'этите ~нимэние, что нэ gэнномZ\'Эфике,nl'Uмэлыx Х, это не очень зэметно ... Но /п х nl'U больших х ~ сэмомgеле сm1'ygOMотl'bl~эemся"ti'10 :::ti" S ::: ;земли!,у ~ /п х"Т22002610269 0171?'"в,;207вО.2N""""'" = 4во 000 000е"/n"om2в,021<;9х Р стЭноЛ;J, но not"мompu,,,,о;.ы.::о МЬ! ужеtlf'ошли!в nоtЛ~НUХ шестu zлавах Мbl uссл~овалu nе\'Вую Большую тему мameмamu~ecKOZO анзлuзаI1РОИ3ВОДНYlO. I1l'ежgе ~eM nе1'еати ко втО1'оа теме, uнтеZ?злу, еаваате nеl'е~uслuмоБластu, в котО1'ЫХ оказалось полезным велuкое uзо6\>етенuе HыomOHaU леаБнuцэ -спосоБUЗМeI>uть мzновенную СКО1'ость 1'0стз ФУНКЦUU.Свяэанные скоростиИсnользованuе nl'ouзвоgноо ogноо ФУНКЦUUgля nоисков uзмененuа91'yzoa, связанноас неа фУНКЦUU.v~iттr'ОптимиэацияI10uск тo~eк, zge функция nl'uнuмзет максимальные U мuнuмальные зна~енuя, важен gляl'ешенuя МНОZUХ nl'oGлем l'еальноа ЖUЗНU.При6лижениеСравнение функцииИсnользованuе кзсзтельноа в тO~Ke позвоl1?Звuло Лоnuталя позволяетляет лezко вы~uслuть «с то~ностью еоB~eниe функциа на Бесконе~ностu, а тзкже6лохu» зна~енuя функцuа В ОК1'естностивБлuзu тех тo~eк,""00тo~кu.нулю .179zgeqaBHUBambnооБе функциU ?Звны-Задачи1.
Вычислите nl'иGлиженное значение г? используяфО\'мулу nl'иGлижения+ f'(4) (х -f(x) " f(4)4)2. Вычислите nl'иGлиженное значение т,т оgскэзкэ : sосnольЗ уйтесь Gлижайшим кваg!'атомцеЛ020 числа.) Cl'aBHume вычисленное значение с тем.что еает кэлькулятО\'.3. Вычислите4.nl'иGлuженное значениеВычислите nl'иGлиженное значение(Вспомните. чтоarctq 1 =sin 3.arctg (1.1).тт/4.)Вычислите 9ти nl'egелы.
используя nl'аsило Лоnиталячто сначала наеоnl'0Bel'umb.(Kozga оно nI'UMeHUMo), Не заGыsаЙте.к чему стl'емятся числитель и знаменатель! Возможно. n!'авилоnogxogum не ко всем n\'UBegeнHbIM gалее n!'Uме\'Эм.._0cossin(x')- 1lim sin6. ._07. lim._0х10. lim2х._0 cos1. lim12х - 1-In х- 1х.-.13а. Дан МН020Член Р(х) = ас136. Пусть f -Пogскэзкэ: возы",uте Л02Э\'UфМ.sin х12. lim cosх - 111lim.-,=2а . иlim.-,11.в.Р"(О)-'-Х '.- ~f2 - ex1.
_х'х'х - 6х + х '2cos х + х' - 1.9. lim 6sinхP (m)(O)+ а, Х + а.х ' + ... + аnх= m!а• gля всех тSn. Покажите, что Р'(О) = а, .n.лю6ая q>ункция . gиq>феl'енцU\'уемая в точке а. Покажите . что gля МН020членаРn(Х) = f(0) + f'(O)x + f'}~) х' + ... + f,.=(m'(,O)т.=х" + ... + fn(f)n.х"=sыnолняется l'aseHcmso Р(О)f(O) и Р(о) (О) f ( m) (О) gля m 1. 1. ..... n.
МН020член Рnназыsается МНОГОЧЛЕНОМ ТЕЙЛОРА n-2О nО\'Яgкэ функции f n\'U х = О.13 ,.3аnишите МН020ЧЛен {3 -20 nО\'яgка. имеющий те же значения и те же Ml'sbIe восемьnl'оиз,ogных. чтоcos х n\'Uх= О.160Глава7Теорема о среднем значенииНесКОАЬКО хаотических теоретических(Можетеn\,onycmumb 9ту zлаву,мзmаналuзз иBblесли вас инте\,есует тольКО n\'3ктическое "\,именениениnосоБны оценить zлу60ICuе, nре.крзlны,' 9лezанrnньrе построения,лежащие вЕсли .ы оА,Е\'ж1АмыMbIC/let1 наnОС/l(ЦJOКezoоснове!)гее-то в самой zлубине нашеzо повествования "\'О максимумы и миниМдТЕМдtиКОЙ, какмумы CnРЯТдЛОСЬ ОДНО ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ: мы n\,egnоложuли, чтоГОНUК, ВО3МОЖНО.максимальное или минимальное значение О&Я3ДТЕЛЬНО СУЩЕСПУЕТ.
НОтак ли 9то? Разве функция не может "\,осто nРИ&ЛИЖДТЫЯ к высокойС€.й'1ЗС ВЭМ '1ytnочкуне по се6е ...точке, но такHUKozgaтуеа и не попасть? Или взмыть К бесконечностиzgе-нибуgь в се\,ееине своей области оn\,egеления?CКPbImblerwееnоложенuяменя у.жэсноnyzаюm!Вообще-то некоторые функции ДЕЙСПИТЕЛЬНОтак себя вееym. Вот ogна из них:f(");1"~21,когеа" ~ 2f(2) ; 1Такэя функL\UЯ тоже имеет npаво на сущеQ>1BoвaHue. Она npосто плохо себя вееет!Она ст\,емится к бесконечностиnpu "-+2,но npи•,,; 2 Bg\'VZllef'enJ'blZUBaeт на конечное значение.у функции f НЕТ МАКСИМУМд...--..,...на кэком интеувале ,rogержэщем точку"; 2.161ПrоGлема с 9той функцией nrоямяemся ~ изолиrованной тO~Ke('2., 1) наZ1'Эфике.
'l'ункция неnrиGлиJt<Зеmся к 9той тO~Ke, а ПЕРЕСКдКИВдЕТ тува, если можно так ~ыrазиmься ... П09mомувa~aйтe Бувем raaмamru~amb функщщKomorbIXKomorbIeникува не nrыzаюm,-ФУНКL\ии, zrафикиможно иЗо6\'азиmь, не оmrы~ая кarанgаша от Gyмazu. Такие «HenrbIZ~ue» ФУНКL\ииназы~аюmся Henref'bI~HbINIU.Пrыzаem из ogнойтo~ки ~ gryzуюМатематики zо~orяm , ~тo ФУНКL\иянепРЕРЫВНА в ТОЧКЕ а, еслиff( а) '" lirn f( х)Иными lЛ08амu,'l'ункцию f назы~аюm непРЕРЫВНОЙ НАИНn;РВАЛЕ [с, d], если она HenrerbI~Ha~ кэжgой тO~Ke9mozoинmеr~ала.она nоnавает~тува, кув астремится.Все виффеrеНL\иrуемые функции Hen"erbI~HbI, но 06\>атное не ~cezga ~erHO . Еслиfgиффеrенf('X) - f(a) '" f'(aX'X - а) + Gлоха, слegо~аmельно,f('X) '" f(a).
с gryzoa cmorOНbI, неnref'ы~ная функциЯ можеmL\U1'yeмa ~ тO~Ke а, то мы знаем, ~тo!!.."!!чп.(f('Х) - f(a)) '" О или06\'азо~аmьocmrbIeyzлы' ~KomorbIXона не gиффеrенL\U\'уема.неn"е"ыена-не06язаmельнов и <l><I>еренtJ,Ll1'уемэ •ноди<l><I>еренtJ,Ll1'уемэ-слegоваm ельно, неnрерынзз162IHen\,e\,bI8HbIeфункции gелзют то, что Мbl от них ожиgаем.Теорема06Неn\,е\,Ы8ная функциЯэкстремумахf,Оn\,egеленнаяна 3АКРЫТОМ инте\,8але [с,cmuzaemеоd],мэксиМЭllbНОZО значения Мна этом инте\,8але. Иными СЛО8ами,8 [с,есть точка а, zge f( а) ; Ми и:х) .,; М ~ЛЯ 8сех ocmallbHbIX :х8 инте\,8але Lс, d].d]также сущест808ание минимумэ8ееь-f gолжна-geC!cm8umellbHbIX-da;dсМаксимум может Быть какиметь мэксимум!)Доказатеllbст80 Мbl опустимас(3аметьте, что отсюgа 8ытекает80инте\,8алз, так и на оеном из8Нут\,енней оБлзстиKOHL;08!оно оnU\'ается на тонкие, т\,уено nостижимыe С80С!ст8ачисел.Как нечто lmоль09номерное может6ыть в то же ~емятаким zлуGоким?ИЗ meopeМbI оБ экст\,емумэх можно сgелзть слegующиС! 8Ы8ое gляgаllbнеС!шеzо n\,именения8 мэтемэтическом анализе:Теорема РОААЯ!iсли функция f Hen\,epbI8Ha на закрытом инте\,8але [с, d]и gиффе\,еНL;U\'уемэ на инте\,8але (с, d) и n\,u этом f( с) ; f( d) ; О, то на открытоминте\,8але (с, d) сущест8ует по меньшеС! ме\,е оена точка а, такая, что f'(a); О.А,ОКд3ДfEШТ80.
А,ля функции-константыf;О gоказатеllbст80может!iслиuzpambf-m\'U8uallbHO, и \,Ollb алюБая точка инте\,8алз.не константа, она n\>инимэет ненуле8ыезначения. Слeg08атеllbНО, соzлзсно теО\'еме оБ9IC<:треМЭIlbНЫХ значениях,8 некотО\'оС!сущест8ует лиБо мэксимум М>точке аО, лиБоINJНUMYM m < О. а не нахоgится ни на оеном113 KOНL;08 от\,езка, nocKollbKy f( с) ; f( d) ; О,з значит, f'(a); О.163ИЗ теоремы Ромя.
в свою О'1еРевь, вытекэem это уguвuтельное, В3.*Ное.. перекошенное слegствuе:Теорема о среднем значении Если fHenpepbI8Ha на закрыmоминmервале [с, d] и еисрсреренцupуема на открытом инmеР8але (с, d), то на инmеР8але(с, d) сущесm8уеm 8Нymренняя mочка, 8 KomD!'oйf'(a) ~ f(d) - f(e)d-сИными СЛ08ами , сущесm8уem хотяБы оена 8Нymренняя mочка,8 которой касательная ПДРдМЕЛЬНДсекущей, соееиняющей конце8ыеmочки zpacpuкa.с3aмembтe, чmо 8се триmeD!'eMbIdаА,ОКА3дТЕЛЬСПО теоремы о СРеенем значении:касаюmся mолько суЩЕСПО-Пусть8АНИЯ. Они еокаЗЫ8ают, чmоОnРееелим НО8УЮ СРУНКЦUЮmочки с указанными С80йст8амисекущей изсущесm8уюm-но не nреелаzаЮm HuкaKozo спосоБа их найти!такая срункцuя, как описано 8ыше.f -9(Х) ~f(x) - f(d) - f(e)d-9ти еоказательсm8а не Я8ляюmся«KOHcтpyкmи8HЫми»9 припомощи 8ычиmанияf:с(х - с) -f(e)•y~f(x)_я моzлэ 61.1 tk3ззmьто же.
t3мoeО~He.k01110f'blXматематиках...с""7 у ~ 9(Х)а9 уеомem8D!'яеmdmре608аниюmeD!'eMbIРолля:9 ( е) ~ 9(d) ~ о . СлееО8аmельно, сущесm8уеm8Нympенняя mочка а, 8 KOmD!'oй 9' (а) ~ О. Но9'(Х) ~ f'(x) _ f(d) - f(e) ,d-eпоскольку 9'(а) ~ О , omсюеа слееуem, чтоf'(a) ~ f(d) - f(e)d-164сУ meopeМbI Оt?egHeMnусть ФункциЯинте"валезначении мноzо важных слegствиЙ .неп"е"ывна на зак"ытомfна отк"ытом инте"вале (С,ТОЛЬКО У поtТОЯННЫХ ФУНКЦИЙ1.[t, d] и gиффе"енцupуемзПРОИ3ВОAjiАЯ ПОСТОЯННД и рдвнд НУЛЮ.d).ЕслиТы хоть F3З s:ugе..л(с,"'унlЩlJU, которые ое Рззве чтоеУ'" сet;я kak-нuGуg'8КОШ~Х!f '(x) ~ о gля кзжgоzо х в интеpgалеd), то f постоянна в ,том интеpgале.А,ОКд3дТЕШТSО. Возьмем любые еве точкив интеpgале, такие, что а < Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
