1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Как Бы~тро nogнимаem~я УРОВЕНЬ gogbI, али gыразить ezo черезV'(t)?в ~M ~ еиаметром--3--06ЬемgogbIgыражзem~я через(1) V; trrr2h;trr(i h)2h;__1 тт (.1..)2h'- 3вТеперь gиффереНL\LIPуем поИЗ nоgоGияt:V' ; h'rr( i )2h 2,mpeyzoAЪHUKOgполучаемоткуеаr;.1..hвЩh'; 64V'9тrh 2Например, алиgogaМы узреЛLl G'иконечноltYlЬАЪem~я ~8 стакане 8"9Ы '" кто Gblnо~тоянноа ~коро~тью 1О ~M'k,МО' nogyмambmozea npu h ; 4 ~Mh'; 64 ·109тт.
16•..'-----1д потом" 640 "4?Z,4nфф! ..и онаuсчезла!" 1,41 ~М/~K~тaти, nogyмaa о моменте,KozeaтытоАЪКО начала лить gogy и h ; О. Виgишь литы, что g 9тот момент h' &ЕСКОНЕЧНА?!12.7Вот еще ogUH nl'UMel' с тl'еyzольнuкэмu. Самолет - ва, опять - летuт на ~ыcoтe5.'3I(}Л {;О СIC:О?осmью s'(tJ. На6"люgэmель записывает полет самолета на sueeo u хотел Бызнать.
как 6ыст?о нэgо менять УГОЛ, nО9 которым камераcMomyum 8 небо, KozeaЭтотyzол I'a~eн 60· (тт/? I'авиан).:- - ----------------~ ---------- - --~::~~,:I, -',:~I"'\лr:~,~,""'"-'",",.... . .1~:,,IЧему \'3~Ha Э'(t),Kozea Э ~ тт/'3?.......... ' .."",....~, ___...=..u..-4:I::,;~--___~:-__......_-.-.---"4;".- - - - <..5->!Ослu скО\'ость самолета \'3~HazО\'uзонтальное смещенuе самолета- 71.0км/ч~ -11. км/мин', а Э ~ ТТ/'31'авиан, тоотносuтельно наGлюватем. Соотношенuемежву 5 U Э иееующее:СО5 Э~ Т,5'~ -11., ue,~_1 .(_12)._1 ~'34~5'Э'5ес' Э ~T\'3виан ~ минуту ~~ (-1)'1 Z?aeyc5'"-0,01667I'авиан ~ секунву·0,01667I'авиан ~ секунву, то есть nl'uGлuзuтельнонулю):Э' ~+610Vzол уменьшается со скО\'остьюДелuм на 5ес' Э (HUKozea не \'3~ный(1)-1С05' Э~ секунву.• СкО\'ость отРUL\3тельна, Ko~anрuGлижается К наGлюеателю.Ну-ка, nочешunoeGO\'0EjOK U му9\'0nOKu~aa, ,то вмзакэ9\'О~ЫХ СЬемок!11.9самолетКлюч к заgачам о tвязанных tкороtтях, как и К любымgpYZUMзаgачам,-выразитьBte,что знаешь из формулировки заgачи.
Еtли вtкроетtя tоотношение межgу gвумя функциями,gифференцируйтеezoнеявно, чтобы выразить оену nроизвоgную через gpyzую.р - четвертая буква латинtКоZо аЛфавита,а s - gевятнаgцатая. е и тr - буквы zpечикоzоя не имелалфавита, но я не знаю, какие они по nоряgку,а лезть иtMOmpembNOтномне лень. Теорему Пифаzораназвали в чить ПифаzораCaMOttKOzo.отношения, и был В шоке, обнаружив, чтоBle,знаешь!Он tчитал,что tущитвуют только целыe чиtла и их- aGlo-S вuеуtO-12-иррациональное чиtЛо.
Теорему Пифаzора gоказали tOmHU раз математики tOBteXконцовtBema.Презиgент США #e~мt Гарфилg, математикI10чему ты,ЛЮбитель нашел gоказатеЛЬtтво, аналоzичноесразу несказал?траеиционному кита~tКому gоказатеЛЬtтву.Самолет изо6рели 6ратья Pa~тв1903 zogy ...Вот еще примеры неявноzо gифференцирования, уже не gля заgач.В них нужно выразитьи9' (Bteониf'через6. sin f ~ ln 9f, 9f' cos f- функции от nepe-~з.:.мeHHO~ х).9f' ~ 9' sec f9Вот что я еще знаю: гopд~APлezче кpymt.lmbPY"IKyмашuны,7.Kozga cosf* 0,9* Оf' + 92 ~ Хчтобы !Jым,али форt"УАЬ1. чемзэнuмаmы::я аGtl'l1РЭIOrlНЫМ.,--_-'-_ _-1.".Дифференцируйте по Х:3f'f2+ 29'9 ~ 1f' ~ 1-з~~'9 , Kozga f* о8.t9 2 f + tg f + 1 ~ 92f'(2tg f)(sec 2 f)f'(sec 2 f)(1+ 2tg f) ~ 29'9'_ 29'9 cos 2 ff -1+2tgf129+ f'sec 2 f ~ 29'9at' Koz9 9f*--}что3аАачи1.
Чаша в фОрме полусферы, zлуБ"ны ("р3в"уса) {(, "меет oGьeM 2rrR'/? Еии в нейналита вова и слоа вовы имеет zлуБину h,хвост, oGfЭзуem uвеэльнуюoGbем вовы равенV ~ rr(Rh 2-окружность. ЕlЛU 9лuна змеиуменьшается со lкorОlmью~ h')(.'тока что примите Это на веру. Я f/Окажуиh? (Не заБываате,какiAHblМU слоsамu, выразuтеnослееующих ZЛ3В.)Есл" вову наливают в чашу со скоростьюV'(t), mozf/a как ВЫZЛЯf/ит h'(t), выраженнаяV's час,oG"BegeнHozo ЗМеей Кf'yza?это с помощью ynpажнен"я в О9ной изчерезlэнтLlмemроsGbICm?0 сокрэщэemся nлощзвьД' через С' u С.что {(-константа!)r-----+-----~ · ·R-h4.Лестница f/ЛUНОО17 м приставленаК высокой стене.
Но""," лестницыотъезжают от стены со скоростьюh1 м!с.Как Быстро скользитверхняя точка лестниЦl>Iвниз по стене,2. ПоKPZf/aнаХОf/ится на высотепроволоке, свернутоа в форме 9Munca,12 мползет жук. 7миnтическое уравнение:уот земли?у22к..+-~12аЬ2g КЗЖf/ыа момент времен" t КООРвинатыжука x(t) и y(t). Независимо от виваx'(t)~1ФУНКЦ"й x(t) и y(t) всща выполняетсяхравенство(X(t))2а2+(y(t))2Ь? . Улитка ползет~1равноа227по стороне кsaвPaтa,см. Если улuтка переползаетиз точки А в точкускоростьюНайвите выражение, связывающее х' и у'.1 CM/l,11 с равномерноакак Быстро онаприБлижается К точке С в момент, KOZf/anроnолзлз10 см?Как Быстро она Уf/аляетсяот mочkU f) в этот .же момент?ьр r-_--:;;2;.;..7_ _..., С-.у27аА13011Глава5ИСПОАЬЗ0вание ПРОИ3ВОАНЫХ,часть 1: оптимизацияKozga функции опускаются на самое gHO (иtlи gохоgят go самого 8ерха)в реаАЬНОМ мире часто nрuхоguтся ОnТИМИ3ИРОВАТЪ чmо-нuБуgь ...
9то значuт ... наатиЛУЧШИЙ спосоБ ~ЫnОNiенuя kakoa-лuБо раБоты. Мы хотим gоБuтыя ~ысшеzокаЧelт~а (и наuБОАЬшеzо КОЛUЧelт~а)!я хочу ~ыучиmьмаксимальный оСЬемматематики{.минимаАЬНЫми затраmами!131я мozyпомочь!ДonytmUM, компания занимаетtя Z1'узоnеРе8ОЗками и хочет минимизиrовать стоимостьzорючеzо, наClвя оnтимальныCl маl'ШI'ym, на котором бувет иtnользоватыя минимальноеколичеtтво бензина. А нефтяная компания хочет tовершенно nротивоnолоJI<НОZО!9колоz, работающиCl t рыболовным флоТ1ромышленник хочет получить маКtимальтом , хочет знать , каков максимальныClную прибыль.улов рыбы, при котором nоzоловЬе рыбПpusegumе -ICЗ NW!.в море не бувет tни;t:Этыя.tmY9eJ.ima,LtJy<laюtцezoIIblCu.ryIO мэmемаmutc:у!В о всех 9тих примерах оптимальноерешение-такое , которое максимизиrуетили минимизиrует значение некоторoClфункции.в 9той lдЭвемЫ Бувемгонятыя заМЭКluмальны,МUзначениями!Математика бувет вальше!1?1.~ЛОКАЛЬНЫЙ М~СИМУМ функции - 9то точКЭ а, ~ которой Z1'афик gocmuzaem ~еl'шины.8 ЛОКЭАЬном максимуме а функции f gля ~cex Х ~ некотором инте~але ~ОК1'YZ а ~ыnолняетсяH~~eнcт~o f(a) ~ f(x).
ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ с - 9то точкэ, ~ которой Z1'афик gocmuzaemена, то есть такэя, что ~ некотором интеl'~але ~ОК1'YZ с ~ыnолняется Hel'a~eHcт~o f(x) ~ f(c).Сло~о «локаАЬНЫЙ» 0значает, что значение f(a) С\'а~ни~ается тоАЬКО с ближайшими к немуточкэми. 8озможно, сущест~ует 91'yzoa локаАЬНЫЙ максимум, Ь, ~ ОК1'естностях KOmOI'OZOf принимает более ~ЫCOKиe значения, то есть f(b) > f(a). ЛОКЭАЬные максимумы и минимумыбуgем собupатеАЬНО назы~ать ЛОКЭАЬНЫми 9КСП'ЕМУМдМIA или ЛОКЭАЬными ОПТJ.4МУМдМIA.3еесь а и Ь - локальныемаксимумы, и f(b) > f(a),сФактI 06-ЛОКЭАЬНЫЙ минимум.экстремумах.
Если а -ЛОКЭАЬНЫЙ 9кст1'емум gиффеl'енцupуемой ~ 9той точкефункцииf,тоf'(a) " оДОКМДТЕЛl>CТ80. Пl'egnоло>кuм, что а-ЛОКЭАЬНЫЙмаксимум gиффеl'енцupуемой ~ 9той точке функцииf. Tozgagля малоzоhf(a+ h) -f(a)f(a+ h) -f(a) ~ О, Kozga h < оhhsО, KozgaСлegо~атеАЬНО, nl'egел n1'иh > оh ...... о не можетбыть ни nоло.жumельны,' ни оmрuи,аmе.льны •.Слegо~атеАЬНО, он l'a~eнминимум функцииf,HYNO. Если а локаАЬНЫЙто а также ЛОКЭАЬНЫЙмаксимум функции - f, и nl'оиз~оgная ~ 9тойточке также l'a~Ha о .Наклон Z1'афикэ ~ точке а меняет знакс nоло>КUтеАЬНОZО на отрицатеАЬНЫЙили наоборот, n09тому ~ самой точке9кстремума он l'a~eHHYNO.f' (с)" О--'''';:II.!!o'''--Наша машина,~ogителем noмozym понять, почему rt1'оuз~ogная ~ точке 9",тремумаЕ,ли Дельта <!9ет ~neP<!9, а потом ~ точКеtАр момента ~eмeHи а ,кО\'о,ть машины~ а вает завний хов и <!9ет завомБыла nОЛО>kUтельной, nо,ле момента ~eмени а она ,тано~ит,я отрицательной.~ nроти~оnоложном наnра~лении, точкараз~орота Р ~ s (а) - 9то локальный~<,~ ';"<:"0ма",имум, 9",тремальная точка: Дельта<!9ет только во9mOZOмита и не вальше.p~в ,ам момент ~eмeHиeo,muzaemет'я,ts(a)~ а, Kozвa машинаТо же ,амое nрои'ховит, Kozвa Дельта9",тремума, ее ,кО\'о,ть меняначинает в~иzатыя завним ховом, а поnОЛО>kUтельной на отрицательную, азначит, волжна Быть pa~HaHYNO.
s'(a)том nеРeкNOчает nel'<!9ачу и начинает~ О.в~иzатыя ~neP<!9'Tozeaточка, ~ котО\'ойона nеРeкNOчила neР<!9ачу, Бувет nозиL(иeCIминимума , zвe ее ,кО\'о,ть также волжнаБыть pa~HaHYNO.,(p~p~s(a)s(a)П\'Uмечание : ,кО\'о,ть может \'3~нятыяHYNOи ~ точках, котО\'ые не я~ляют,я 9",тремумами.
Возможно, машина ехала ~neP<!9,о,таноgила,ь, а затем nрogОЛ>kUла в~ижение~nel'<!9' Например, У знака «Стоп». В такоймомент - наз~ем ezo Ь - s'(b) ~ О,но s(b) не являет,я nозиL(UeCI 9"'m?eMYмa.ИТАК:чтобы найти9к,тремальные точки<!,yнKL(UUf,бувемискать такие значения"3\'3мem\'3 а ,котО\'ыхn\'Uf'(a) ~ О .НО:найвя их, мыволжны rt1'o~epumb,вейст~ительно ли9то 9 ",тремумыилир ~s(b)rt1'0cmo знаки«Стоп »134.Пример1.И tHOIJa Ньютон на батуте! Полотнище батута Bte так же нахogитtянаBbItOme 1 м от земли и Bte так же nogG\'3tbIBaem Ньютона100 мlt. BbItoma Ньютона в метрах, таким О6\'азом, равнаh(t) ~ -4,9t' + 100t + 1дmene\'b BOn\,ot:как BbItOКOnogнимemtя Ньютон? КЭКOIJаего IМКСИlМЛbНдЯBbItOma?Ha~HeM t nOutKOIJ nрouзвogнойh:h'(t) ~ -9,et + 100 M/tПоtле 9тогоtnpOtUM: КОГА,дh'(t).
01 П\'U1'3вняем nРQизвogную К нулю и решим У\'3внение omноtительноh'(t)t:я вижу,как 3емля~ о-9,et + 100 ~ Оt~ ~~ ~t~10,2 t-10,2,вот момент В?емени, в кото\'ый НьютонgOtmUZHem мэКtимэльной BbItOты. Чтобы найти 9ту BbItomy, nogtmaBUM10,2 Вмито t:h(10,2) ~ (-4,9) (10,2)2+ 100 . 10,2 + 1 ~~ ~11,2 м1??вверх 'о tкО\'оtтьюУG~uш:я, ~тO мы8 ззм~ленном8 lЗ/ЮМ9еле НЗШЛU мз'Цuмум . А.;.я9mOZO n08m01'UMполет Ньютонз80ln\'ОUЗ8~енuи:А 98иZЗЯlЬ 8низ, оннзGU\'зетlK01'0lmb 8 от\,иL\3тельномнзnpa8лении • То ить аоlK01'0lmb no-n\,е)I(Нем УЧем 8ышеn09нuмзетlЯnЗ9зет.Ньютон, темСКОРОС1Ъ НЫОТОНАПОСТОЯННО~ленней онУМЕНЬШАЕТСЯ.летит, UHblМUezolK01'0lmbnЗ9зет ...~лоgЭМLI,•Только НЗ lз/юм 8е\,ху, 8 моментt~••10,2 leKYН9bI, ezo lKoPOlfnb ра8НЗ НУЛЮ. В 9тот ~иH8le l'З8НО и 8 9тот момент ezolm8eнHbIa момент Ньютон не летит ни 88е\,х, ни 8низ, ноlK01'0lmbуменьшзemlЯ, uзменЯЯlЬ l nоложuтельной нЗ отl'UL\3тельную.По nзраGоли~икому zpз<рику /Ю)l(НО понять,~тo nl'Ut100~ 10,2 8Ыlотз мз'Цимзльнз.Положение711,2у~-4,9t2ICK01'0lmb+ 100t + 1у ~h'(t) ~-9,et + 10020,4CK01'0lmb8le 81'емя10,2-10020,41%nЗ9зem.Поgв~емВот шаzи, котО1'ые мы только что выполнили gля поиска9кст1'емума функции1.1..f:Взяли nl'ouзвogную f' .Нашли точку t o, в котО1'ОО f'(to) ~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
