1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 14
Текст из файла (страница 14)
A.t-я9mOZO мы nl'U1'авняли f' (t) ~ О и l'ешили waBнение относительноt. Любая точка, 'ееf'(to) ~ О, называется КРИТ\.1ЧЕСКОЙ точкой.3.Поgставили t o oG?amHo в f, чтобы найтизначение f(t o)'4.Пl'оверили, что 9та К)'итическая точка еействительно является локальнЫм максимумомили МUHиMYMOM.Те же шаzи мы буgем выполнять gля всех заgач оnтимuзации.
Конечно, вкритических точек может быть несколько , с батутом нам-Так ужuповезло?npocmogpyzuxситуацияхповезло •. .НУ, например, тебе неnрugетlЯ nрыzзть еще раз...д lейЧЗl буgет еще ogин1?7nI'UMel' ...в Бuзние nl'uБыльПример1.33BUlUmот колuчитв3nI'093HHbI.x eguHuL! тов31'3.4'е1'МЗ «М3lЛО МЗlляное» n1'09зет ВЫlOкокачитвенное олuвковое МЗlЛОпо 100 90ллarов 33 Бутылку.
Пru nr09зже Q Бутылок <!,е1'МЗ nолучзет А,ОХОА, R(q), ?Звный100q. Но ить еще u РдСХОА,Ы, С, котОl'ые тоже 33ВUlят от q по <!'О1'муле:C(q) ~ 900 000.1-+ 4q· .(В lУММУ ?Зl.хО9ОВ включены 09НО1'ЗЗ0вые нзчзльные 1'3l.x09"' в900 000 90М3I'ОВН3 nокynкуземлu, nриlOВ 9ЛЯ оmжuмз МЗlЛЗ, oGО1'У90В3НUЯ 9ЛЯ 1'03ЛUВ3 ПО Бутылкам, l3Женцев олuвы,3 тзкжеnОlтоянные1'3l.x09"'Н3 331'nлзту lomI'Y9HUKOВ, т?ЗНlnО1'тU\'oвку,.xraHeHue,nокynкуБутылок, Y9oG\>eнue, те.хнuчикоеoGlлужuвзнuе ОGo\'У90В3НUЯ,Почемх Бы не nР09аsзmь КОlmочкu? И3 нихутuлuззцuю от.х090В •.. )nолучumlЯ «зе"еное» mОnЛU80.НоBegb9точерные оливкиПruБыль Р-9то 1'33HOlmb 90.x090B u 1'3l.xO-90В.
ОН3 являетlЯ <!,ункцией от33BUlUmотmozo,q,renepb 9то нето ить,ло.жнее чемlКОЛЬКО тов31'3 nР093НО.9SЗЖ9" 9,аlP(q) ~ R(q) - C(q)Сколько Бутылок 90ЛJICНа nr09зть <!,е1'МЗ «МalЛО МЗlляное», чтоБы nолучuть МA!l.СИМААЬНYIO nruБыль,u чему ?ЗВН39тз nl'uGыль?-f------ q139...1.Возы.-ем nроизвоеную от Р поq-скО\'ость,с котО\'ой меняется npиGыль В зависимостиnpogaHHbIXот коли~естваP(q)~P'(q)1.~.LI1рU\'Эвняем P'(q) ~ о и решим уравнениеq..L100 - <;q'.Lq'1..z.000 - 4q •100 - <;q .относительноqfЮО100q -ееини" товара .~~ о~2020'~160 000БутылокНайеем приБыль, полученную от nрogЭ)I(U160 000дБутылок.100 90Л- неЛЭР08Р(160000)мноzовЭmо~~ 100· 160 000-~16 000 000 -воо~2 400 000 еоллароввоо 000 000 - 124 .
160 0001' ~воо000~4. I1роверим, ~тo P(q) ееQствительно еостиzaem максимума в тO~Ke q ~ 160 000. Если q немноzо меньше, скажем, 1<;0000 Бутылок, mozeaР(I<;О000)~~ 100 . 1<;0 000 - воо 000 - 4 . 1<;0 0001' ~~1<; 000 000 - 12 607~2 392 0009то меньше2,49зв ~с хвостиком.мимиона.l1оnроБyQте сами вы~ислитьР( q) в тO~Keили9I'vzoQNJ З3Gymыkуy олиВq ~ 170 000сосееней тO~Ke.139"08ozoНVJl/I2J?Более УДО6ная проверкаОвин изonUlaHHbIXвыше шаzов оптимизации-четверты~-не lЛишкомygoGeH . На~gякритичикую точку, то ить ту, в Koтopo~ npоизвоgная 06\>ащэетlЯ в ноль, мы выну"'веныnроверять значения функции В 4:l0legHUX» точках .
9то gолzо и не lлишком изяш,iO!ОЧЕНЬ СЛОЖНОвыzляgemь изяш,iO,Kozgaкрутишь ручку!и вooGще такая npоверка наlaMoM gеленичеzо неzapaHmupyem.Что , или мы взяли невоlтаточно Gлизкие точки? 80т zpзфик l локальным миНUMYMOM В а ... Но или мы lлуча~ноBbIGepeM gля проверки точку Ь, то угивим, что f(b)< f(a),и мо"'ем заключить, чтоf(a) - МЭКlимум, а не минимум.Ненавижу этизмeulтыекривые...а ЬНу"'ен140gpyzoii cnocoG nРО8еркu!ПОСКОЛЬКу наша книzа nос~ящена математичикому анаЛlIJУ, нам нужен спосоБ, исnользующи~ ПРОИ380ДНЫЕ . Например, МbI можем спросить, КАК 8 "ТОЙ ТОЧКЕ И3МЕНЯЕТСЯПРОИ380ДНдЯ .9а, Ж:>I можем lnpOlurnbчтоYZ09HO -например,не lUНЯЯ ли она 8 этойmO'tKe, намТерпение,но что этотерпение...g3lrn?8 окритностимаксимума произ~ogнаяf'(x)меняет знак с плюса на минус ... А ~ оКТ'итности минимума, наоБорот, с минуса наплюс.
КонКТ'етнее, 8 ТОЧКЕ МАКСИМУМАУ&Ы8АЕТ, А8 ТОЧКЕМИНИМУМА-f'803РАСТАЕТ.~ -Теперь МbI ZO~OPUM о том, каК меняетсяf' -растет или уБы~ает,оnисы~аются nРоиз~ogными. 3начит, изменения ~f'фУНКL;ии, то ить ПРОИ380ДНОЙ ПРОИ380ДНОЙ, (f')', или просто80ДНОЙ от f.f'ещезаnисы~ается каК-d' fdx 'илиd 2 y !!dx '141- а 9ти изменениябуеут оnисы~аться произ~ogной 9тойf ',8ТОРОЙ ПРОИ3-9лементарные функции можно gифференЦUf'о~эть lНО~Э и lН~Эlтолько, lКОЛЬКО нужно,-nроиз~оgные .~.и~)Им нетf '(~)конu,э!...sin "~~ .cos"f" (~)20 X~- sinf "'( ~)60 ,,1-- со> Хf ('f}(xJ12.0"f ('>J(x)120f (')( x )о- sinf (7)( x)о- С05 Хs inххСО!; ххНо что ОНи ознэчэют?Ну, оч~и9НО,что я- lKOPOlmblKOPOlmulKOPOlmuLlзменения ...измененияизмененияЕии мы ZO~OPUM О 9~uжении, то нЭм знэкома по крэйней мере ~торэя nPOUЗ~09НЭЯот положения: 9то УСКОРЕНИЕ, илиlKOPOlmbизменения lKOPOlmu .уCkot'€Нues(t) ~ положение ~ момент ~eMeHи t~ v'(t) ~ a(t) ~ YlKOPeнue ~ момент ~eмeни142-9то gелотакое , ао нельЗЯн е ПОЧУВСТВОВАТЬ •• •s' (t) ~ и( t) ~ lKOPOlmb ~ момент ~eмeни tS"(t)-nолy-iЭЯ nер~ую, вторую, третью , П-ЮtKozgaавтомоБиль ускО\'яется, то итьKozga автомоБиль тО\'мозит (скоростьnagaem), тебя БРосает вперев .скО\'oсть растет, то чувствуешь, кактебя ввавливает в спинку сивенья * .Исаак Ньютон (ва, опять он!) сфО\'мул"!'овал 9то в виве закона ,BmOPOZO закона ezo имени:сила прямо nроnоРt;Uональна массе и ускорению.F=та3наете ли!Тот факт , что сила связанас ускО\'ением, означает, чтоможно uзzоmо~urnь счетчики,чтоБы измерять ускО\'ение-дКСЕЛЕРО"'ЕТ1'bI.
Их встраиBaют везве, например в СМЗ1'тфоны , планшеты и t;UФ1'овыевивеокамеры, чтобы 9тиnриБО\'Ы моzли\,eaz"!'oBamb.на тряску и В!'ащение• На СЭмом gеле это сиее.нье тебя толкает . Поerо6иоаnu МОЖН9 нэCimu 8 моем комуксе,посвященном фиЗике!143f" описывает ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ zpэфика f: Kozga наклон f'(x) расf" (х) ~ О . 9та часть zpэфика выукмя..
Kozga f' уменbU13ется и f" $ О, zpэфикГрафичиl<\.<тет,вогнуты •. Точка с, в которой zpафик меняет выпуклость на вогнутость и HaoGopom, называется ТОЧКОЙ nЕРЕГИ&А. в ней f"(c) ~ о.f"(x)~ О,zpэфикf' возрастает,f выпуклыйточка nереzиБа,____ zge f"(x)f"(x) <zpэфикТак мы nриховим КкритериlO втором производном:Если а-точка внутри HeкomopOZo интервала,на которомfgифференцupуема, и f'( а) ~ О, то :илиf"(a) < О, а - локальный максимум fилиf"(a) > О, а - локальный минимум f.поскольку максимум сивит на вершинеZOpl<\.<,а минимум ле"",т на 'Зне ямки .Ь!юм88ерх .как.. .как...1447~ оО,ff'уБывает,BOZHyтbIaПример3.<Рермерша <Ppegu хочет пристроить К стенке сарая nрямоyzольныазаzон gля o~eц. У нее есть во мgOCOK,чтобы построить три остальные стороны.KaKo~a максимальная nлощэgь, которую можетomzopogumb <Ppegu?Потому"Imo gэжеовце нужно llЮемит0 в жизни!М") ~ ,,(во- '2.")""во- '2."Мы хотим наати gлину ", при котороа А(,,) буgет максимальноа.1.А,иффереНL\U\'уем АС,,):М") ~ ,,(воА'(,,) ~ во1.-- '2.") ~ во" 4"во-,,~'2.0-4 <ОА" ~с-еZ9а отриL\Этельна; соzлэсно критериюПрU\'Э~няем А '( ,,) ~ о и решимomHOlLlme,\bHOА"(,,) ~'2.,,'Х.~тopoa nроuз~оgноа, точка ,,~МАКСИМУМОМ.
Вот теперьк шаzу4,,~ О3.'2.0 я~ляетсяnepexogUM'31в точке максимума отzороженнаяnлощэgь \'Э~на:А теперьnepeageMпрямо К шаzу4,М'2.0) ~чтобы npo~epumb, gеаст~ительно ли 9томаксимум.14?1600 - воо ~ воо м'Пример 4. КD\'nоузЦLIЯ «&\,утэ/>Ьнэя нефть» хочет n\,оложить т\,уБу от оеногоlBOOX \,езе\'8У3\'ог еО зэгogэ , \'ЭlnОЛОJl(енноzо нэ 9\'угом Бе\,еzу \,eI<U. ШU\'инэ \,eI<U -из2КМ, и К тому Jl(е зэгog нэхogитlЯ гт\,уБоn\,огоg по гоееgD\'OJl(e,9 км ниже по течению .
К4 gоЛЛЭ\'э ЗЭ мет\,чем по lуше:lОJI(Элению, тянутьпо lуше и в gОМЭ\,огпо гogе. кэкоа МЭ\,Ш\'ут n\,оклэgки т\,уБы ОКЭJl(етlЯ ДЕШЕ8/IE 8СЕГО?х'9- х~----------------~'~--------------------------------------~П\,egnоложим, что т\,уБОn\,08ogУ\'Эгнение (1) n\'egnолаzaет ДИ<Р<РЕРЕНt.Ц-IlOlmOOmРО8дНИЕ НЕЯ8НОЙ <РУНКt.Ц-IИ. (Тоzgэне нужно Буgет lгязыгэтыя l Z\'омозgкимикгЭ9\'этнымu КD\'няm,.) Дu4>4>e\,eH"U\'yeM (1)и (2) по х:из егух n\'Ямых от\,езког, потом у чтолюБэя К\'игэя линия ОКЭJl(етlЯ еще gлиннее .Кэк nокэзэно нэ \,UlyнKe, Х и у lгязэныУ\'эгнением:(3)2yy'-2x~OCmOOMOlmb(4) с' ~ -4n\,оклэgки т\,уБОn\,08ogэ(г тЫlЯЧЭХ gОМЭ\,08) \'Эгнэ(2)С(х) ~~4(9 - х)36 -у,х~y+ ву'ЧтоБы оnтимuзU\'огэть lmOOМOlmb С,n\,U\'эгняем С' ~ О.+ ву ~4х+ вуНо из"*'1 nытаешя оnтиМUЗU\'08эть lmOOMOlmb С OmHOlume/>bHO Х, то итьнэати gлину х, n\,и KOmD\'Oa lmOYMOlmb мuнимэ/>Ьнэ .
3нэчит, г nе\,гyIO(3) у' ~ Х/у, n09тому nолучэемх1('7) у ~ т илиу ~ 2хПоglтэгляя 9то г (1), nолучэем 3х' ~то ить С'(х) ~ О, коzgэоче\,egь нужно нэати с' (Х).I Х$ Л146I4,Теперь наавем знак С", чтоliы применить критериа второа nрouзвовноа. ИЗ (4) ,лegуem, что(6) С" = ву"А из('3), во'nользовавши,ь правиломА U/tdJ 3х 1. ~gеления, получаем4 s !r::pUmuчеlКOЙ mОчlCе .
разве Хне ;ю жету" = у - :у'у"•• О,Ij/2 , u Ij "el9Эположителен.КО~ЕIoI?Х'-2/~Vi;'~?__l:~t;~~~:::;уnов,тавив у'"",m, отриu/<1ЕлыIыolНет. КоZ9Э С'х= х/у (опять из (3)), получаем=у ' у- ,,' =,у4 ,лegует,,no9moMY(6)что-"-~,;--изС " = -32,- > О ,потому чтоуВторая npouзвоgная(. " B,ezgaтак что oмы В с.дн.ОМJ,F/>Eу> О.положительна,НАШ лиМИНИМУМ.А какова минимальная ,тoUмо,ть? Мы можем nОЛНО'тью выразить (. через ", nog,maBUBв (2) у = ..; ,,'+4:с(,,) = 36 - 4" + G ";,,' + 4В критичикоа точке" = 2/1/"3. Tozgaс( ~)"'4(Jz) +вy.~36-'74+4 "~1>-" 49,в6 ...,.~ 72офА значит, оliщ3я 'тоиМО'ть liуветравна49в60 вомаров.хС( х),mbll."~Е"717049еомарOtJО'72149,902/V349,962'70,62•72,94......97',76Х, КМnримечание .
Тотq>акт, что с"(") > оgля в,ех ", означает,что zpaq>UK С liуветВ(.ЕГА,д ВЫПУКЛЫМ •У Hezo нет точекnepezuGa .147.........Важное предупреждениеKpumepu~ Bmopo~npou,B09HOO - ,амечаmельная вещь, или он раБоmаеm, но раБоmаеm онBcezga! 'imo npoucx09um в К1'иmичикоо mочКе а, zge f" (а) ~ О? В 9mOM сл учае К1'иmери~Bmol'o~ npou,BogHo~ omкa,bIBaem: он НЕ J.l>ET НДМ НИКАКОЙ ИНФОРМдIЦolИ о mOM, являеmсяли mочка a9KcmpeMYMoM. Bom ева примера mozo, чmо можеm в H~ npoucx09umb.неПример5.Сmеnенная функция"moпример ,накана с.136:nl'"f( х) ~ х' ВО31'асmающаях<«Cmon»,каКnроuзвоgная nоложиmельнаО, на МZHoBeHиe сmановиmся1'Эвноо нулю •..и не uмeem локальных маКсимумов или МUHиMYMOВ.Ее первая и вmО\'Эяnpou,BogHbIe равныf'(x) ~ 3х' и f"(x) ~ 6хnomOM - сноваnl'" х > О.аПО9mому,f'(O)~Kozgaх ~ О,f"(O)~ ОnоложиmельнойПример б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
