1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 12
Текст из файла (страница 12)
а lnpaBa - «цели».f(x)или отоGpaженияточекf(x)иUlXogHbIXf(x+ h).Слegовательно . зgиь I'Эзностное отношение llf/h BbIcmynaem в роли МдСUJТдБИРУЮЩЕГОКО9<Р<РИLЦAЕНТА. на Koтopы~ умножают h. чтобы nол~ить llf.9тот коэ",,,,ициентможет раlтянymь.сжать или инверт"l'Овать раатояние межgуточками х и Х + h.llf < оhllf > 1h116'1то n\,оисховит n\,и h--+O? Не \,азzляgишь, gce такое М2./>Хое ...
Дagaame nOZOgO\'иMо МAlФIХ РММЕРдХ.Все \'З3ме?Ы 01}lОСИТЕЛЬНЫ. OGbeКm можетБыть маленьким толькопо С\'аgнению с чем -тоg?YZUM.МЫШЬ мала поС\'авнению со СЛОНОМ,но та же мышьnyzaemсвоими \,а3М2.\,амиБЛОХУ...Блоха-A{'JIмышимелкая, а gляслона Блоха вооБще заn\,egелами ВОСn\,иятия.".117То же и, чи",ами .
Мъl хотим ,читать оБычные чи,ла Вf'oee а имaК!'0МLl!'a.(A;J,я знаю, они,&ЛОХОЙ , точки Зl'ения математики являет'я в,е , что мало gаже по qaвнению , h.Han\'UMe\', h' - Блоха: или h; ТОЬО, тоh малочи,лами-,лонами Вf'oge1.В oIiщем и целом Буgем называть O6'beКmМЫШЫО, или он t:Ъeжuвает,я,коро,тью, что иlimh,,h' ; I~O от 10~ ,на,только же мало потой жето ить или(мышь);как и ,лонов, ча'тьюUHozga Бывают I'авны нулю, но oIiычно-то нет!)Мы nl'egnолаzаем, что nl'U\'ащениепо qaвнениюf(a),qaвнению , h, ,коль h мало по 'l'авнению, 1.
&уеем называть O6'beКm &ЛОХОЙ, илио'-оlim'-оСлegовательно, h', h' и h,n - Блохи.В конечном umoze n\'U h ...... о они в,е малыпо qaвнению , h.Heno'l'eg,mBeHHoБлохаhиз Оn!,egелений ,лegует ,что :Блоха;мышьh . мышь ;Блохаh...)~i..~119Умножим oGe стороны наА теперь еавайте запишемhиполучимоnpegеление npоизвоgной В 9тихзоолоzичиких терминах:t::..f ; hf'(x) + h . мышь,а слegовательно,lim t::..f ; f'(x)"_Оце мыu,',овеf'ШенноhogUНЭ"OSI>I€,ию не"{Urnaml>npезреннойlim (t::..hf - f'(x)) ; О'лохut::..f;"_Оt::..f _f'(X);hМ'( х)...+ 'РАОХАмышьПослegнее уравнение я называю ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМ УРАIЖЕНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГОдНдЛИ3А.
(Конечно, никто gpyzoa ezo так не называет, n09moMY не жgите, что вас спросятOG 9том на 9кзамене ••. ) Оно мне нравится потому, что все ezo компоненты - маленькие.Оно nOMozaem рассматривать функции «в мышином масштаБе» на очень коротких интервалах. ВоoGще-то оно мне так нравится, что я сейчас напишу ао снова, очень кpynHO:Af ~ hf'( х) + БЛОХАБольшоеуравнение. омзлеНbI(UХ 8е.щэх!На zpафике 9то означает слеgующее: ПО мереmozo как hБлохастановится все меньше,трасхожgение межgу кривойу; f( х) икасательной к нейстановится npенeG\>ежимомалым,Bcezoсравнению сhf'(x)лишь Блохой поh.Если npugBU-нуться совсем Близко и рассматривать nроисхоgящееnogБольшим увеличением, КРИВдЯСТдНОВИТСЯ ПРАКТИЧЕСКИНЕОТЛИЧИМА ОТ ПРЯМОЙ.тt::..f,,,:~(- - - h - - - -7):,1191На картинке с nарамельными осями 9то означаеm сл~ующее: в nр~еле, по мереh сmремиmсяМАСШТд&ИРУЕТ НЕ&ОЛЬШОЕ И3МЕНЕНИЕmozo какt::..f/h на f'(x).
Инымих КО9ФФИUj.4ЕНТОМ f'(x),KomOf'oe•к О, можно замениmь масшmаБирующий КО9q>q>ициенmсловами, q>ункцияfплюс расхо"'вение,сmановиmся nрене6\>ежимо малы •Мо::к:но LlZHO?Uроваmь ПО мере&лоха?mozo, как h-tО!-Ка"",\h 't::..f ~ f'(x) h + Блоха_____хНа 9том рисунке Cf'ЭЗУ вивно, почему nроизвоgная о6раmной q>YHКUUU именно mакая: 06раmнаяf -' РА380РДЧИ8АЕТ О&РД1НО СТРЕЛКИ q>ункции f.nPововит q>ункция f, q>ункuия f-' НЕЙТРМИ3УЕТ.q>ункцияftмасшmаБирует неБольшое изменениеКО9q>q>ициенmом f ' (t) (nримем f'(t)О)*ЛюGое масшmаБирование,РаЗВOf'оm сmрелок нейmрализ уетмасшmаБирование КО9q>q>ициенmом 1/f'(t).kf -'(t::..f-')t - - - -_ _ _......~KomOf'oet ......- _ _ _ __f(t)-t::..f " f'(t)hхt::..(f -') -1 k- f'(t)Но B~b nроизвоgная и есть масшmаБирующий КО9q>q>ициенm! Сл~оваmельно, nроизвоgнойq>ункции (( - ')'(х) gолжна Быmь q>ункция 1/f'(t), а поскольку~ f -'(x), получаем q>ормулуtсо с.111 :120A(IЯLIenHOZOnра6ила l<ЭPтина аналоzичная.
Теneрь у нас 96е q>yнIЩUU,q>ункция U наХO(jится сле6а, так как она 6ычисляется6О9НУЮ q>yнIЩUUf,x+h39есь 6еличинацueHтOMv',Uи v.ВнутренняяМы хотим у!!и9еть nроuз-тaKO~, что f(x) ~ v(u(x)).~hхneP6oo...uи(х)h масшта9"upуется6ычисленным6 точке-~l:I.ul:I.v~v(u(x))96аЖ9Ы: сначала K09q>q>uцueнmOM и' (х), а потом K09q>q>uи(х). Cyммapны~ 9<1><1>eкm оБеих q>yнкцu~, тaКUM 06\>Эзом,заключается 6 масштаБUPО6ании hПРОИ38ЕА,ЕНИЕМ u' (x)v'(u(x)), так что 9то, 6и9имо,и есть nроиЗ6O(jная q>yнKLIUU f 6 точке х. (ПРe(jста6ьте себе, что 6Ы сначала У96аи6аете,а потом утраи6аете что-то: результат БУ9ет тот же, как если бы 6Ы сразу умножилина шесть.)l:I.u " и' (x)h-l:I.v " V'(U(X))l:I.u" v'(u(x)) u'(x)hи масштаGируется и Ivмзсшmа6U?уemсяv'-отсюgа мы 6и9им, чтоK09q><1'"LIueHm - сложнооu'(x)v'(u(x)).масштабupующи~а СЛe(j06ательно, nРOUЗ6O(jнаяq>YНKЦUU ра6наА 9то и есть цепное nра6ило!f'(x) с и'(Х) V'(U(X))Что и треб06алось 9окэзать, типа!1213адачи1.
Пусть f(x)~ х' и9(U)~cos u.Как Буgет выzляgетьf(9(u))?Д9(f(x))? Нарисуйтеzpафики оБеих сложных ФУНКЩJй . Каковы их nроизвоgные?2.. Пустьu(х) ~ -х' иv(u)~ е". Вопросы те же, что в заgаче1.~. ДифференЩJpуйте:z. P(r)6.9(Х) ~х(cos- sinх)"в.~q(r)~(r'+ 7) '0(r'+ 7)-'0и.4. Пусть fgифференЩJpуемэ.1з. ЕслиФУНКL\ияПокажите, что1хv(z)~(sin (z)' + 2) -11,f(x) ~ 2 + sin х, какова 06\>3тнаяf -'? Нарисуйте ее zpафик в nogхоgящей оБласти оnрegеления иln (f(x))~ f'(x)/f(x)Haagume(Х).(f - I) 'nogсказка: напишите уравнение"тот реЗУllЫ'nат, вместе с формулойln (аЬ) ~ ln а + ln Ь, UHozga ynpощаem gифу~ференЩJpование, осоБенно если в фУНКЩJи естьумножение и gеление.
Возьмем, Hanpuмep ,у~21nпо формуле:Дифференцируя по х, получаему'2y~x-sinT(t) ~ 2<;хcosx3.(с чеzо и начинали!), так чтоmenepbможно6.y'~(~ _ sinx )x'cosx~ 2хcosх-sin<;. nPUMeHume Memogлоzарифмическоzо100 минут?Сколько времени nонаgоБится картофелиh3/26. h'/23.+ х) -'"что если F,(h) и Р,(МБлохи, то Р, + Р, также Блоха.минут? '1ерезБлоха? Д какаяв.6. 9(Х) ~ х Г<6.
Покажите ,609. Какая из этих ФУНКL\ий - мышь? Какая - ни мышь, ни Блоха?хgифференL\ирования К этим функциям:3. f(x) ~ х 'е « 1е -О'''')не, чтоБы gостичь температуры 274 0 С?хх'-Нарисуйте zpафик этой функции. Как Быст'1ерезумножить оБе части на у, чтоБы найти у' :cos+ 2<;0 (1ро наzpеваemся картофелина (в zpзgусах вминуту) через 10 минут? '1ерез 20 минут?Мы получили выражение , зависимое от ух6. То же gля f(x) ~" х' +1 .в. Картофелину, имеющую комнатную тем+ ln(cos х)хх.пературу (2<;0 С), клзgут в gYXOBKy, Hazpeтую go температуры 27<; 0 С.
ТемпературакартОфелины Т через t минут вычисляетсяу ~ х ' cos х, так чтоln+ sin х и решите ао относительно21 - h'hz. sin h-9 . h cos h122Глава4ИСПОЛЬЗ0ваиие производиых,часть 1: связаииые скорости~gecb мы nогоElOРИМ О реЭ/tbНОМ миреЦепное nf'авилоэmо неnf'ocmo-f1I~"i'I~,'kфОf'-< Разумеется,я gумаю!мула 9ЛЯ наХОЖ9енияnf'оиЗВ09НЫХ . ОноmакжеnOMozaemРЕШДТЪ 3ЦдЧИ.Прнмер1.Самолеm леmиm на nосmоянной Высоте9Эf'.
8 Оnf'egеленный момеНт В\'емени903км.самолеmа и оGНЭf'уживаеm, чmо оно f'авносmьюEzonеf'egвижение оmслеживаem наземный f'Э-t o nеf'сонал f'а9Эf'НОЙстан,,"и измеf'яеm f'ааmояние? км. "то f'ааmояние соК!'ащаеmся320 км/ч. С какой СКOf'осmью леmиm самолеm в момеНт В\'емени t o?f)'(t o ) ; - 320 км/чЧему f'авноs'(to)?соCKOf'O-В любой момент ~eMeни \>Эgar нахоgиmlЯ ~ yzлу nрямоyzольноzо mреyzольника OPQ l ZUnотенузой //(t). Еии 5(t) - zор"изонmальное nеремещение lамолemа ~ момент ~eMeни t,~OnPOl: чем у pa~Ha 5' (t) , П1'оиЗ~09ная От s?ВЖЖЖЖJКЖЖ!Верояmно, ~Ы уgи~лены:,-,,~.как найти 5'(t), если мЫПОНЯТJ.IЯ НЕ ИМЕЕМ, как~ыzляgиm ФУНК4ияs?,Можеm Быmь, nилоm'<II,разzоняеmlЯ и тормо-зиm, как nьяный!//(t)~~~ft=,-о(,, ,,,-.~.,, ,, ,.# .«.РI13~5(t)со~км,QНо мЫ знаем ~oт чmо:р1_ s1" 3 1 , аmакже//'(t)о~-320~же если мы не знаем ФУНК4Uй 5(t) и //(t) , nep~oe ypa~HeHиe l~язы~аеm их nроиз~оgные.По 4еnному nра~илу мы можем gиффереН4U\'0~аmь ~agpam ФУНК4Uи:(lM.
П1'имер 7 на l. 114). Проgифферен4U\'уем:2////' - 255'~ О,Мы ~ычииилиэ значит,lKopolmb5'~ ////'5если5(t) '"Проuз~оgные 5' инаХ09ЯlЬ на земле!о.Слegо~аmельно, ~ момент ~eмeHиlамолеmа,to//' назы~аюmlЯ СВЯ3дННЫМИ СКОРОСТЯМИ.124i(f)1 ~ 2f'fДИфференцирование неявнои функции8 npegыgущем nl'UMel'e Y\'a~Heниe Р ' - $ ' ; 9 НЕЯ8НО ПОА,РА-:JУМЕВдЛО сооmношение межgуnl'оuз~оgными Р и $. Поиск 9mozo сооmношения назы~аеmся А,ИФФЕРЕНЩ-1роgдНИЕМНЕЯ8НОЙ ФУНКЩ-1И.
МЫ нахogим nl'оuз~ogные, не ~ыnисы~ая ~ я~ном ~ивe ни ogнойиз функций.Инощэ лучшензмекэrnь I чемZOlJopumbПри мер1.У1'Э~нениеOnUCbI~aem ОК1'ужносmь 1'аеиусаначале КОО1'винат. ИЗчmо уу;-9mozo1с"ент1'ОМ ~У\'авнения слegуem,овна из ввух возможных функ~йv1 -или у;,,'Я8НО •• •,,:-..; 1 _ ,,'То есть веl'ХНЯЯ и нижняя пол УОК1'ужносmи .Можно GылоGygemGbIнайти у'(,,) gиффеl'ен"U?ованием 9тих ква91'атных КО1'ней, но 9томучиmелыю и Нек?асиво. 8местоУ\'авнение по9mozoНЕЯ8НО npogиффеl'ен~уем исховное,,:" ' +if;11." + 2уу' ;у' ; _.2!..УО и, таким оGPэзом,(Kozga у ~ О)или~ за~исимосmи отmozo, какая nОЛУОК1'ужносmьnl'UMel'oM 4 на с. 114.выGPэна.
С1'авните с11.7Другие примеры связзнных скоростей1.IAЗl'езеl'ВУЗ?З,l'аlnОЛОЖенноzо на беl'егу моря, nogmeкaem в Bogy нефть l nОlтоянноо1. барреля в минуту. rl'ynna очиlтки, желая ограничить I'аlnолзание нефтяноzоlКОРОlтьюпятнапомощью цепи поплавков, хочет знать, как БЫlтl'0 1'Эlтет gлина ОКРужностиlпятна.изменения 06'ЬемаНаати:C'(t), lKOPOlmbизменения gлины ок?УЖНОlтиПl'egnоложuм, что Нефтяное пятно имеет 1'Эвномеl'НУЮnОlтоянную толщину, так что его nлощаgь А npon01'l.\Uoнальна оБЬему. Еlли ogUH баррель (brl) нефти nOКPbIBaeт300ква91'атных метl'ОВмент времениA(t) : (300A'(t) : 600nOBel'XHOlmu BogbI, mozgaв моtм'/ brl) • (1.
Ьгl/мин) . (t мин): 600t м'м'/минтr А'600тr: C(t): C(t) м/минТак...у когоНU6'У9Ь итьПРО&КА?Kozga, Hanl'UMel', gлина 0К1'УЖНОlтипятна I'авна 1000 м (С : 1000),она 1'Эlтет lO lКОРОlтью600тr "0,6' 3,1416"1000lK0I'0lmu1,99 м/мин11.6получаем иlхоgя из того, чтоНефтяное пятно имеетформу nолукрyzа:С: тrг, А : tтrr"так чтоA'(t): 1.1тr 1.СЩ C'(t) -~ C(t) C'(t), так чтоC'(t)Связанные4.А,еАЪта АЪет gogy g коничакиа ~тaкaH gbj~OmOOgepxa 6 ~M. 06Ьем gogbI g ~тaKaHeg момент gpeMeнu tpageH V(t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
