1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 11
Текст из файла (страница 11)
f(x) ~ х'2.. f(x)3.~ х'~10.х-+ 7Х + 1 000000Р(х) ~ (х 14. g(x)6. R(x) ~ х + 11+ 7Х + 17. h(x) ~ cos739х11. Q(x) ~ х' _ х 1+ 1)- 'в.77х- ухv(t)sec14.t_Х_ 112.. Р( ) ~ cos р + реРер'О + р- 1fроnэygogum s zорную Z\'Яgу, куgэ нестynэлэ ноzэ челоsекэ, причем sысотэ тропы оnисыsэется формулой+ votа. Если мяч G\>осэют~9. Р(х) ~ х:..х13. Высотэ nрegметэ, G\>ошенноzо прямоssepx от У\'osня земли С нЭчэлъноо СКОРОСтЬЮ v o м/с, s момент gpeмeнu t рэsнэA(t) ~ - 4,9t 18(е) ~ щ1 еА(х) ~ хsep-zgeтикально с нэчэльноо скороХ-+ 0,3 sin х м,nеремещение по zорuзонтэлиот нэчэлэ тропы .стью30 м/с, какоsэ Буеет3 секунеы? Через 7 секуне?ezoа. Кэкоs нэклон m~onbIскорость черезs точкех ~ 1т м?х ~ 1..71Т м?Б.
Есть ли учэстки тропы, которые иеут sниз?Нэрисуйте Z\'эфик тропы .Б. Сэмэя Gольшэя скорость, с какой челоsекG\>OCumb мяч руоколо 47 м/с.Вычислите , как SbICOKOможетками,-nogнимется мяч и черезиспользуя оnрegеление nepeмeнHOO,какое gpемя он sернетсяgокзжuте слegующее:нэ землю. mоgсказка : коzgэ мяч летитssepx,17. Если f\'3cmeт нэ интеpgэЛ€ (а, ь) иХ - люGэя точка 9mOZO интерsэлэ,аото f'(x) ~ о.16. <1>ункция f нэзыsэется ЧЕrной, илиf( - х) ~ f( х) ем люGоzо х. Пример косинус.
<1>ункция f нэзыsэется НЕЧЕrной,или f(-x) ~ -f(x). Пример - синус.noкзжuте, что у четной функции nроизsоgнэя Буеет нечетноо, и нэоБорот .106Глава1Цепи, цепи, цепиСАОЖНblе функции, САОНЫ, Мblши и IiAOXUА menepъ "",r -усmроuм заБеz ... А можеm Быmь, gэже заплыв или заполз ... в nооскэх формулы.Так чmо поползем gальwе! 9та zлава начинаеmся С поисков nроизвogных gля всех оста.....ных9леменmЭ\'ных функций. Вы yвugume, чmо их форму.....
r оченьnpocmbIи l1\'ияmны .Формула .. .Формула .. .~.~.Ключ кBbIBogy 9тих формул (и ко мноzому 91'YZOMY) - ПРАВИЛО, называемое ЦЕПНЫМ.ezo, nomOM начнем им nо.....зоваmЬСя и наконец gокэжем ezoМЫ сначала сформулируемистинность .107Цепное правило оGъясняет, как gиффереНL\U\'овать СЛОЖНЫЕ ФУНКL\ии,то есть такие , которые nолучилисьnоgстановкой оgной ФУНКL\ии в gpyzую(см. с.44-47).Например,h(x) ; r;fL'3весь внутренняя ФУНКL\UЯ и( х); е".; 2х,а внешняя и(и)Цепное правило~ gифференL\U\'ования СЛО)I(НОО ФУНКL\Uи ых) ; и(и(х))выполните слegующие шаzи:1.А,ифференL\U\'уйте внутреннюю ФУНКL\ию,то есть найвите и'(Х) .1.Рассматривая в качестве nеременноС! всювнутреннюю ФУНКL\ию и(х), gиффереНL\ируйте внешнюю ФУНКL\ию по и, то естьнайвите"тоv'(u).3.Перемножьте результаты 1 и 2.4.и наконщ замените U на и(х)в v'(u).
в символьном выражении 9то Gygemh'(x) ..и' (х)Мне не нуженКЛЮЧ t мне нужна9...фО\'мула!.-и'(u (х»Отлично! "тот...КЛЮЧn09xogumи к холoguльнuку!Правило на первый взzляgnyzaem, но на самом gеле все не так страшно: HY)I(НO простоумножить nроизвоgную внутренней ФУНКL\иина nроизвogную внешней.10вПри мер1.и'(,,) ~Возы"емh(,,) ~ e zx , о котО\'ой уже zо~О\'илос. ~ыше. Пошэzо~о :22 . v'(u) ~е"П он.ните: на шаzещащайmиь ,О'3. Проuз~egение<1. Поgсmэ~имUиПри мер1.~sin<!'yнкцuell цeлul<OМ IC3К2е "nеременноо!,и(,,) ~2" ~Mecтo6(,,) ~2.
v'(u),,2.sin(,,2). ВнутренВнешняя фУНК,,"Яи.и'(,,) ~2"~cos u'3. ПРоuз~egение 2" cos<1. ПоgсmЭ8имUивсezgэпол учим nроиз~оgнуюняя фУНК,,"Я и( ,,) ~v(u)2s,ea внутреннейи( ,,) ~,,2и.8местоЕще одии примерlполучим npоиЗ8ogную:f(") ~ (2,,'6'(,,)~2" COS(,,2)+ 3)·Внymренняя функция: и(,,) ~ 2х:'+вВнешняя функция: V (и) ~ и·f'(,,)ЧтоlЛУЧUЛОlЬ?Мне нagоело.'tmO~,о МНОй 06рэщаюmtякак,~ и'(,,) 9'(и) ~(,,,2 .
ви' ~мере.менной r3gu. цепное nРЭ8ило nОЗ80ляеmgиффереНЦUPО8эm. чуgО8ище-нэммноzочлен 24-й cmeneнu, gэже не рэсклаgы8ЭЯ109ezonрeg8ариmельно.Производные 06ратных функцииЦепное n\'Эsuло noмozaemmalOl<enpоuзsоgную 06j>эmной функциuKozea uзsиmна nl'оuзsоgнаяВ эmом lлучае lложная функцuя~f -'.f.ПУlmь и(х) ~ гх. uлu x -t- , mozea 06j>эmная функция V(U) ~ и 2 •при мерf'(x)найтиf(x)~v(u(x))1f'(x) :... 1'"''''' О?\(f'(x)/uзsиmно~U'(x)v'(u(x))IнеuзsиmноПI'U1'аsняs оену Ч3lmь К"'"uзsиmно91'yzoo,nолучuм :'d (и') ~ 2u-d (х')' ~1 ~ -d- (х')-dx,duddxdx,~ 2х' -- (х1),тenepb \'ЭЗ9елuм на 2Х', чmoGынайти nl'оuзsogную:d,u очesugно,чmо9 ...
э чmо11\'0"3009em. или09I.1Н tA3 множumeлetiНо цепное n\'Эsuло еает нам еще ogнуФО1'мулу ем~ х,1--(x , )~--,dx2х Тuлu110~!~!Дэ8эа6увен.t'tUmamb.чтоmЭКОZО нuкozgaне tлyчum'jI!То, что мы tetlчзt n\'09елэ,", еля х"" и и",Те же шзzи можно l1\'09елэть еля и( х) ~~ х'/" и и(и) ~ и". Тоzeз f(x) ~ и(и(х)) ~ х,можно tеелэть еля ЛIO&ОЙ nЭ\'ы 8ззимноoGpэтных ФУНкцийи, слegоs:аmельно I1 ~ и'(х) и'(и (х)), коzeз и'(и(х) '" о~ и'(х).иf -',чтоБы нзйтиn\,оиЗ80еную оG\>Этной функЦ<щче\,езf':n(х"")"-'x~и'(х) ~ J.. (х"")'-" ~ J..x.L;."nf(f-')"1~nf(f -Yx))d~ f(f -'(x))1 .L _ ,;:'n х "или х", ОВот как 9то 6уеет 8ыzляееть нз Zf'Эфике . Поtкольку8 06УзтнойфУНКЦLШ х и у меняютtямитзми, нзклон 6. у/ 6.х нз Z\'зфике f n\,е8f>Эщэетtя 8 6.х/6.у нз Zf'Эфике f-'.
Что6ынзйти I1\'З8ильную точку еля 8ычиtления (f-')" nyuеemtя nоБеzзть по Zf'Эфику ... Но не 6иnoкoametb! СКО\'О МЫ увие"м 9I'VZУЮ КЭf'тинку , из котО\'ой 8te tтзнет Z0f'Э3ео яtнее.нзклон ~ т~f'(b)анзклон ~ (f-'), (а) ~у ~ьf(x)у ~J..1m _- f'(b)аf-'(x)Пока что еЗ8зйтеI1\'OtmO80tnользуемtя фО\'мулоо, nоеtтЗ8ЛЯЯ8 неееля нзхожеенuя иХ n\'ООЗ8О9НЫХ. П\,оtтотз \,езультзт08 гзt уеи8ит ...111oGpэтные функции,Используем формулу вля nl'оиЗ8О9НОЙ оGj>атнойфункции , чтобы получить n1'оиЗ80внуюЛОГдРИ<Р/М, ДРКСИНУСД И дРКТдНГЕНСд.1.Возьмем f(u)=е " и f-'(x) = /пх. Tozea f'(u)=е", и~/п х= _1_=г7ldxе/ ' L..::.Jn1.f(u)=$inи, f -' (х)d: (arc$in=arc$in х.f'(u)=СО$ их) = СО$ (ar~$in х)Как 8ычислить косинус 31'ксинуса хВспомним, что$in'и+ СО$'иСО$ и = ";1 - $in' и, слев08ательно,СО$ (arc$in х)ddх=..; 1 -$in'(arc$in х) =(=", х) _1 ' 1 -1х1,3аметим, что звесь можно спокойно uзвлекать К8ае1'атный корень: значения 31'ксинусазанимают интер8ал от -тт/2 во тт/2, а1.f(u)=tgи, f -'(x)d=arctg8 9томх.
f'(u)=$ес '1хвает нам$ec'( arctgd: (arctgх)= 1 + tg2 (arctgх)Просто zоюваnpaEl9 З ?Тl'иzонометl'ическое тожвест80x=l+tg'х1J9ет КPYZOM,dx (arctg х) = $ec'( arctg х)$ес 'инте?8але косинус положителен.= 1+ х'х)= ~112?= 1.Кзк ст\'3ННО ... Тpuzономetl1уичuкиефункции и ,КlnOHeнты nО9GU\>3ют сеБеnуоиЗ~О9ные иСl<Л!Oчительно «c~oezoКУу2З». Д ~oт у ихO&PA"rnbIXфункtJ,Uйnуоиз~оеные состз~лены из оБычныхМНОГОЧЛЕНОВ и KBAA,PA"rnbIX КОРНЕЙ.Кзк ,то МОZЛО nуouзойти?1d~л (arcsin х) ~ ~ПУЯМОgeтeкmи~!&ольше ~cezo У9и~ляет, нз~еуно, nуоиЗ~О9НЗЯ лоzзуифМЗ: х -. скоуее MOJI(НO nуинять ЗЗ nуоизJ.~О9НУЮ степенной фунКtJ,Uи . 09НЗКО степенное nуз~ило(х П) ~ пх П -' 9зет нзм nуоиЗ~О9ныетолько 9ЛЯ ,КlnoHeнт со стenенью, ОТЛИЧНОЙ от -1 , поскольку(х О) ~ о.Нзтуузльный лоzзуифМи9езльно ззnолняет ееинст~енную 9ЫУКУ ~ спискестепеней:f(x)f'(x)ххО ~In1о;1(;1( - 'х -'ит ·9·113J.примеры производных, которыеможно наити с помощыо цепноrо правила1.F(x) ~ ";1 - х'h(x) ~ х*, Zge т и n - ~e"ыe чис",,_4." 1 ..
(х n)т6нymренняя фунщия' и(х) ~".1.tслegоs:аmельно,_нymренняя функ~я' и(х) ~ х !; , и'(х) ~+x !;-'1 - х', и'(х) ~ -2хl.L'6нешняя фунщия' и(и) ~ и ' , и'(и) ~Tи -'"F'(x) ~ -2Х(1... и -+) ~ -2Х(1...) (1 - х') -+ ~_нешняя фунщия' и(и) ~ и·, и'(и) ~ ти·- '22h'(x) ~ и '(х)и'(и(х)) ~ (1... х !;-')(тит- ')n~ (1...x!;-')(т(x!;)~ ')n5.;:.(7(х) ~ In (х'+ х)6Нym\'енняя функ~я ' и(х) ~ х'т x ~ -1n6нешняя функ~я' и(и) ~(7'(х) ~ (2хl>fJ! ОпятьIn и, и'(и) ~ 1/и+ 1)(1/и) ~1х' + Хn!,а_ило!P(t)~ (2 + t:" 2t')'"6нym\'енняя фунщия' и(х) ~и'(х) ~ 1 6t'+1..и'(х) ~ 2х2Х+~цепное6.+ х,2+ t + 2t',6нешняя функ~я' и(и) ~ и"', и'(и) ~ ~ и-'"f(x) ~ аrсtg(зх)6нym!'енняя функ~я' и(х) ~ 3х, и'(х) ~6нешняя фунщия' и(и) ~ аrщ и, и'(и) ~3f'(x) ~ и'(х)и'(и(х)) ~ 1 + и'P'(t) ~ (131 + и'~+ 6t'X ~ и-'/') ~: (1+ 6t') (2 + t + 2.t') -'/'~7.и(х) ~ а(х)) , 9'" лю60а 9иффе!,ен~уеf и лю60Z0 !,а~ональноzо nмoi1 фунщии6нym!'енняя функ~я3.6нешняя фунщия' и(и) ~ и", и'(и) ~ nи'-'q( х) ~ f( ах), ZfJe а - константа6нym!'енняя фунщия' u(х)f(x), nроиЗ_О9ная f'(x), ах, _нешняя функ~я f,иegовзmельно," nf'(x) (f(x)) "- 1g'(X) " af'(ax)114+1Вот мЫ и нашли nrоиз~ogные ~cex 9лементарных функциа ...
На их OCH~e MO)I(НO nост\>оитьnI'ОUЗ~О9НУЮ люБоо функции, nОЛУ"енноа сочетанием 9лементаl'НЫХnl'Unомoщu сложения,умножения , 9еления и композиции. Мы oG\'ели силу!вnl'@ocXogHOaстепени!и 9а, мЫ умеем 9иффеl'енЦU\'о~ать цепочки 9линнее 9~YX функциа: HY)l(НOnl'0cmonеl'емножuть ~ce nI'ОUЗ~О9ные!~dtv(u(y(x(t)))) dvdududy~dxdxdtМы zom08bIИли, или ~Ы nregnочитаете 9I'yzуюсистем у записи :илиf(t)~v(u(y(x(t)))),тоf'(t) ~ x'(t)y'(x(t))u'(y(x(t)))v'(u(y(x(t))))Пример с тремя функциями(Внyml'енняя функция: u(х) ~ х 2 , С?egняя функция:~нешняя функция :g(v)~sin v)11'7v(u)~ е",-И к этомуZOmOBbI?-_..Вы же помните . ~тo мы ещене g<ЖЭзали исntННОСТЪСдН>.ОГО ЦЕ11НОГО ПРАВИЛдIf'tтобыezogоказать. eaBa~те раамотрим nроuзвоgнуюf•на картинке l парамельны -ми ОlЯми ••O~ ... куеаgевалэсьnроизвоgная?x+h..hf(x+ h)llf'tmo такое на это~ картинKe llf/h? Слева - тO~Kи Хи Х + h.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
