1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Например, f(x) ~ х 2 ЯВляет ся cmpozoвозрастающеu (и, слеgовательно, b}aumho-оgно-,}начнои) на интервале [0,00). 06\'ащая тольКОстре лки, которые выхоgят и}, mozo",'"инт ервала ,>fполучаем обратную 4'ункциюf " (X) ~ УХр.$",которая Bcezga gaem НЕОТРИtJ,дТЕЛЬНЫЙ КВЦРАТНЫЙ КОРЕНЬ. Тоща gля всех х 2> О получаемf(f - ' (х)) ~ хf"(f (x)) ~ х (отрицательные хне ра}решены!)" то работает gля любоиинтервалом,~x~ гуИ ЗВLlНU,zge f<нет, то мнеBte(или убывает ), и на , томf'<еСЛ Ll КРОЛLlкаво}растаетинтервале у'"~o~"~Твои выбор !4'ункции f' ОГРАНИЧИМ ЕЕОБЛАСТЬ 011РЕДЕЛЕНИЯcmpozoI~'<буgетобратная 4'ункция .'>4равно.Втором большом важным пример:обратные тригонометрические функцииСинус и косинус колеблются: вверх-вни}, вверх-вни} ... 110 на коротком интервале они стро zo во}рстают! &ygeM рассматривать синус, п оскольку косинус Begem себя точно так же.Можно вuееmь, что tpУНku,uя синуса возрастает на uнmеРl3эле [ -Т , т а ее значенияна этом интервале растут от -1 go 1.],у ~sinxуу ~Если 02рзнuо;umься Этим интервалом, то у синусаarcsinхбуgет об?атная 4'унщuя.
Она на}ывается арксинус иоnреgелена на области [-1, 1]. Арксинус ""инимаетзначения uз интервала [ у!'].Какаямаленькаяобласть."у ~sinх-Почему Эта 4'унщия на}ы аетсяя АРКсинус? Потому что ее }начение - это gлинаgyzu,соответствующе~ уzлу с таким синусом. А gyza похожа на а"ку Iеслиеsinе ~ у, то е ~arcsin- уzол, синус Komo"ozo рвенуу. Если и}ме"итьэтот угО/l в F'эguанах, получится gлuна соотвеmствующе~gyzuна еgинично~ окружности(см.
с. 41). TaKO~ синус буgет у MHOZUX уzлов,-но еegUHcmBeHHbI~ У20Л межgу - тr/2 и тr/2,тaKO~, что sin е ~ у.77sin еarcsin уу ~е ~Послеgняя '1'ункция, которую мы рэамотрим в 9 тo~ 2лаве, - ОG\'атная к таН 2енсу,f (x,) ~ tg х. Она назыв ается АРКТАНГЕНС (по тo~ же nри"ине, по KaKO~ '1'ункция, обратнаяarctgсинусу, называется арксинус) и записываетсях.~_ _...Z~~ у/х ~ tg ее ~arctg zПервым gелом нужно выбрать "асть области оnреgелени я таН2енса, на Koт opo~'1'ункция в озр астает. Нам nogo~gemoткrыты~ интервал ( - Т, т) '3 н зченuя m3HzeHca - Это все geucmBumeAbНbIe числа, то etmb «интервал» (- (Х).
00).Слеgовательно , областью оnреgеления apKmaHzeHca буgет тот же интервал ( - СХ>, СХ».'1'ункция оnреgелена на Bce~ оси х, н о ее зна"ения Bcezg a буgут леЖЭть межgу - тr /2и тr/2.уIу ~/------,,--2,,т%arctgх,,-2х,,-- 2?se>::::o .(Оhu аеrrб наш 0630'( Э/lе;.\енm зрных CPYH Kци~! Мы n03HaKOMU/lUCb со стеnенными фуН К.,..,'= ;.\u ( 91'15, rюложumе/lьны ,' оmF'u цаmельны x U gr06HDIX cтeneHe.~), эксnоненmо~ и обратно~,," <!,унщu еu - на т yrа льным лоzаr"<!,мом, тruzонометruче[кuмu <!,УНЩUЯМU U oGramHOIMu ом.На [ амом gеле <!, унщu" н е так MHOZO" .Вес ь м3 к о мn:ак т '1Ci , 6Ь! g6oe, а ну-каHblCi и уnрзвля е n rекрзmumе!Mi>lU звери н е ц!Но, конечно,Jlmu 6ЗЗ0вые UHzregueHmDI можно склаgываmь, умножаm ь , gелumь U состаВлятьU в результате может nолучuть[я gаже такое чуgовuще:" З них КОМnОЗUЦUU,,f(x.) ==",C05 ' [l1,+ ,,;)' ('5" - 5in(/n(c05 ,,))) Т ]и gля чеzo оно,'57ЗадачиУкажuте облас ть оnреgелеДэн zpa<l'UK <l'унк"ии у ~ния слеgующих <l'унк"ии'Х и точкаd наf ( Х),точка с на осиоси у.10.
Нарисуит е zpa<l'UKU31. Q ( t ) ~1- 2слеgующих <l'унщиu 'tЭ. g(x) ~у2Ь - 1f ( ь) ~ (Ь _:2..3. м(х) ~4)(Ь + 9)б. h ( x ) ~ f (x)11-f (x -Iх Iс)+ds.u ( х) ~z.т(х) ~'з'v(x) ~ -f(x)2f(x)f(2x)е. т(х) ~ Н-Х)11. В от несколько сложных <l'унщиu (комnози"иU). Onpege лите вн е ш нюю и внутр ен ню ю функци и и п ере пишит е ка-*,gую из 'Занных <l'унщиu в Bugeu ( v ( x )) или u ( v ( w ( x ))),если необхоgимо .7.Т( u) ~в.f ( x ) ~ 111 ( 1 + х )9./.(х) ~(1 _е 2 ") - I/2Э.2h (x)~2 '0'"б. h(x) ~VII1(x 2 - 1)111(/11 х)s.h(x) ~ 4е 'Х+е2х+ 6е + 99Х1:2..
Г1 0кажuте, что gля кажgоzо числа С мноzoчлен Р(х) ~ Ь о + Ь, х + Ь 2 х 2 + ... + Ь, х'МОЖНО также записать в Buge Р( х) ~ ао + а,( х - с) + а2 ( х - е) 2 + ... + а, (х - с)',zge ао ~ Р ( е) . Г10кажuте, что а, ;С О, если Ь., ;С О.13.Оnреgелим <l'унщиюfна открытоминтервале (- 1, 1) слеgующим образом'f ( X) ~(x+1) 2 gля -1f ( х)~ х2<хSfх ~оareeos~ aresil1б. Является лиfх..f1+X2(Г10g сказка, нарисуите треуzольник .)возрастающеu наВсеu евое и области оnреgеленuя?взаимно-оg ноз н эчноu?S.
Нари с уит е zpa<l'UKf -' .aretg- 1 gля О < х < 1Э. Является лиеи14. Г1 0кажuте, что1<;.~с ли сеzоgня у вас есть А о gолларов и на 9 тус умму нэчисляются сложные nроu,енты таКимразом, что черезtgолларов, сколько времени нужно, чт обы вашаfи обрэтноunервоначальная сумма уgвоилась? (Счи таuт еконстантои .)t;f!06-лет у вас буgет A(t) ~ Ао е с'rГлаваIпределыБОIIЫiJuеugeu о МЭllенькuх 8ещэхВ nреgыgущих zлавах мы zоворилио <l'унк"иях, которые «сиgелисмирно», так сказать.Взяв точку Х, мы слеgовалипо стрелке В ТО'1КУf( х).аf ( a)Рассмотрим НОВУЮ ИДЕЮ математическоzо анализа' нам понятно, что gелает <l'унщия Вточке а, но как она выzляgит, если nоеоuти О'1ЕНЬ, О'1ЕНЬ &ЛИ3КО к точке а? Мы можемзаинтересоваться Этими значениями в близлежащих точках Х, gаже еслиfв точКе а вообщене оnреgелена!НО ззч ем?а+ 0,000001Просто LiHm e С ""'О'","-./,-----,рс;е'1аа- 0,000001793ачем? П?UЧUНЫя чрезвычайноухоgят ко?нямu?agВ n?ошлое, к Ньютону и Лейбнuцуuих nоняmuю скорости по nе?емещенuю (см.
с.13-14).Как вы nомните, Ньютон u ЛеЙБНиц ?ааужgалu слеgующuм оG?ЭЗ0М' еслu s(t) - nоложенuеВ момент в?емениtи а - некото?ый момент в?емени, т о n?и n?иGлиженииtк а ско?остьпо ",,?емещению в момент а буеет очень Gлизка К «?азностному отношенuю» {/( t ),(/( t ) ~ s(t) - s(a)От gеленuя ноля НЗ НОЛЬt-aУ меня Вlezgэ tmрашнзяuзжоzз...{/ - это <1'ункция от t, кото?ая неоn?еgелена в моментt~ а,но оn?еgелена, кощаЕТСЯ к а. По мереt ПРИ&ЛИЖДmozo как t стааи(а)НОВится все ближе к а, мы оЖ"Ugа-ем, что (/(t) буgет станоВuтьсявсе Gлuже кMZHOBeHHOIAскоростив точке а . Mb l запишем 9то так:v( а) ~ lim [)( t)<-,&уеем ZOBO?umb, что и ( а) является ПРЕДЕЛОМ {/( t ) , Kozga t ст?емится ка.--?-....,ПUНОК gлился ЛI.JШЬмиМLltекунg ы, на егомzновеннаяCiCopocmbonpegeflel-HoGыээвелика!60( JVРассмотрим наклонную плоскость, yzол кото~юtA к ZОРUЗ0нт алu состаВляет чуть более11,77 ераеуса .
По He~ gвижется машина (бе} т\,ения), которая трогается с места, ~ о и gвижет ся согласно <!,ормулепри5 ( t ) ~ t ' метров(Е сли вас волнует \,а}ме\,ность,, (t) ~ 1 м/с ' . (t с)' ~ t ' м.1 м/с' - ,то уско\,ение .)Tozga по ме\,е n\,иGлиженияtt-3t' -{>( t J9в?емени К точке а[?(t) ~ t ' - а 2t-aП\,еgnоло.жuм, что а ~ 3 секу"gэм.Посмот\,им, что2,9-0,1- 0,595 ,92 ,99- 0,01- 0 ,0599<; ,992 ,999-0,001- 0 ,0059995,99 93,0010 ,0010,0060016,0013.010,010,06016,013,10,10,616,1npoucxogum с[?(t), Kozga t Gли}ит ся к а,{~} )[?(t) , суgя по всему , стреми тся к 6, коща t~3,3 ,013_-------..~~..,=2,99616, 01К стати, а кто6}а рулем?Все еще не ~erUWb? Я ~ынужgен еще силья nrинимаю т~o~ ~Ы30~нее nrиGлизить {/( t ) к 6 - скажем, так,~ыrажение, nrиня~, чточт оGы rазница не nrе~ыwалаили t ~ "0,000001.Ин ыми словамu , ты тре буешь.
чтобыI{/( t)-+ h./ Сна чала nerenuwyh~ t - "Тоееа{/( t ) ~ ("+ h)' - ,, ' ~ 6h + h' ~O+ h) -"h61 < 0 ,000001~6+ h,коееаО.h ",Хм !Иnpa~ea"Хочу заметить , что rаз h не ra~ HO нулюи Ihl < 0,000001 , из 9тоео слеgует,что, nоаольку {/( t ) ~ 6 + h,I{/ ( t) -61~Н о ты ужасно упряма ... и опять толкаешь меняна РU СКОВЭН Н ЫCl шаz: теперь ты)(O'ieWb.'1тоGыD( t ) отлuчэлась от 6 не более чемна 0.000000001/(Ihl < 0,000001е-у""\т~.~ЬfJ у меня такихмимион Gygem /,~~~\')J~и я CHo~a nruнимаю т~o~ ~Ы30~! П окаТы хоче шь еще сильнее nрuблuзumь значе hниене ra~HO нулю иk nреgелу, НО вряg ли тебе хачеmlЯ6etb ееньто, КЭКстоять тут~ , у меня нэu u выше,gymся занятия иnоuнтере.снееI( {/( t )) -u tкэрмлusаmьбесконечно мзлые '1 uсла ...Ihl < 0 ,000000001,61~ Ihl < 0,000000001или , если тебе тЭК Gолt.wе нравитс я ,7,9999999999 < {/(t) < 6.000000000162...мне.Поэтому ты gаешь мне заgачу В О&ЩЕМ ВИ#: «Если я еам теБе ЛЮ&ОЕ малое число -назовем ezo zреческои Буквои Е; (эnсилон), - можешь ли т ы уменьшитьчтоБы C?(t) отличалось от 6 не Больше чем на Е;?»'~,]96 + Е;~1hl <Дэ ...у mеGя?6-?Леzко' Я знаю, что«П устьIоC?(t) - 6 + h,Kozgah'"Е;О, поэтому я от веч у на тВои вызов словами:Е;».ЕСЛИ'~Теперь ты gовольна? Я показал,что С?( t) может лишь на волосокотличаться от6,"ЭК бы ни былтонок Этот волосок!," то т"аеици онное оБозна чение ...уж изви ните !таКои степени ,П О/l,У'1umся6J'~h ео7.~' ~> ТОГДА'f /It-з1 -Ihl <Е; ,1C?(t) - 6 1 - 1(6 + h) - 61 -'" Ihl <I~Е;,и я вы п олнил твою заgачу.9 ...может,не Буgем проволосы?Я gумаю, теперь вы уже убеgились , "то <!>УНКL\ия gе~ствительно может стремиться К оnре gеленному nреgелу при x~a, gаже если в само" т О",<е а она не оnреgелена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
