1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 18
Текст из файла (страница 18)
д теnеl'Ь МbIхотим М\'ойтиg oG\>Этном наnf'Зgлении, отнекой функциичто F': f.F,fктакое!,Вот .•. у кажgойесть еще оена<Рункцияs-F назыаетсяя дН1J.1ПРОИ~ВОА,НоЙ, или ПЕРВОО&Рд3НОЙ f. ,Наn1'име1',nе~оо~азная...положениеCKOf'OCmu V.Стl'ЗННОвумать, что тытут Была~емяgce...Если можно сувить по нашемуnl'UMel'Y соСКOf'остью (можно!!!), 9та о~mная оnе1'ация gключаетg сgоюcyММU\'ogaHue...а это,очеl'egь, означает завачу gычисленияnлощав и .113g себяЗадачиПрegnоло)I(UМ. lKOPOlmb а8том06иля 8 момент 8ремени tpa8Ha V(t) ~ '3t' M/l. ПриGлшкенно8ычиlлите раатояние. npOCIgeHHoe а8томоGилем межgу моментами 8ремени t ~ О leкyнgи t ~ 4 leKyнgbI.
путем lложения оGлаlтей npямоyzольниК08' lначала разgелите интеР8ал[0.4] на четыре ра8НЫХ leZMeHma. ПУlть t, ~ i gля i ~ 0.1.2. '3. 4. Длина кажgоzо leZMeнmat"t,~ 1.1. Получите щенку lнизу.lЛО)I(U8 nлощаgиnpямоyzольниК08 под графиком. Найвите'33L f(t,)t"t, ~ LG'".,y ~i=O2.. Получите'3i'i=Oоценку l8e1'XY. lЛО)I(U8 nлощаgиnрямоyzольниК08 НдА, zpафиком. Найвите'4G'"",y ~L f(t,)t"t, ~i=14L'3i'i=14.
ПОnl'оGуем еще овин lnoloG оценки. ПУlть t , -~. Что получится t или найтиl1'egHeel1'egняя точка leZMeHma [i. i + 1]. то итьt , ~ (2i + 1)/2. Найвем9тих lУММ?i (G'""" + G',..,y )Bugurne,G'" .. ~"tfflOnолучилаlЬ3Lf(t,)t"t, ~ .i. ОnлощаgьlElеmло-lерыxтpaneцuoивo8?~. Можете ли 8Ы gоzаgатыя. как 8ыzляgит функциЯ s(t). или s·(t) ~ '3t'? Чему l'а8НОs(4) - s(o)? НаlКОЛЬКО точными Я8илиlЬ 8аши npиGлиженные 8ычиlления? Какой метовnpиGлиженных 8ычиlлений gал I'езультат. который Gлиже 8lezo К s(4) - s(o)?6. Пl'оgелайте шаzи.nоказанные 8 заgачах 1-7. l функцией v(t) ~ 1/t межgу точкамиt ~ 1 и t ~ е'.
Иlnользyilте nрямоyzольники l нижними yzлами 8 точках 1. 2 ..... 1. е'.(у 8al nолучитlЯ (, nрямоyzольниК08 l ОlН08аниями t"t, ~ 1 и овин npямоyzольник noужеl olH08aHueM t"t, ~ е' - 1 '" 0.'39.)1. Вычиlлитеnl'иGлиженно nлощаgь nogOGOUMUzpафиками.иlnOЛЬЗУЯ 8в80е Gольшее количит80 npямоyzольниК08 8в80еменьшeCI ширины.41114е'Глава9Первоо6раэныеПАЮС константа!к нес~астью, npоцесс поискаne\,-воо6\>Ззных ~yrnb СЛО)l(}lЕЕ оGPзтН020 npoцecca, 9иффе\,енцU\'ования.я l~urnаю, это с.амоеБольшое n\,еуменьшениеза nослegниеHan\,UMe\" 9"" f(x) ; х' ne\,вооGPззно~БУ9ет F(x)х'.;+F'(x);...1.. (4х') ;4400лет .•.9то лишь 09на из возможных nе\,вооGfазных!На самом 9еле их МИ020.
У всех ne\,е~исленныхниже функци~ n\,ои3В09ная \,авна хn:х'xn+'G(X); --+:1n +1в оБщем ел учзе 9""9(Х) ; х " ne\'ВооGPззнойПотому чтоnt'ouзeogнаяKOНlm3HmbIxn+'I-I(X) ; - n +1БУ9 em+1G(x); _1_ xn+'n +1zee С - любая константа.17<;\'Зона нулю!Еlли F - nе?8006\>Эзнэя функции f,тоzgэ и F + С, zge С - люБэя КОНlтантэ, тоже БУ9ет nе\,ВОо6\>Эзной(F + С)' ~ F' ~ f.Севиzая Z\'эфик у ~F (х) n\,ямоf.вве\,Хили n\'ЯМо вниз, мы не можем изменитьezoнаклон в какой-либо точке х.хи нэоБО\'от, или F' ~ f, то ЛIO&дЯ ПЕР800&Рд3НдЯ f omличэemlЯ от F НЭ КОНlтэнту .А,ОКд3д1ЕЛЫ:rво. nYlmb G - NOБэя 91'vzэя ne?80о6\>Эзнэя ,тоzgэ (F - Ь)' (х) ~ f(x) - f(x) ~ о 9ЛЯ Blex х.Но в lилу lАе9lтвия ~ из теО?емы о l?eeHeM знэчении (l.
16'», eeUHlmBeнHbIe функцииl нулевой n\,оиЗВО9НОй - 9то KOHlmaHmbI, Э иееовэтельно, F - G ~ С, Zge С - некотО\'эяКОНlтэнтэ .КакаяполезнаяBle возможные функцииl нумiвой n\,оизВО9НОйтеО?ема!Jf(x)dx~ F(x) + С9тom ВЫlОкий lимвол нэзывэemlЯ 3НдКом ИН1ЕГРАМ.
ФункцияfнэзывэemlЯnOA,l>IH1E-ГРдЛЪНой фУНКцией. Символ dx иlnользуетlЯ только 9ЛЯ укэзэния НЭ nе\,еменную, по котО\'ойn\,ouзвоеитlЯ интщU\>ование, тЭК же каК в заnиlи df/dx, и не являemlЯ om9еЛЬНЫМ lОМНОжителем в waBHeнuu. КЭК обычно, именэ ne\,eмeнHbIXMOZymБыть люБыми, тЭК чтовееенные 9элее вы\,эжения означают оено и то же, а именно-f(x) dx:Jf(x) dx,Jf(t) dt176JBle n\'u-ne?80о6\>Эзную функцииf(y) dyПе\'~ОО61'азнуюuHozgaназы~ают НЕОПРЕА,ЕЛЕННЫМ ИНТЕГРМОМ отНеоYl\'egеленным-~C~ 'ти функцииf.потомуЯElляюmtя~ > 9то помогаетнеоnp~еленнымоn?egелumЬtя с.uнmщэломотчто он Оn\,egелен лишь сf(x).х.t-----iточностью ео n\,uGа~ляенеоnрegеленноcrnью...MO~ к нем у константы С.HaYl\'UMe\, ,J"d"~ ..12 ',,'+ СПоскольку мы уже нашли мноzuе n\,оuз~оgные, то нам уже uз~итны слegyIOЩL<е uнтщалы=Jd"~ "+ СJСО$" ~J ~ аrщJA.
~J ~ d,,~ Сd" $in " + с.тосле знака uнmеZ\'ала n"91'Эзуме~ается, но не пишетсяJ"рJJ~d" _1_р+11.)"Р+ 1 + Се Х d" ~ е Х + С$in" d"" +сd"1 + ,,'1 _ ,,'~ - СО$ " + сarc$in"+ Сlnl,,1 +П\,uмечанuе. Исnользо~ание мogуля ~ nослegнемYl'a~Heнuu on\,a~gaHHo, так какилu" >Yl\'U " <О, mozga также a~Вместе получается, что a~ lnо(/n ,,) ~1,,1~~ ~ , Yl\'" "'" О.177y~ln 1,,1дf In хdx -9то ... МММ... К!<М! КажеmlЯ. SbIZN!9um ,накомо?Нет ... Я Бызапомнила. или Бы8U9ела такое ,Хоть\'33 •,",,3 НU ...к ничаlmью. 9ЛЯ инmеZf't.I\'ования функции мы 90ЛЖНЫ узнать s ней nrои,SО9НУЮ каКай-тоeryzoij функции. коmOf'УЮ мы уже sи9ели. Пока чmо мы не sи9ели ни Q9HoiJ функции.nrOy,S09HOiJ KomOf'0ij был бы In х.Ну 90ЛЖН3 же ОН3~e-тo Быmь ...1713At-я еиффе\,енЦU\'OIIания нужно лишь слее08ать несКОЛЬКимn\,ocmbIM n\'Э8илам.ИнтеZ\'U\'OIIаниеже т\,е6ует HeкomO\'ozo опыта.
Чем Больше n\,оиЗ80еных 8Ы nе\,е8иеали, тем леzче Буеетнахоеить ne\,8006j>аз н ые ...КтоСтУ9ент! Он изучэл9томзrnанэлuз , Н Обыл?не решэл ЗЭ9ачu.Мы 8ыnолнили слееующuе шаzи:1. Посмот\,еть,ная функцияfпохожа ли nоеынтеZ\'альна n\,оиЗ8€9ение константыи какоо ~иБуеь иЗ8естной n\,OUЗ8оеной.2..
Поn\,оБ08ать yzaeambne\,8006j>азную б.!;сли функциЯnoe!;сли б' отличается от f только множителем-константой, умножить G назнаком интеZ\'ала4.(nоеынтеZ\'альная функциЯ) чем -то похожаne\'8on\,08e\'U8 С80ЮnoeozHa8 \,езультат .на иЗ8естную n\,оиЗ80еную , часто еесоот8етст8yIOЩий множитель, чтоБы06j>азную можно найти,получилась Более nоехоеящая функцияF.'j. П\'08е\,ить, еейст8ительно лиf.eozaeKyи чуть-чутьПрим~рМы знаем, что1.Jе'"6. П08тО\'ять n\,€9bIeytЦue шаzиdxf(x) = е'" чем-топо неoGхоеимости.похожа9тана n\'ОUЗ80еную функции б( х) = е". И 8 самом ееле, б'(х) = 2е" , то есть отличается только на К09ффициент, \'Э8НЫЙПоn\,оБуем F(x)=+n\,oLI€9waнаЗЫ8аетсяметодом про6и оwи60К.2.е'" и получимА по-латыни 9тоF'(x)F-=..1..·22.
е"звучэло ZО\'ЭЗ90=е" =f(x)lCPэt::usu !n€\'8006\'Эзная, и мы заключаем , что179F'~J. :х2Пример 1.1.иноzgа узнаmь ~ функции nрouз~ogнуюdxa~06Ратите ~нимэние , ~тo nogынmщальная функцияf(U(v(x)))~v'(x) u'(v(x))~eM -то nохожэ на ФУНКL\июЕсли nоgынmеzpэльнэя функция ~bjzNlgum каК11 + х2.'npа~ая сторонакоmорая Я~Nlеmся nроиз~оgной аркmэнzeHca.nOMozaem~nHoe nра~ило. Оно zлзсиm:3эnишем ее каК9mozo рэ~енсm~э,то есть соgержиm ~нymреннюю функцию, ~ья nроиз~оgная~ысmу!'1эem ~ роли сомножиmеNl, зна~иm ,nоgынmеzpальная ФУНКL\ия Я~Nlеmся nроиз~оgнойи мы можем «размоmэmь» L\enочку, ~тоБыf( х) ~1-;;;1("gо6Раmься ео nер~оО6\'эзной F(x) ~ u(v(x)).)2+ '2 )(11. Bыe~иHeM zиnоmезу,чmо6(х) ~ arctg ~ .110лучился лишний множиmель4.I1римем F(x) ~15.
110слegний2.J arctg (~)F'(x) ~ f(x). "ту npo~epкy я npegoсmа~NlЮ те6е,gopozoa~иmаmель! Теперьможно зэклю~иmь, ~тoJ1.. + х2Пример 3.шаz. I1ро~ерим, ~тoJ2х е"2dx1. вnоgынmеzpэльной функции множиmель2х-nрouз~оgная ~HyтpeнHeй функции 9КCnOненты х 2 , так ~тo можно nonpoGo~amb:dx~ ~ardg(Х)+С22EgtAilmUI-Н.l(! U1ЭZ ,mpе6YЮЩUЙ ,w,1t:дume,.\bНozoY'UIIU:;I, -"ереыб.
8,,,- IOIJI.LII>Oйna......нoe6езgу.wюе lCVученuе РyчICLIн.ame,ч.arnt.lчиkoti ,Io\ЭUJLIЖCLI .••Нам nо~езло: МЫ попэли ~ L\ель с n~ozo раза!Так ~тo можем заnисаmь:нюПример 4.1.f vb1 + х2dxх в числителе (или npенe6j>ечь КО9ф",иLlUehmOM-ICОНСmанmой) - 9то Yl\'OUЗВ"9наявнутренней функиии 1 + х 2 •+х2.. Мы gоzаgываеМlЯ, что (7(х) ~ (13. (7'(х) ~ (2х)4.39иь мы опять ви9УМвнymyеннlOЮ функциюu ееnpоuзsоgную 8 роли lомно.жumею!2.1)'+ х 2) -т ~ Х (1 + х 2) -т(1Мы получили nоgынтеzpа""ную "'УНКL\Uю.Поправки не нужны, так что шаzи4и?Yl\'onускзем и можем lP3зу заnисать:f vbdx;~+C1 + х2Пример 5а.fsin" 8 cos d81.
Помните , gля лю60Й ",YНКL\Uи f ",ункиия f" Gygem иметь "1'ОО38"9ную nfn-' f'. В n"9ынтеzpа""ной ",ункиии мы 8ugUM n-ю степень синуса, умноженную на n1'ои380gную синусаd~ (sin'"-косинус. Может, 9то8)?2.. ПОYl\'оGуем (7(8)~3. П1'О8е1'ка. (7'(8) ~sin n +18(n + 1) sin"8cos 8отличается от искомой лишь на сомноЖ!Jте""n + 1.sin'" 84. Tozga F(8) ~ n + 1Gygemиметь искомую n1'ои380gную(пункт? "1'О8е1'Ьте сами!), иf'sin" 8 cos d8 ~яn n +' 8+ Сn+1lвllAтут всеокончат ельнозаnymы-&ольшая часть трюков •••9•..МЕТОДОВ интеZ!'LI\'ования Буgem gemально рассмотренав слegующей zлзве, но сначала ...ЗадачиНайвите nервоо6\'Ззные . Не заБывайте gоБавлять константу!1.1.3.4.1$.6.f (,f ~ Х<ffff 1."1.d"в.d"(" - 1.) '0d"9У41_ ,,'d"11.sin 1." d"13.2sin " cos " d"14.1О.
ИЗ mpuzoнoMem\'U" мЫ(1 - ,,) -, d"(а- ,,)л9.fff11$.помним, чтоsin 1." ~ 2sin "cos ".Вывевите отсюgа, что16.cos 1." ~ -2sin ' " + С, zgeС - некоторая константа .d"") d"sin " e COS ' d"у,,'_1_ d""+ 1(1logскэзкз: \'Ззло;t:Uте11. Чему равна константа Св заgаче 10?+ ,,' d"f ~ ,,'е("ff ,,' -_4"{,,,'ff ~d""-тарныена с.9\'06"",как nокззано33- 34.)11. Пока;t:Uте, что если F - nервооG\>азная <рункции f, G - nервооG\>азная <рункцииа С" Р - люБые константы , то CF + PG - nеРвооG\>Ззная gля Cf + Р9.(Пogскззкз: в"<p<pepeнЦLl\'yйтe CF + PG.)Найвите nеРвоо6\'Ззные:lв.19.f (1.", 1",,' - i ,,- 1)f (sin' Э соsЭ соs'Э sinЭ )dЭ+fе'14.1.fЕслиf1.tt' - t' +11,,1 d"Нарисуйт е Z\'З'PUк nервоо61'ЗзНОЙ .+ е - ' d"t ' _3t't' + 1 dt-f9,(1logскззкз: \'Зссматр"sайте nоло;t:Uтельныеи отрицательные значения х оrnеельно .)+10·f11.13.d"nogbIH-тezpальную 'Рункцuю на 9Ммен-dtF'(,,) ~ f(,,), чему равенf(" -11$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
