1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Они geляmкpyz на множество узких коле~ек толщины t>r.Если г,-КО,IЪЦЭ "раеиус КО,IЪЦЭ,2 rrr,t>r.moГ,nлощэgь ,тоzo(Прegставьте сеБе КОfoЩОв виее плоской макаронины, кomО\'ую МОЖНОвытянуть в gлинный узкий npямoyzo_ gлuнOOnpиGлизите,IЪНО2 rrr ишupинООt>r.)RTozganлощэgь всио крyzэ npuG..... -женно равнаL 2rrr,t>r.и по мереmozo,как&-- 0 .,то выражение nрeвpaщэemt:$;Ja!Не смей итьL.lЛNOlmрзцuю!11Jo/? 2rrr dr~ rrr' l: ~ тrR'217&ольшиНlmво изlOBalещеЖ9У не 90Ж9УСЬ,q~Hea школы знаеm,коzвз начну LoIзvчзmь~тo nлощаgь кpvza l'авна2• Но ~тоБы gоказаmьмаmаналuз···'--...,rrr1то, nl'иШЛОlЬ gОJI<UgаmыяKY1'la мэmанализа! С кpvzлыии шmуками иметь gелоlЛожнее, ~eMlква91'8тными.Вот ещекрvzлая шmука, котО\'у!ОogHaмы теnеl'Ь можем nOl~umamb!06ьем шара ШЗ!' - 1то шmука,lO Blex lmol'oH! Как нам l ней nоНу, оGы~ный путь инmеZ\'иl'ования-наl'езаmьфиzУ1'У на тонкие ломтики.
110nl'оБуем ...крvzлаяlmynumb?у кажgоzо ломтика lкошенный край, такТеnеl'Ь lЛОJI<Uм oGbeМbI~тoт1'им, ~тo Gygeт,ezo oGbeMnogl~umambml'ygHO.ВЫl'азимnl'иGлиженно кажgый ломтик ~еl'ез nЛОlкийgUlK lмиmlЯ К нулюBlex gUlKoB и nOlMOKozga их mолщuна lml'e-...nl'ямыM краем.Хм ... какnOl'1UmarnboGbем gUlкa?21611 усть рэguусшэрэR,э ezoцентр со~nэgэem с нэчэломкоорguнэт.
Рэзобьем uнте\,~ЭЛ[ - R, R]f "о.~gоль оси х точкэмu" 11 '", " i l'",R ------ ТХn J на множест~о ме/>СХих uнте\,~ЭЛ~ gлuныI:::.x.Тоzgэ по теореме l1uq>эzD1'Эnоnе\,ечное сеченuе, n\,o~egeHHoeчерез точку х;, буеет иметьрэguус >/R z - х/ .ОБЬем guскэ \'Э~ен n\'оuз~egенuю ао ~ыcoтынэ nлощэgь осно~энuя. В gэнном ел учэеnлощэgь осно~энuя \'Э~нэА ао ~ысотэ \'Э~нэI:::.x, n09mOMу oGbем \'Э~ен~ысотэ .
nлощэgь осно~энuя ~Сложuм оБЬемы ВСЕХ eиCK~(rrRZ -1Тх?) I:::.xu пол учuмnL(rrRZ - rrX/)l:::.xi 1$КоzgэI:::.x--O,9тэ суммэ n\,е~эщэemся ~ uнтеZ\'Эл!v ~! R (rrRZ - 1Тх2) dx ~-R9тотытоже уже~ rrR zx IR-R_1 1Тх' I-RR~знэешь!отрицать...я 9то уже lЛЫwалэ от учи7т елей 8 школе'217Метов. KoтO\'ы~ МbIиlnОЛЬ З08али gля lфе-"Ы. nрименим ко многим91'YZUM т"ехмерным фиzyt>Эм - их oGьeM МOJI:НOnpиGлиженно npeglma8umblУММОЙ oВbeМDfj gUlK08.OloGeнHo полезно 9то gля"!ЕЛ gРАЩЕНИЯ-фиzур.ОG1'аЗ08анных 81'ащениемК1'и80~ 80КPYZOlU.Конус nолучаетlЯ при 8f'Эщении npямой у ~ ах отНОlительно OlU у.
Еlли 8bIloma KOHYla/4. то рэgиУl Оlн08ания /4/а. Раз"ежем 9ту фUzуру на ломтики. nе"nенgиКУЛЯ1'ные OlU у. иn"OUHmeZ1'U1'yeM по у. 8 точке у, "agUYl nоnе"ечноzо lечения РЭ8ен у, / а.y~ ахТогва nлощэgь кpyza "а8на тr (у;/ а)', и тонкийцuлин91' 8bIlOmbI dy имеет оВЬем2тrJLdy2аИнтеZ1'U1'уем. иlnОЛЬЗVЯ 9ти ломтики. и получаем оВЬемKOHYla:13и~~-1Г-а'}.I'ще "9на формула. которую•ОР"9е Бы знала!OlH08aHue KOHYla имеет "agUYl /4/а.
а значит. nлощэgь ОlН08ания РЭ8на тr (/4/ а)2 . ОВЬем. таким 0G1'Эзом."а8ен т"ети n"оиЗ8egения nлощэgи ОlН08ания на2198bIlomy.Пара60АОИД-9то mело, 06УЭзованное ~щением nЭ1'ЭGолы У :а,,' 60К\'VZ оси у.Каков oGbe.M 9mOZO тела n\,U 6ысотеJ./?А,а6айте Быст\,енько 6Ы6ееем ФOI'мулу.8 точке у \,aguyc nоnе\,ечноzо сечения \,а6енV(у/а), а ezo nлощэgь rтy/a. Tozga тонкий ломтик толщинoCi t;:,.
у имеет 06Ьемrтy t;:,. у/а, а oGbe.M 6cezo nЭ1'ЭGолougа \'Э6енv:J:rтy dy: J.. rтy'а2аIоU::z1 тrM'а8ы можете nоказать , что 9то \'Э6НОnОЛО6ине n\,оиЗ6egения nлощэgи основанияна 6ысоту? Чему \,а6ен \'Эgиус основания?иноzgа уgоБнее искатьoGbe.Mblтаких симмem\'UЧНЫХ тел ~щения, интel\'U\'УЯ неoG'beMbIgUCKOВ, а 06Ьемы си~чных u,uлинg\'Uчиких оболочек. Han\,uмe\" 6 n\,egыgущем n\'UMe\'eмы моzли Бы ... ой, что 9то?B~PЫB ндФД&РИКЕКЛЕЯ!(7219Ну ХО\'ОШО . 9aBa~тe \'Замот1'UМ91'VZОЙ n1'име1' ...Какова zлуGuнэ1mozo tлоя ?-_...- . -- -,-.-."",--~-~-----.--------- - '-Не знаю ... zлу6Uномеl'щ: nорmuЛlЯ...D_........--::<...
_ ~- L'-___~_~.-- --ПримерПОlЛе В31'ыва наcpaGj>UKeклея ОК1'ужающая местность nОК\'ылэсь слоем вязкоzоU лunкоzо,Ж'елmоzо вещества. OG\>Эзующezо сuммem1'UЧНЫЙ К1'vzлый ХОлмик. Изме1'енuя nоказалu. чтоzлуБuна клея nа9ает в завuсuмостu от 1'аатоянuя 90 цент1'а ВЗ1'ыва. Выяснuлось. что Р(г).zлуБuна в мет1'ах на 1'аатоянuu гкuломem1'ОВ от цент\'З. Оn1'egеляemся срО\'мулой :Каков оБщuйoGbeMклея(в куБuческuх мет1'ах)в 1'а9иусе?I шш. :=:::км?,rКлей оGj>aзует тело В1'ащенuя . но вместоот основанuя к ве1'шuне. 9авайтеmozo.чтоБыUHmeZ\'U1'oBamb ezoпо оси у.n1'0uHmeZ\'U1'yeM ОТ ЦЕН'ТРА НАРУЖУ по г.220МеЖ9У 96УМЯ G""жэйшими \'Э9иусэми, r и r + dr;-zлуGинэ клея почти nостояннэ и состЭ6ляет 2е - '" мет\'06. 3нэчит , узкое L\илиН9I'ическое КОЛЬL\О клея, оZ\'Эниченное 96УМЯоК\'ужностями ~тиx \'Э9иУС06, имеетoG'oeM n\,иGлизительноdV " 2 rrr .
(2е-''') . 10' dr куGических мет\'06".m1'egстЭ6ьте сеБеопять 9линную плоскую МЭКЭ\,онину, котО\'ую моЖНО полноcтbю 6ыn\,ямить.)OGьeM клея6 \'Э9иусе 90 7 км \,Э6ен8,е хорошо,слegующему интеZ\'Элу :V(7)"""",,ли"\1'-перев!~ 10' i~ 4rrre-'" dr ~)0'.Мы НЭХ09им n\,ямой n09стЭН06Койu~ -зг', du~u(О) ~ о ,-6rdrU(7) ~ -77Слeg06этельно,4m0'Jo~ ге-'" dr ~ 41Т10' ) 0 - ( /6) e " du~ГР;~-(2/3) 10 ' rre "I~" ~-._-с :се~ n\,име\,но••~ ..."'-..-2 ,1 млн ~мет\,06 клея." 10' - КО9ффUциенm npес6\>2,,-.а. неоБхoguмый, так ""к мы uзмefЯЛU r u t.r _ ICUломempзх, а- 6 метрах.
1 км ~ 10'zлу"uну221Несо6ственные интеrралыМы только что nоglчuталu, lКОЛЬКО клея вылиЛОlЬ на зеМNO в 1'ЭgUУlеВ3l'ыва ... Но что, илu нам нужно узнать ВЕСЬoGbeM?км от ~eнmraвылuтоzо клея?КлetI о БикоHe'iHOlmu?"то можно заnUlать uнтеZ?алом, уKOmO\'OZO ОДИН И3 ПРЕДЕЛОВ РАВЕН &ЕСКОНЕЧНОС1lA.Мечтать неspegHO, n\",o(В еанном lлучае мы n?egnолэzаем,что <ра6\'UКЭ клеяlmOUmва?на ugеальноnЛОlКО~ 1'авнине, nI'ОlтU1'аЮЩ~lЯ Биконечно воBle lmO\'OHbI,а не на uзоZHymO~ nOBel'XHolmU К1'yzло~ 3емлu.)ИнтеZ?эл, в котО\'ом"то не очень<puzY1'U1'yem GеlконеЧНОlть, называетlЯ HECO&C1tjEHHbIM uнтеZ?алом.уgачное названuе, nОlКОЛЬКУ Ble Оlтальные uнтеz?алы тоже никому не "1'инаележат.&ееныеlupотки!222~'\После ВЗ\,ыва на фаGj>ике oGbeM клея (в КуБических мет\,ах) в \,авиусеR киломem\>'" \'ЭВеНУ(Ю : 10'Jo~ 41Тrе-'~ dr:: - (2/3) 1110'e-'~: (2/3) 1110' (1 _1: ;e -"t')По ме\,е mozo как R-+ 00, Bmoi>oй членсm\,емиmся к HYNO, так чmоКак мol mолько чmо виgелu, инmеzpaл из"\,уме\,а с фаGj>икой клея схоgиmся .lim V(R) = (2/3) 1110 ',-=Конечный оВЬемклея размазался поGetконечнООn"""'ll9U!Хоть чmо-mо хорошее I1ЫШЛО"з эmоо у.жзснОО mpэz"!j"".
Мыlmзлu лучше понимать...---=----'L...&уеем нзgе.!llТ1bGЯ.'1то 9 тom примерЗЭSЯ3Нerns na~muнэgо,o,zo!МЫ ZOВO\'UM, чmо нес06сmвенный инmе2\'ЭЛСХО1>,ИТСЯ,Kozgaэmоm n\,egел конечен :8 эmом случае мы ОПРЕДЕЛЯЕМ несоGсmвенныйинmеZ\'ал как слegующий n\,egел:f00Jaf(t) dt: /im [ " f(t) dtх_ооJa223примерыJ1 ~~.00110Оn\,egеленuю. 1тот uнmеZ\'Эл \'Эsен n\,egелу:limх-оо1'" d; ~1tlim (__1tХ-НXI'X )~1Как может срuzwэ l Биконечным ОlНОВЭНLlем иметьконечную nЛОl.ЦЗgь?Высоmэочень бысm\,ОnЭ9эemJOOС 9\>YZОЙ сто\,оны.1dtТ ~lim(/п х...-/п 1) ~lim(/п х) ~ 009тот uнmеZ\'эл не СХ09umся.
Общэя nЛОЩЭ9Ьn09 «xsocmo"," Z\'эфuкэбесконечнэ . ИНОZ9Э zоsО\'яm. чmо У mэкоzо Z\'эфuкэ толс1ый ХВОСТ.?9есь ZО\'ЭЗ9 0n\,ocmO\'Heй !224в nОlЛegних ввух примерах nрegелом3атоUHmezpU1'o-вания является бесконечdt ~ 2Гtность. К несобственнымvtинтеzpалам относятсяl' ~о1.также те, которые заваны на конечном интервале, но их nовынтеzpальная ФУНКL\ия «взмывает»В бесконечность .., ,Вот 9тот интеzpал сховится: nлощавь,ниченная nрямыми у ~ о и у ~1х~---Например, такой интеz,pал:1оdttZПовынтеzpальная ФУНКL\ия не оnрegелена вовной из конечных точек интеZPU1'ования,но такой nрegел может существовать.1y~-vtДавайте найвемlim (- _1tх ..... о1'о )~3амemLlЛU, что 9rnотот %е Z?3фUК. что~ lim (-1 +_1 )~х__ оХu s первом t1pUMepe00наnpegыgущei1 tmp3HUЦ€.mОЛЫСОnosepHytrlbIaнаБок?;1тот интеzpал не сховится.1.1.7ozpa-конечна, хотясама ФУНКL\UЯ рвется в бесконечность!y~-11,ПЛОТНОСТЬКак"'1все знаем, nogywкa, наGuтаяс 9!'YZОЙ стО\'оны, куGический метр свинцаnYXOM,весит9аже GОЛbUJая, весит не слишком мноzо .11 340КZ, то есть GОЛbUJе ОА,ИННАдu,дТ1А ТОНН!Свинец иnyxимеют разную пло-rnОСТЪ.
Данный ОБЬем свинца оGЛЗ9ает GОЛbUJeti массoti, чемтакой же оВЬемnyxa. (Или В09Ы, или Megu, но не золота! Плотность золота еще выше, чемУ свинца . )Скажи сnасuбо,что 9 то незолото!в 9\'У ДВМ (90 высшей математики)"'1 оnрegеляли плотность телз как аО маССУ, 9еленнуюна оВЬем:226Но теперь мы сталиzоразео УЮiее! Теперьмы спосоБныnpeecma-nOkf'bImoeс НЕ110СТОЯННОЙсвинцом?УKOmopOZO61..u нет?nерьtшко,~Umb себе матерuалПЛОТНОС-!ЪЮПочемуHanpuмep.- тaKO~ .плотностьразлична ~ разных митах.U мынашли спосоБее uзмерuть...Возьмем.HanpuMep.
АТ"'ОСФЕРУ ... '{ем ~ыше мы nоенuмаемся. тем разреженн~ стано~uтсяEzo плотность на Y1'OfIHe моря z0t'3зео Больше. чем на ~ыcoтe 15000 м ...~озеух.и что же ЭтоB0J9YX3! .....B0J9VX3! --- . -~. @_.~.означает?-"-.r . -. ~.1..27Вот столБ возgуха , егооснование- l<IIa91'amсо стО\'оной1 м.ОБ03начим через М(х) оБщую массу возgуха в 9томстолБе, начиная от уровняземли и ео высоты х.3амеры плотности возgуха nоказывают,Тогеа слой высоты dxБуgет иметь массу dMи 06ьем 1 . 1 . dx '" dx м' .что плотность атмОСферы I/(х) на высотех метров равнаI/(х): 1,1.9е -О. ООО1 24 Х кг/м'Таким oG\>азом, оБщая масса столБа возgухасl<IIa91'amHbIM основанием (при стороне1 м) и высотоо 10 000 м равнакваерата10 0 001М:1,1.9е -0,00011'<dx:ОI:сли слой тонок, плот-100001"1'0000:: 1,1.9 (0,00011.4 ) е -'.'< Оность возgуха в немравномерна итоОБщая масса равнаИНП:ГРдЛУ плотности.воеу, npocyммupoBaB все«KO\'oG\aA+ 10 31.0 :: 1340кг возgуха.д гее nиццз?Мы пришли К таком у вы9ти" -1.990из-nоg nицЦbl», полные возgуха.1.1.9Друrие вещи, 06Л3Д31Ощие плотностыоТот же nоехое можно исnользоgатьgля gычисления ПЛО11iОСiJ.I НАСЕЛЕНИЯ.~'ff J..Il.Она l'азная g l' а з н ых местах.~§JA'Х(f.,.~fТ1l'egnоложим .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
