1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 20
Текст из файла (страница 20)
3начиm.п+ьJ~о..1.. (0)2 ~1.1."d x~-х "+1Х~--п+12оКак мы и еоказали с оZ\'омными т1'уеНО 8се равно, 7тоНО 9товсего лишь nлощаеъеще не 8с.ё!о~ -cos( ТТ) - (-cos о) ~1.cmf'3HUЦbI назае·mреYZOЛЬНU!GIЬ"+1bп+101.mf'UIПример J"12 sinede~- соsеГ ~~..1..носmямиdxх.1хAyaмz.e из теоуемы слegуem:1Lх"ПримерdxМы знаем. чmо оена из них F(x) ~ь~0+1~11...JПримеро-11 z+иdu~аrщul'о ~~аrЩ1-аrщО~(3еиь мы наз~али nеl'еменную инmеZ\'Uf'о~ания илишь еляmozo.чm06ы наnомниmь ~aM: онаможеm носить tюGое имя!)Ты npэs! 9rnо неееро-При мер1, х'ятно ""ymо! Я 9"",е 9З\'<;Мы знаем. чmо F(x) ~pe'1Udx+х ' - nef'~o06-l'азная.
3начиm. инmеZ\'ал l'a~eH~ 62<; - 1 ~ 1%4тт/49ту l'азносmь часmо заnисы~аюm ~ ~иeex..1..4'l·о-1194nomеуялэ...IA8t:e же Я,,,... шу.",,'т"Z08OPUШЬ .••ЕстьHecKOilbKOсnосоБо~ nрочугст~о~ать q>унеаментаilbНУЮ с~язь межеу nрouз~оеными и интezpaлами . Оеин из них-понять, почему «npоиз~оеная от nлощаеи» есть сама исхоенаяq>ункция. ЧтоGы 1то сеелать, нужно npe~mumb интеграл ~ q>ункL\UЮ.Так. ты9ef"'"C~OO конец-<Henoe8WkНO ,а Я GY9YC98uzambС8ОО •••Итак •• • у нас есть q>унКL\UЯf , мы",иксируем оену конечную точкуинтеZPUP08ания и nоз~оляемervzooизменять положение.nлоTozeaщаеь тоже изменяется: она стано~ит'Я ФУНКLIfIЕЙ ОТ ПОЛОЖЕНИЯПОРОЙ КОНЕЧНОЙ ТОЧКИ.tаЕсли х-nое~ижная конечная точка,f(x)а АС х) - nлощаеь *, 1ту nлощаеьмоЖНО записать q>ормулойд 1то то же самое, что сказать:А'(х)t..
f(x)а• Пое nЛОЩЗ9ЬЮ мь! 8сща "09Р33умеваем nЛОЩЗ9' со знаком. Таl<Же слееуem npeeycмompem, 8ОЗмо.жнОlmь.f.'1mo nogs:u-*Нзя конечная то'1К3 окэжemtя с.леВА от а. 8 9том случае gОZ08ОРU.w::я. чтоа"f(t) dtозначает - [ f(t) dt19'5Ват ст"оzаяформули"овкэ:ЕслиФУНДАМЕНТАЛЬНАЯf-неn"е"ывная функция, а-то~кэ из ееоБласти оn"egеления и А оn"egеляется кэкТЕОРЕМАМАТЕМАТИЧЕСКОГОАНАЛИЗА, версия1:J\ОКА3Д1ЕШ1iО. Если у А есть n"оизвоgМожно сформулировать то же gокэзателъная , она вы"ажзется слegуюЩLIМ n"egелом,ство точнее: оn"egеленный интеzpал зажзтесли таковой существует:межgу своей ве"хней и нижней CY~Mи:[~+MА'(х); lim А(х + h) - А(х)h- ohmh SПО оn"egелению А.J. f(t) dt s Mh,zge mиМ соответственнонижняя и ве"хняЯ zpаницы fна инте"вале [х, Х + h].[нмJ.('мт----Tozga[нмf(t) dt-J.
f(t) dt;J~ f(t) dt< А(х + h) - А(х) <_ "h'"т_П о ме.l'еmozoкакh-О,muМt::жuмаюm'я IJместе!х х+ах х+hВысота 9той полоски" f(x), ширина; h,а слegователъно , ее nлощаgь " hf(X), тод поскольку f Н!:ПРЕРЫIIНД, m и Мобе ст"емятся К f( х) n"и h -+ о(по теореме бymе"G\'ogа) .естьlim А(х + h) - А(х) ; f(x)h_ o196hh6..АПуoGе""'''''Я-J<aпо 901С!З"m""""m.у ещеинтеZ\'Элэ.
Ширина nоло,ы -т . чm06ы nРОЧу9lmвоsаmьezo- nлощэgь вот 9тоо тонень -коо nоло,ки на К\'Эю оn!'egеленноzовы,ота n!'иблизительно !,авнаполучше!r-----'h, аf(x),то ить nлощэgь n!'иблизительно!,авнаhf(x)*.Слegовательно,6..А " М(х) ~ f(x)hf(x)h"тот крохотный клиНЫШeJ( наве!'ху не n!'евышает (МСлegовательно, 9то6..А ~hf( х) + блохаА значит, А'(х) ~Или, кзк вы!'азил<:я бы Лейбниц:- m)h ...- блоха!f(x).я же zoвO\'UлdA - &ЕСКОНЕЧНО ТОНК1IЯnоло,кз ширины dx и вы,отыf(x), так что ее nлощэgь !'Звна,toответ,твенно, f( х) dx.meGe,"'то моя3ЗnUlЬ лучше!dA ~ f( х) dx,f( х)dA ~ f(x)dx/dxв любом иучае 'мы'л ogин и тот же:СКОРОСТЬ И3МЕНЕНИЯ плоЩАДИ8 ТОЧКЕОПРЕДЕЛЯЕТСЯ 8ЫСОТОЙ ГРАфИКА8 "ТОЙ ТОЧКЕ.*f(x + h) npимe!,HO !'Звна f(x),,кзкзть туgа-'юgа•nо,кольку мы n!'egnолэzаемточке Х.197fнеn!'е!'Ы.НОЙ: она не можетДоказательство версииIфундаментальном теоремытеneрь мЬ! МDжем 901<Эзать версиюФУН9аментальнойmeOf'eMbI.nO'l'eeCmBeнHo вытeI<Эет из1Она неМы хomим nоказать.
что илиG-nеrsooG\'Эзная неnрерьrвной функцииmozo1.факта. что NOGая nервоо6\>азная90лжна отличаться от А( х)ьf(t) dtЛЮБдЯf.то~ б(Ь) - б(а)на константу.А,ОКМА1"ЕШТ1!О. Соzласно версиитальнойmeOf'eMbI.А функцииf-2ФУН9амен09на из nервоо6\'ЭЗНЫХ9то3аметим. что А( а) ~ О. так что по крайнеймере 9ЛЯ 9той nеrsоо6\'ЭЗНОЙ1.Ноьf(t) dtG 90лжна~ А(Ь) - А(а)отличаться от А на константу:б(х) ~ А(х)+С3начum ,1.ьf(t)dt~ А(Ь) - А(а) ~~ А(Ь) + с - (А(а) + С) ~"б(Ь) - G(a)Что итре60sалосьвокэз ать !Tpam-nам-nам!199Пример ПCJКЭ)O(ем, чтоСоzласно 6ерсииJ'" ь1 фунgаментальноо~ F(x) -dt1'"ь dt ~ ln х, если Х > Отеоремы,F(1),zge F - любая nер6006\'Эзная функции 1/t. F(t) ~ ln t9то ogHa иЗ nер6006\'ЭЗНЫХ, n09томуJ,('"J..
dt ~ ln ttпосколькуIХ'"1lnх-06f'amumeчmо при :>(~ х,S:HuмaHue,< 1 инmezpалО'WИЦАТЕЛEiН , посколькуln 1 lnмыUHmezpupyeMlr'fЭва налево,ln 1 ~а nogынmеzyaльнаяО.функция n оло.:<Umельна.Серая оБласть ~lnх----------------~~ хПримерА 7то е:3 ..... ICЭI( t1онуавumlЯ?ЛogынmezpзАЬН3Я функцияogним концо""" ухoguт8 6et;конечносm~, а iЮn1ее nлощэglo эmоzоне gелает!arcsin 1 ... "/21потому чтоarcsinО ~ О'еесь Нам опять, 60ЗМОЖНО,nри9етсяUHmeZ!'UP06ambсnра6анале60, и арксинус отрицателен"l'"-1 Sх<О.-11993аАачи12. Покэжите,If(x)1 :5 М нэВычислите сл~ующие1з1.{,IJ'"dx2/34.! (1-ьеве <рункциичто If(x) -f и 9, тэкuе,9(x)1 :5 Е:-МНЭ всем интервэле, то11х) -2 dxь(f(x) -9(Х)) dxl :5 Е:(Ь - а)Иными СЛОВЭми, или еве <Рункции близки91'VZк91'VZY НЭнекотором интервэле, их интеZ\'элы тоже буgym близки •1. (а• +1-х)" dxИЗ КУ1'СЭ элzе6уы вспомните, что13.1-коzgэ интеZ\'эл в зэgэче?не оnp~елен?fМ(Ь - а)Покэжите, что или gэны1/26f(x) dxl :5-а"2.
f ~ х' dxJ,•3. Jз (х - 2)'0 dx~.-_._----_.-..интервэле [а, Ь] Мgля HeKomopozO числа М, тоинтеZ\'элы:20что илиtn~(I_или1- t21.Jv'2 ";4 - х 21-dxt)(1 + t+ t 2 + ... + t n- l )nt~1+t+t2+ ... +tn-1.1+ t11(1 - t) для МАЛЫХ t.Покэжите, что знэчение СУМЖ>I&ЛИ3КО К+ t 2 + ... + t n- 17rr/21.fJ 1ТI4sin 2xdx--1-2 '" 1 - х 21+хnpoUHmeZPU1'y(jme9.J.20;(t3/2 + t Ol2 - 4t -7/2) dt+ х' - х' _ ... + (_1)nх 2nот О ео1:1 '-112dХ'"1'(1-Х2+Х,_+оХо210.11.f ~ х2 е("+I) dxJ,J.111Т/6,тr/6е(sin ecos ++ cos2 esin е) de2Вычислите обе стороны,чтобы нэйти q>ормулу,НЭЗВЭННУЮ именем ЛейбниL\Э(нимотря НЭ то, что ееоткрыли инgийские мэтемэтики ЗЭ мноzо летеоHezo!).200...+(_1)nХ2n)dХГлава11Интеrралы-о60РОТНИН06ые пути поиска nер6006/7ЭЗНЫХЧтоБы интеZ1'Щ'09атьq>ункцию, нужнолишь» найти ее«6cezone1'60-06\>азную, но 9то БЫ6аетнелеzко ...IAHozgaq>ункция6ыzляgит незнакомо, и мыне узнai!м6 ней n1'OU360g-ную ни оgной и36uтной намq>ункции.
110000Й кажется,что gело Безнаgежно.I109тому математики1'3Ботали специальныестl'ументы, котО1'ые1'33ин (ynl'o-щают 603НЮ С интеZ1'аламии nомоzают их l'асколот ь .Отлично!/lюGt.ю хорошиеинструменты!201ПодстановкаТеперь gоба6ими,переменных-6 цепочку gpyzуюона Я6ляеmся функцией от и.функцию,Tozga,каки раньше,Отныне мы примем на 600ружение заnиcb ЛеЙБнщ.(3 и Буgем nисать d", dt,dи, dV, dF и так gалее, как если Бы6се 9то Были Бесконечно малые 6еличины. Не Бесnокойmесь , 9то сильно упростит нам жuзнь и не на6лечеm никакихnроБлем.dv ~и'(и) dиПоgсmа6им dи ~ 1.1'(,,)d",чmоБы nолучиmьdv~ и'(и(,,)) 1.1'(,,)d"- то же L\enHOe npa6ило, mолькоgpYZUM способом.
Оно zласиm, чmод 9тозаписанноеНу я не знаю ...Ньюmон меня осла6илпо 6семуzopogy .. .ПрOlCЛЯmЫЙJV'(U)du ..JV'(u(x»u'(X)nлэzuаmOf' !dxСmраннаязапись-чmо-mо я еене припомню изкурса алzе6ры!Начнем с БаЗ060Z0 ура6нения,функция отzge 1.1-,,:..S1JL ~ 1.1'(,,),d"котороеnреgpащаemсяdи ~ 1.1'(,,)6d",которое на самомgеле значиm, чmоJdи~ Jи'(,,)d,,~и+C,Почему 9то нам полезно?Поmому чmо nОЗ60ляemУПРОС1\.lТЪ или nрео6раЗ06аmь инmеzpaл сnра6а6 инmezpалсле6а!ПОДСТД8И8 dи 6местои'(")d,,, мы получаемZ0р3зgо Более nростойинmеzpал!которое, как мы знаем БлаzоgаряФунgаменmальной теореме, истинно!202Пример 1.
НайеемПуtть и;J2t СО!; (t)2 dt.t 2, mozga du; 2t dt,и интеzpалВозможно, В:Ы nомнuте,принимает виеJчто ,.то сuстематический2tcos(t)2dt;; sinиметое проб и ошибокJto t. 179.cosudu '"+ С '"; sin(t)2 + СВот nошаzовое1.OnutaHuenроцееУ!'Ы:1.Ищем внутреннюю срункцию и,nроизвоgная которой и' также ямяemtяПишем du; u'(t)dt (или u'(x)dx,Hat там nеременная).или какая уtомножuтелем в nоgынтеzpальной срункции.3.Выражэем Bte черезU.4.Пробуем UHmezpUf'0Bamb ПО и. I'сли nолучилоtЬ, В ответе заменяем и на==203u(t).Пример3виьu;1..JНайвем х' ~x' + 9 dxх ' + 9 еыzляgит хорошим кэнgиватом на енymреннюю функциЮ, nОСКОМКУ ееnроизеоgная 4 х ', а мЫ еивим х ' е ролиСОМНОЖ1lтеля еnogbIHmezpaMHOOфункции.du; 4х' dx, поэтому х' dx; ~ du,nо,тому; ~ .
~ . и'''' + С; 1~ (х' + 9)'''' + СПример1.НайвемJ У2иu- 3 duиноzgа nовстаноека не еыzляgит мноzооБеш,ающе, но гсе раено раБотает . 9таnogbIHmezpaM-ная функция не очень хорошо vклзgыеается е нашишаБлоны, потом у что СОМНОЖ1lтем и не яеляется nроuзеogноо енутренней функции. Но ваеайтеесе раено попроБуем ...v =2и - 3, и;= (2.U -3)S/210i (v +3),+ 1.
(2.u _2idu = dv3)'12+С+ Ь) m gлялюБоzo nОЛОЖ1lтемноzо целоzо n и люБоо степени т, а также любых а и Ь, а слegоеатемно,gля P(u)(au + Ь)m, zge Р - люБой мноzочлен.Такэя же nоgстаноекэ оБычно раБотает с nоgынтеzpамной функцией гива и " (аи204Подстановка и определенные интеrралыПI'U UСnОЛЬЗО6ЗНUU nоестзнOI!ки 6 Оnl'''9еленных uнтe2f'3ЛЗХ nl'''9елы uнтЩU\'О6ЗНUЯСЛ"9ует менять 6 соот6етст6ии с nоестзнOI!КОО. ЕслиF-nеf'6006\'3ЗНЗЯf.тоПI'U uнтеZ\'U\'О6ЗНUUпо и конечные точкиuнте1'6ЗЛЗ а U Ь ззме""'rняются нз u(а) u u(ь)9то похоженз оG\>езкуKyt:molJ!соот6етст6енно .Пример4. Нз~еем" /41оddx("n..." х) ;OМ', х dxcosПримерхе'";1 _ е" dx- ln2.ПОnf'оБуем UСnОЛЬЗOl!зть u(х); е '.~rоzeзcos' xКонечные точкu uнте1'6ЗЛЗ еляdu;е'dxНО6ые конечные точки uнте1'6ЗЛЗ интеПусть u(х) ; t9 х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
