1610912320-a30bbcee2a902f3585d6ec06c645b558 (824700), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если f -а) dюg"<р<реренЦLl\'уемзя <рункциЯ, чем у равенff'(,,)dюf(").Глава10Определенным интеrралП/lощаgu nое U нае'!то мы имеемкомGинаL\UЯ, тоKOgg gugy, zоgО1'Я о nлощаgи фиzУ!'Ы? Если ,то nрямоyzольник, треyzольник или ихgce просто: нужно лишь сложить nлощаgи состаgляющuх фиzУ!'У треyzольниили nрямоyzольникоg.ОtmЗЛОlЪ rnолысoВtnомнumь, !(ЭКсчитать nлощаgьmpеyzольника...НО что, если фиZУ!'а имеет КРИВОЛИНЕЙНЫЕ О'!ЕРТдIIИЯ? KaKOga mozga ее nлощаgь?9~!Выпрямлять неразрешается!А,оG\>аgшись ео,mozo места, gbIнаgернякауже начинаете nоgозреgать, что оnрegеление nлощаgи как-то сgязано с nРЕДЕЛдIt\И ...193A/IЯl1\'0tmombI \,замот\,им оtо6ую фиzУ\'У, оZ\'зниченную t т\,ех tmO\'OH n\,ямыи линиями :tле83 и tn\'383 - 8е\,тикальными Х ~ а, Х ~ Ь, tHU3Y - оtЬЮ Х, 3 t8e\,xy - Z\'3фиком некото\,O~ функ~и у ~f(x),отноtительно KoтO\'o~ пока 6уеем tчитзть, что онз неот\,иL\3тельнз.у т3KO~ фиzУ\'Ы только оенз К\'и80лине~нзяtmO\'OH3.Нет, то, что онап охожа Н3 tлонз,нзкрыо z.оo ПОПОНОО Iне имеет нuкэкоz.оз н зчения.'---.,ьаA;Jльше 6уеем n\,име\,но tлееО8зть шзzзм, Onut3HHbIM Н3 t.
169: \,зз06ьем инте\,взл [а, Ь]Н3 nоеынте\,83лы' \,ззмuти8 Н3 нем точКи ХО , Х" х., .. , х" ... хn ' zee ХО ~ а и Хn ~ Ь. A/IЯкaжeozo i ~ 1 8ы6е\,ем любую точку х.. 8 i-mом инте\'83ле [ х,_" х,] и nOtm\,oUM n\'Ямоyzольник 8bItOmO~ f(x") t OtH083HueM l::!.x, ~ х, - х,_ ,. И нзконец, tyММU\'yeM nлощзеи n\,ямоyzольниКО8, что6ы получить n\,и6лuженное знзчение nлощзеи \,замат\,и8земой фиzУ\'Ы.n~L.J f(x.*)8x.Iу ~f(x)Ii~ 1Хотите, я tеэм8 утильлишниечэtmи?:t.*194::Imo выражение называется РИМAl!О80Й с.уммой в честь &еРНХ3l'9а Римана, математикастоль оригинального и талантливого, что его хвалил 9зже сам великий Гауа , который вообщене хвалил никого и никогва.&ернэrguк, gеРЖUlЬ лучше МЗmЭНЭ::1 •••еслu Гауане .хвалилно nохвалuл менято...лизэ. а ЛОZUКУ оставь ВnOkoe ...HUICOZO ,...я-не ниlCmО?Наш план, таким ОG\'азом, состouт в том, чтобы разбить интервал на все более мелкиечасти так, чтобы самая большая ~Xi --O, и посмотреть, БУ9vm ли суммы nЛ0Щ39ейnрямоyzольников стремиться к некоторому nрegелу./аьНе БУfJУ вас томить.
Ответьа-М! три условии, что функцuяfнепрерывна на интервале[а, bj, см.с. 162.)Прegел ,той суммы называется ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИН1ЕГРАЛОМи понимается как nЛ0Щ39Ь nog КPUBOO. 3аnисывается ,то так:ьf(x) dxааьlв'5OCTOPO)I(НO . ТЕОРИЯ!!!На 9тих 9ВУХ ,т1'аницэх 9аноК!'аткое 9окэзатель,твоmozo.что 9ЛЯ неn1'еl'ЫВНОЙЕсли ты О~ЕЩАЕШЬ.
чтоf !'UмaHOВbI 'YINN>I 'Х09ят,яменя вСе. равно npuMyтзначению. то итьsЩUЦUНlКUCi UHlmumym . ..к 09нозначно Оnl'egеленномуOnl'ege-ленному интеZj'ЭЛ У. !;,ли ва,инте1'иует только nj'Экmичuкое nl'UMeHeнue. можете'l'ЭЗУnel'eamu на ,.1вв : 9тоне помешает вам жить нО!'маЛЬНОй nолно"енной жизнью ...КРД1)(О!; И3ЛО)Кl;НИ!; А,ОКд3дТЕЛЬСТ8д.
nу,ть функ~я fHenl'el'bIBHa на [а. Ь].nу,ть [а ~ "о.",.... ", ~ ь 1 -1'ЭзБиение интеl'вала. На каЖ90М n09ынте1'вале ["'-",оzла,но meOj'eмe оБ 9кст1'емалъных значениях. f9o,muzaem"а .максимума М, и минимума т,.Henpe1'bl8HbleФУНIЩiJU -... ашu9I'YJЪя!Tenel'b,о,тавим о,оБые l'имановы'YINN>I.котО!'ые n09Х09ят к Zj'Эфику ,ве1'ХУ и ,низу.НИ.ЖНЯЯ CYINМ 9mOZO l'азБиенияОnl'egеляется фО!'мулой$~М,nL m,t.",i~/1В!;РХНЯЯ CYINМ Оnj'egеляется ФО1'мулойn$~L M,t.",i~>9ля пол учения ~ - Более$. и нет1'У9НО nоказать.mozo.'YINN>I. незави,имо1'\ва ем ,еl'ые nl'ямоyzольники.вы ,oкue nj'Ямоyzольникu.что люБая веl'ХНЯЯ 'умма БУ9ет БольшелюGой нижней'\для получения $ мы 'КЛ29Ы1Я,но. что ~t:..,о ,тоящиеотна каКом l'азБиении они о,нованы.ча ,тей.I1в6Iиз ,еI'ОЙ и БелойA;Jлее используем СЛ"9yIOщий факт, который 9ается Без 90кэзательства: 9ЛЯ люБоzоЕ:> О можно \,азБить инте\,вал [а, Ь] так, что If(c) - f(d)1 < Е:, КОГДА сИ d ЛЕЖАТ- т, < Е: n\,и 00&01(1 i.В 0f,Ji01(l поА,ы1Ер8АлЕ..
~ 9mOZO \,азБиения М,ЧтоБы 9то понять, нэgоI1~~~~;~zлуБоко заzлянymь •l8оСkmsз '1Ulел, о "ото-pblXчасто ynоминают,но нu!Фzgз неOnUlblBa-ют в gеmаля)(Omci09aСЛ"9ует, что чем мельче \,азБиение, тем Ближенижняя СУМНФI. В"9Ь 9ЛЯ люБоzо скольVZ09HOмаЛОZО Е:>g\'VZкg\'vzy...становятся ве\,ХНЯЯ иО мы можем С9елать такое мелкое\,азБиение, чтоМ, - m, < _Е:__ 9ЛЯ люGОZО i.Ь- ав 9том случае~- s~nL (М, - m,)D.:x, <i~1n<Li~Ь: а D.:x,~1Е:~ - - (Ь - а) ~ Е:Ь- а!:сли ве\,ХНЯЯ и нижняя СУМНФIMOZymБыть скольVZ09HOБлизкиg\'VZКg\'vzy, 9то значит, чтомеЖ9У ними зажато РОВНО 0f,Ji0 ЧИСЛО . (9то еще 09НО СЛ"9ствие zлуБокоzо nоZ\'ужения всвойства чисел и т.9. и т.n.) ПО ОПР!:A,l:Лl:НИЮ, Оn\'''9еленным интеZ\'алом f на инте\'Валеот а 90 Ь является именно 9то число!я Больше NOБойнижней суммы!Я меньше люGоCiверхней суммы!Сюgа влезетЯ уникален!только 09НОчисло...А теnе\,ь ве\,немея К вещам, кomо"ыевам в самом 9еле нужно знать.1в7Чmоnpoucxogum, Kozgaфункция9 npUHuмaemоmрицаmельные значения? Если 9(Х/) < о, то и член pимaHOBO~cyмN>ы 9(Х'"}6.х, оmрицаmелен (Begb 6.х, nоложumельна).6.х,, > ,ОA{V'O,, -,уgоБсmва иМlOcтpaциимы В начале эmоо zлавы рассмаmривали инmezpaлНЕОТРИUAТЕЛЬНОЙ функции ...Но на самом gеле римановыcyмN>ы схоgяmся К оnрegеленном у инmеzpал у gля ЛIO&ОЙHenpepbIBHOO'k.J::'7"''I.
-- -- - 9( х,"} <функцииона закрыmом инmервале.Иными словами, оБласmи под осью Х gаюm ОТРИUAТЕЛЬНЫЕ 3НАЧЕНИЯ.инmеzpала nлощаgи , расположенныеnogA{V'Oоnрegеленноzоосью х, как бы взаимоуничmожаюmся с nлощаgями ,расположенными нае осью х. Если nрouзвоgную можно назваmь «скоросmью со знаком»,то инmеzpaл-эmо «nлощаgь со знакоМ».ПримерХоmя мы еще не умеем вычисляmь оnрegеленные инmezpaлы' мы можем gоzаgаmыя, чmоi sinede~O,27Тпоскольку оБласmь межgу тr ижащаяnog'2. тr,леосью х, являеmся mочнымзеркальным оmражением nоложumельHO~ обласmи, лежащro межgу О и 1(.9ти еве nлощаgи анниzилupуюmg1'yzg1'yza.lвв~ тэкже uнтеZf'Uf'оgэть некоторые ФУНКL\UU, не яgляющuеся HenpepbIgHbIМU.Пример~OPHики нэ лоGоgом стеклеи коzеэ он еостuzэет оnреееленноzо nороу мноzuх эgтомоGuлей оGоруеоgэны ФУНКL\uейZOgOZOП1'Е1'Ы8ИСТОЙ 1'10&011.1: g конеенсэторе мезэмыкэется,знэченuя, nроисхоеит nроБой, контурu egopHUKUочuщэют стекло.ханизмэ, vnрэgляющezо еgорнuкэмu, нэкэnлugэemся зэряе...+-~-ГРЭФUК зэguсuмостu зэряеэ конеенсэторэот gpeмeHU Буеет gыzляеетьgOmно еэжетэк.g этом.случэе мы можемeZouнтеZf'Uf'оgэть: нужно просто сложитьОн «nерескэкugэет» от оеной точкиnлощэеu нэ тех отрезкэх ,Кнеnрерыgнэ.eryzoa.-.iьq(t)zeeФУНКL\Uяdt~cYINМ- nлощзgей треугольниковили фраzме.нm($ mреYZОЛЬНUkОS.а?то uмюстРЭL\UЯ gэжной формульr.Если Сi-сf(точкэ межеу аiх) dx +Ьf(u Ь,тоiх) dx ~Ьf(х) dx?то очеguено , поэтому еокэзэтельстgопpUgOeUmb не Буеем.
ОGщэя nлощэеь(со знэком) рэgнэ сумме nлощэеей(со знэком)egyx чэстеЙ.1в9ьРазобьем интер~ал [о. 1] на n pa~HЫX частей.и,nользуя набор точеК [О. 1/n. 2/n • ...• 11.Ширина кажgоzо интер~алэТзк что, МЬ! НЗ~конец получимi/n. TozgaOI11'''9 еленныеl:!.x ~ 1/n. аf(Xi) ~~ерхняя 'умма pa~HanL f( х,) l:!.x ~ответы НЗt:чет9тих OnРegеленHblX uнmezyэлов?i~1nioo ooooo _Ширина ~1/nНачнем, труеного-оnрegелим nрegелримэновых ,умм .Пример110кажем. что1JТы хочешь 90kЗзэть ,что nлow,эgь 9тоzoоxdx~J..2n8озможно. ~Ы помните ~ормулу 'уммы ne~bIxn положительныхчи'ел (а или нет.
тоnO'Mompиme ~ учeGнике!) :треyzольнuкз,-_..:,,,,,,наi.оn" " i ~ n(n + 1) ~ n' + n1/ 2?\{k...iTozga~221римэнова 'умма pa~HanJ.. "" i ~ n' + n ~ J.. +n' k...i11 о~1мере того как2n'n-2_1_2n00 и разбиение 'тано~ит'я ~ce Мel>Ьче, 9тот nРеееА стремитсяКо1901/2.Иными ,ло~ами,Н у лэgно, :>то БылBcezoлишь треyzольник ••. Но мы совершили столько тРуеов, чтобы наzляgно nоказать: изоGpетя математический анализ, Ньютон и ЛейБниц с:>кономили человечествукучу усилий! Их Большое открытие в оБлэсти интеzpалов настолько важно, что оно называ ется <РУНА,дМЕНТдЛЬНОЙ ТЕОРЕМОЙ IМТЕIМТИ'lЕСКОГО дНАЛИ3д. Мы noкpoeM :>тотматериал на слegующих страницахИ кстати ••• если выли константу-Bgpyz...заgались вопросом, почему вnouegHeMответе мы не gоБавине заБывайте, что оnрegеленные интеzpалы являются ОПРЕДЕЛЕННЫМИ!Оnрegеленный интеzpал - :>то nлощаgь со знаком, некое число .
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ жеинтеzpал, или nервооGpазная,Bcezgaимеет при себе константу .УМОЛЯЮ, <кажи, no,емуониmozgaзаписывают сяовни,"" и тем же.СUN$ОЛОМ?'-----111оХ dx ..i191Ответ скороБуgет •.•Задачи1. Оnt'~елим функцuю 9 lЛ~yющuм 06разом:ВычиlЛuте интеZ?ал9(") ~ 1 вля таких ". что 2п S " < 2п9(") ~ -lвля таких ", что 2п/J.f'$<+1+22п<S "7,';')8+1J9(")d"-4.096в,ех целых чu'ел n ~ О.
±1, ±2, •• . НЭ1'u'уйте9.Z?афикфункцuи9(t)t;.t, ~тим. что~t 2 u любоzо ЧUlЛаТ no,mpoame риманову ,умму на uнтервалеот О во т ,л~ующuм 06\'Эзом. Разбейте интервал [о, Т] на n равных интервалов, и,пользуя набор точек (О. Т/п, 2 Т/п, ... iT/n, .... пТ/п ~ Т}. Пу,ть t, ~ iT/n, заме2.
/J.f'$<Т/п, так что ogна риманова 'умма ~n равнаn~n ~L(iJY(~)i~р1Ynpo,mume9то выраженuе. 3атем во,nользуйтиьlЛ~ующей формулой, открытой 9Pe8Hимu Z?eк3МU:Lin1. ~2~ п(п(зТ/п)"+ 1) (2п + 1)16... чтобы выразить ~n через n u Т. Покажuте,что по мере mozo как n -+ 00.~-+nl..Т'3(2 Т/п) 2.Какие вывogы можно 'велать из факта , что 9товыраженuе отрицательно npu Т < О?3. И'nользуяформулу 'уммы куБОВi~4. На ,. 161 мы onu,aдu функцuю, которая неHenpepbIBHOO npu ,,~ 2 .являет'ЯnL i ' ~ ( п(п2+(T/n)~" t:;2j:..~.J..4~-4т/ n 2 Т/ n 3 Т/ n т1) ) " ,f(,,)~ I"~ 211"~2f(2) ~ 106\.я,нuте, почему вляfне 'ущитвуemверхней 'уммы на N060M uнтервале. 'ogержащем"~ 2.192Глава11ФундаментальнаяНаконец 8се схоguтся 8в 2лэвежeHиe-f3мы оБНЭl'ужuли, чmо полоnеI'ВООG\'ЭЗНЭЯlK01'0lmu n09n?e{jlmэеm кэк nЛОЩЭ9Ь УЧЭlmкэZ\'эфикомBOBleogHY точкуlK01'Olmu . ОкэзывэеmlЯ,Хвэтит.
ОGойgеМlЯТы уееl'енэ. чтоGез церемоний.цеl'емоний не нужно?}-----;9тоне lОВnЭ9ение. ИнmеZ\'элы 8СЕХХОРОШИХ функщ"! вычиlляюmlЯ чеl'езих nеI'ВООG\'эзные! Тenel'b без лишнихцеl'емоний хочу nl'e{jlmэвиmь ...ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРЕМАМАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, версияЕlлиf - функция, неn1'еl'ЫВНЭЯ нэ инmеl'вэле [а, Ь], и F - лю6эяее nе\'ВооG\'Эзнэя нэ 9том инmеl'вэле, то9mэ nО1'эзиmельнэя mеО1'емэоG'be{jиняеm nl'oиЗВО9ные l инmeZ?элэми. Онэ, поlymu, 20-ВО1'ит, чmо 9ЛЯ вычиlЛения инmeZ?ЭЛЭ нужно lНЭЧЭЛЭ нэйmиnеl'ВООG\'Эзную n09ынmеZ\'эльной функции,nomOMвычиlЛиmь9ту nеI'ВООG\'ЭЗНУЮ в обоихконцах инmеl'ВЭЛЭ и вычиmь09НО полученное знэчениеиз 91'VZ020! И 9ТО 8ct;!1931:При мер Найеемiх1Сначала найеем nе\'80о6\'ЭзНУЮf( х) ~fхdxo~ F(1) -F(o)~..1.. (1) 2 _2•хn +16(х) ~ - - 1 - nе!'800Gf а зная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
