1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 61
Текст из файла (страница 61)
х'= — у+5, у'= — х+5. 3 4 8, 4 3 4 ! 236. к' = — — . х — — -у+ - —, у' = — — х+ — у+ - — . 5 5 5' 5 5 5' Ах+ВУ+С, 2ВАх+ВУ+С Ао-)-Во ' У У Аз+Во Л (1 1) 1238. х'=у,у'= — х+ 1; ф= — - -; неподвижная точка ! —, — ]. 2' [2' 2]' ! 1239. х'= —.у, у'= — х+1 уравнение оси симметрии У= — х+--; 2' 350 [ 1242 ОТВЕТЫ И УКАЗАИИЯ 1 11 вектор переноса вдоль оси симметрии ( — —, 1, !242.
1) Поворот 2' 2)' Л Г4 3 на угол — вокруг оси с направляющим вектором à —, —, 0~, про- 2 [5' 5' ходящей через точку (3, — 4, 0); канонический вид х'*= — у*, у'ь = =х*,з' =г'1 2) поворот яа угол и вокруг оси с направляющим век- Г 3 1 тором Г=, —, 0~, проходящей через точку ( — 5, О, 1); канони. ([Г [О ' )Г [О' ческий вид х'~= — хч, у' = — у', аГЯ= а; 3) поворот на угол 291 Г ? 3 агссоз~ — — вокруг оси с направляющим вектором à —, —, ЗО) [~~ 59 ' У' 59' 1 Га = проходящей через точку (5, 1, 0); канонический вид х' )Г 59) 29 „)/59 „,„)559 „29 30 30 ' ЗО 30 = — — х" — — у", у'*= — х* — — у*, х'в=а*; 4) произведе- 2 ние поворота на угол агссоз- — и переноса вдоль осн вращения на вектор, координата которого на оси вращения равна 3 )'5; ось про- Г 1 ходит через точку (!О, О, — 2) и имеет направляющий вектор à —, ['г 5' 2 2, Рй,ь Рг5 „2 р5' , О~' каноннчесний вид х' = х* — — .уь, у' =-.
— х*+ — у*, 3 3 ' 3 3 гГч= а*+3 г'51 5) произведение симметрии относительно плоскости, Г10 2 51 проходящей через точку М= 1- —, —. —, — -) и перпендикулярной '13' 3' 3) Г 1 1 7 7 к вектору а=т=, —,, — =т, и поворота на угол агссоз— [)Г51 !' 51 [Г 51) 10 вокруг оси, проходящей через точку М с направляющим вектором а; га ? Р 51 *,ь 'г'51 „7 канонический вид х' = - — х* — — у у' = — х" -[- — у*, г'я = 10 1О 1О 10 = — а*; б) произведение симметрии относительно плоское~и 2х — 4у— — 5= 0 и переноса, определяемого вектором (О, О, 3), компланарнмм плоскости симметрии; канонический вид х'* = — к*, у'*=у*, г'*=а* +3; 7) произведение симметрии относнтельао плоскости х -[- + 2у + Зг †7 и переноса, определяемого вектором (б, 12, †), компланарным этой плоскости; канонический вид х' = — х*, у' = =у*+2 р 70, х'"=х*; 5) произведение симметрии относительно пло- 3( скости,проходящей черезточкуМ= (9, — 3, †.) и перпендинулярной 2) 2 2 !1 Л к вентору а= ( — , — , — -1, и поворота на угол -- вокруг 3' 3' 3)' 2 оси, проходящей через точку М, с направляющим вектором а; канонический вид х' = — уь, у' =-х', х' =- — г*; 9) произведение поворота на угол и вокруг оси, проходящей через точку (О, О, 14) с на- 351 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1242 1 правляющим вектором и переноса вдоль этой оси, определяемого вектором ( — 1, — 2, — 3); канонический вид х'*= — х', у'*= — у*, г' =г*+'г 14; 10) произведение симметрии относительно плоскости х+ Зу+ 15 = 0 и переноса на вектор (9, — 3, О), компланарный этой плоскости; канонический вида' = — х*, у' =у*+3)~ 10, г' =г*; 11) произведение поиорота и на угол — и переноса вдоль оси вращения на вектор, координата 2 которого на оси вращения равна — 9; ось вращения проходит через 12 2 11 точку (О, О, 9) и имеет направляюн!ий вектор ( —, —, — э; канони- ~З 3 3~' ческий вид х' = — у', у' =х*, гга=г* — 9; 12) произведение симметрии относительно плоскости, проходящей через точку М=(9, 9, 9) 2 2 3 и перпендикулярной к вектору а=~ — —., =, —, и поиоУг!7 Уг!7 ) ~17) 8 рота на угол агссоз вокруг оси с направляющим вектором а, про- 8 )'Г7 ходящей через точку М; канонический вид х' = -"х* — у*, 9 9 'У' 17 8 у'э = — х*+ — уь, г' = — гэ; 13) произведение симметрии отно- 9 9 сительно плоскости 2х — у — 5г+!5=0 и переноса, определяемого вектором (4, 3, 1), компланарным этой плоскости; канонический вид х'э= — х*, у'э=у*+)Г26, г'*=г*; 14) произведение поворота на Л г 1 ! угол-'- вокруг оси с напраиляющим вектором ! =, —, 0~, прохо- 3 4'2 рг2 дящей через начало координат, и переноса вдоль этой оси, опреде- СЗ * ляемого вектором (2, 2, 0); канонический ьид х' = — х* — — -у*, 2 2 у' = — х*+ — у", г' =г*+2)72; !5) симметрия относительно плоскости 5х+2у+г+30=0; канонический вид х'*= — х*,у'~=у', гга =г*; !6) произведение симметрии относительно плоскости, проходящей через точку М = †( — 1, — 1, 0) и перпендикулярной к вектору ! ! а=( — —, — — —.
О, )'2 'г 2' / 2п и поворота на угол — — вокруг оси, проходящей через точку М с 3 ОтВеты и кклзлния ! !243 направляющим всктором а; канонический внд р'з ..а р'3, х = " х~ у у = х у~ х = 2 2 2 ' 2 2п 17) произведение поворота на угол — и переноса вдоль оси вращения на 3 1 вектор, координата которого на оси вращения равна =; ось вращер'3' !2 1 ния проходит через точку ~ —, —, 0) и имеет направляющий вектор ~з' з' 1 1 1т — — -, .— т 1; канонический виД 'г' з' 1/з г' з) )7З...
~'З „ х' = — — х* — — --У*, У' = — — х* — --У*, а' =х + л. 18) произведение симметрии относительно плоскости, проходя- /1 ! !! щей через точку М = ! —, —, — 7! и перпендикулярной к вектору 'т 2 ' 2 ' 2 7' 11 ! 1! и — — — — и поворота на угол — вокруг оси, прохо- Ь.з р 3 р.з3 3 дящей через точку М с направляющим вентором ап канонический вид 1, к~ 3,,а )УЗ, 1 У У =' "+2У* а' 2 2 ' 2 1243.
Поворот на угол и вокруг осн с направляющим вектором (созт-, 2' зю —, О!, проходящей через точку ~0, О. — !; канонический вид ~р / с! 2 2(' к' =х', У' = — у, г' = — г . 8 9 ! 9 4 9 4 9 1 9 4 9 8 9 8 9 4 9 ! 9 1 9 8 9 4 9 4 9 4 9 7 9 1245. 1244. 7 9 4 9 1 8 4 9 9 9 3 4 1247. 1246. 8 1 4 9 9 9 1 4 4 7 9 9 4 9 1ззг 1 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1251. Тождественное преобразование х'=х, у'=у, г'=г и симметрия относительно плоскости, проходящей через три данные точки: 1 2 2 2 х' = — х — --у- — г+ —, 3 3 3 3' 2 1 2 2 у'= — 3 х+ — у — — г+ —, 3 3 3' 2 2 1 2 г' = — — - х — — у+ — г+ —, 3 3 3 3' 1252.
1) Изометрическое преобразование, сохраняющее ориеита2п цию: х'=г+1, у'=х, г'=у — произведение поворота на угол 3 Г! 1 11 вокруг оси с направляющим вектором г=, — —, — -), проходящей Ь'З' Р 3' Р'3)' /2 1 через точку ! -., †, О~, и переноса вдоль этой оси на вектор ~3 3 1 с координатой = ; каноническая запись преобразования 'У' 3 1 „ У'3 х' = — — х* — --- у*, 2 2 Р'3 , 1 у' = — х* — — -у*, 2 2 1 = г'+ — --: Р'3 21 преобразование, меняющее ориентацию: х'= — г+1, у'=х, г'=- н =у — произведение поворота на угол — вокруг оси с направляющим 3 (! ! 11 вектором ! —.-., — —.—;., —,-), пРоходящей через неподвижную точку '1Р'З' Р'З' 1'3)' !2 П. С.
Моленоа, А. С. Пархоменко 4 1 8 1248. х' =- — х+- -у+- -г — 14, 1249 9 9 9 7 4 4 у = — х+ — -у — — г — 2, 9 9 9 4 8 1 г' = — -" х+ — у+--г+5. 9 9 9 2 2 1 1250. х' = — х+ — у+ — г+1, 3 3 3 11 1О 2 у' = — — х+ — у+ — г+2, 15 15 15 2 5 14 г' = -- х+ — у — — г+ 3. 15 15 15 И 2 1О х = 1бх+'!5У+ !ба+2, 2 !4 5 у' = -х+ — у — — г+4, 15 15 15 2 1 2 г' =- х — — у — — г+6. 3 3 3 354 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 12зз (-, -. —.-! 1 2' 2' 2]' — х-], и симметрии относительно плоскости х — у+г — — =0; 2 канонический вид преобразования ж ! КЗ х' = —, х" — — у", =2 2 ь 1 3 ! у' = — х*+ — у", 2 2 1253.
10 25 27 2 27 23 10 27 27 !О 2 27 27 10 25 27 27 1254. а'=а с~в ~у+ [е, а1мп ~р. Если а= (х, у, г», а'= (х', у'„ г'», е= (а,(), у», то х'=хсса х+фа — уу) яп гр, у'=усов ~у+(ух — аг) зщ ~р, г'=г соз ~р+(ау — ]3х) зсл ~р. 1255. г' = г сов ~у+ [е, г» яп ~р +е (е, г) (1 — ам ~р), где г = 0М— радиус-вектор произвольной точки пространства, г'=0М' †радиус- вектор ее образа. Если г= (х, у, г), г'= [х'. у', г'», е= (а, О, Т).
то х = [счмр+аз(1 — совф]х+[ — уз1п~р+ар(1 — соз<рЦу+[[) з!Пф+ -]- ау (1 — соз <рЦ г, у' = [у мп <р+ аб(! — соз <р)1х+[соз(у+[Р(!— — ссе ~рЦ у -'; — [ — а з!п ~р+ [)у (1 — соз ~рЦ г, г' = [ — [! мп (у+ау (!в — созфЦ в+[а 3!и ~у+[)у(1-соз рЦ У+(осетр+уз(! — созф)1 г. ох, оу 1256. х'= +, у' = + ох' оу' х' +у' х' +у' 1257. Окружность с(хз-1-уз)+2аох+2Ьоу+оз=О, если данная окружность не проходит через начало координат; прямая 2ах+2Ьу+ + о =О, если данная окружность проходит через начало координат.
ао Ьо! ! о 1259. 1) Центр ( — —, — — »; радиус г'=~ — ~ 1' пз+Ь' — с. с ' с»' ~ с 1260. Окружность С (хв-1-у') + А ох+ Воу = О, проходящая через начало координат, если данная прямая ие проходит через начало координат; сама прямая Ах+Ву=О, если данная прямая проходит через начало координат. 1263. Пусть М вЂ точ пересечения двух окружностей Сг и Сз, а М' †обр этой точки при инверсии (О, о). Рассмотрим две окружности Кт и Км каждая из которых проходит через точки М и М', причем окружность К, касаетря окружности С, в точке М, а окружность К, касается окружности Сз в той же точке ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ !2а! ! М.
При инверсии (О, о) окружности К, и Кз инвариантны, а окружности С, и Сз перейдут в окружности С; н С„', проходящие через точку М' и касающиеся в этой точке М' соответственно окружностей К„(= К,') и Кг (= К„'). 1264. 1) !( = .; 2) а= (а, Ь). 2 г/а~+Ьз 1265. 4(Ф+Ьг)=)а). 1266. ) 4'В'(=)о) 1267. Упа†)ЛВ) )ОА | ) ОВ)' запив. Примем полюс О за начало координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
