1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 56
Текст из файла (страница 56)
754. Зху — 2х— — 2у=О. 755. Окружность и равносторонняя гипербола, описанные около прямоугольника, если стороны прямоугольника не равны между собой. У к а з а н и е. Принять за оси координат прямые, соединяющие середины противоположных сторон прямоугольника. 756. Окружность. 757. Равносторонняя гипербола, проходящая через точки Р и т) с центром в середине отрезка Р0, одна из асимптот которой параллельна прямой 2(. 759.
1) Рт=-(0, — 4), 2(2! у= — 5; Рз= (О, 4), 2! ! у =- 5; 2) Р = (О, — 6), 2(2! у = — ; Рз = (О, 6), 2 3' 11* 324 ОТВЕТЫ И УКАЗЛИИЯ ! тао г(аг у= ' 3) Г=~О, — ), йгу= — -. 760, р=~ — 2, =), у=- 2 l 11 1 / 11 !7 761. Г= О, —.~, 4:у= — —, 762. гг=(а, а), 5: х+у — а=О; 1 ' 4а)' ' 4а' ха та ха уг та=( — а, — а), г(а: х+у+а=О; 763.
—. -+ — -=1, — — — - =1. 196 147 ' 1 48 ха уа 764. + — =1. Второй фокус ( — 2, 0), вторая директриса х= — 8. !б !2 765. Зла †' — Збх+96=0. Второй фокус (1О, 0), вторая директриса 2Ьа 2Ьа х= 7. 766. уа-1- 8х — 32=0. 767. !) - †; 2) †; 3) 2р. 768. — га, а ' а ' 4 г5 — ! где е — эксцентриситет линии. 769. У 2. 771.
е= —. 772. а=в 5' 2 773. е=! — =. 774. е'= —. 775. — — — =1. 776. — + — =1. ха уа ха уа )' 3 е 9 3 4аа 2а' 777. у'= — 2р'1х — — ). 778. у= — ха+ —. 779. П а. 2) Ь. , l р+р! 3 2 2 )' ' 4 3' ха уа у' хг 781. Два решения: .— .-=-1; . — — =1. 782. Два решения: 20 5 ' 20 80 ( — 1) у ( — 1)а уа ( 3)а уа — — — = 1; — — — — = 1. 783. — — = 1. 784. Два 4 12 ' 13 156 ' 20 5 (х — 3)а уа (х — 4)а у' решения: — + — = 1; — + — =!. 785.
Два решения: 9 8 ' 1б !2 (х+1)' — (у — 1)'=2; (у+!)' — (х — 1)'=2. 786. Два решения: ! 1 (х — 1) (У+!) = -; (х — !) (у — 1) = — . 787. Зкг+2ху+Зуа — 4к— 2' — 4у=О. 788. 8ху — 4х — 4у+З=О. 789. Половина хорды кривой, проходящей через ее фокус и перпендикулярной к фокальной осн.
Указание. Приняв за начало координат вершину кривой, а за ось абсцисс — ее фокальную осгь предстанить уравненне кривой в виде уа=2рх+дха. 790. Парабола. 79!. Две параболы с общим фокусом в центре данной окружности и директрисами, параллельными данной прямой. В случае внешнего касания постоянной и переменной окружности параметр параболы равен а +г. В случае внутреннего касания параметр равен а — г, где г †ради окружности, а †расстояние от ее центра до данной прямои. Ук а ванне. Найти дирек- ('-2)' у трнсу кривой. 792. Эллипс — + .= — 1 и все точки оси Ох. 25 9 У к а з а н н е. Воспользоваться фональным свойством линии второго хг у' порядка.
793. Эллипс + - -= 1. 794. Окружности с центрами вфону- 25 9 сах гиперболы. 795. Открытый отрезок касательвой в вершине рассматриваемой ветви гиперболы, заключенный между ее асимптотами. 796. 4ха+ 25 х' уа +бху — 4уа — 2бх+!Зу — 39=0.797. р= . 798. — — - =1. 12 — 13 соз гр' ' 15 9 4 799. р= —. 800. у'=-12х.
801. 3. Указание. Воспользоваться ! — осе гг ' полярным уравнением параболы. 802. Парабола, получающаяся изданной 325 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ает 1 параболы переносом на вектор, идущий нз вершины данной параболы в ее фокус. У к а з а н и е. Воспользоваться полярным уравнением параболы. 803. У к а з а н и е. Воспользоваться уравнением линии второго порядка в полярнык координатах, принимая за полюс фонус линии. 804. Ветвь гиперболыспараметромр=) АВ ( и эксцентриситетом е=2, фокальной осью которой является прямая АВ, а фокусом, лежащим внутри этой ветви, точка А.
У к а з а н и е. Ввести полярные координаты и воспользоватьсяя полярным уравнением линни второго порядка. 805. 1) Эллипс; боль. шая полуось равна 4, малая полуось равна 3, центр (3, — 2), направляющий вектор большой оси (1, 0); 2) гипербола; действительная полуось равна 1, мнимая полуось равна 2, центр (2, — 3), направляющий вектор действительной оси ( 1, 0); 3) парабола; параметр равен 2, вершина (- 2 —, 1), направляющий вектор оси в сторону вогнутости (1, О); 4) млипс; большая полуось равна 5, малая полуось равна 3, центр (2, — 3), направляющий вектор большой оси (О, !); 5) гипербола; действительная полуось равна 4, мнимая полуось равна 2, центр (2, 3), направляющий вектор действительной оси (О, !); 6) парабола; 8 Г 3! параметр равен —, вершина ( — 2Г -), направляющий вектор оси 3' 2)' в сторону вогнутости (О, — 1); 7) пересекающиеся прямые Зх+2у+ + 10=0, Зх — 2у+2=0; 8) параллельные прямые х=2, х= — 3; аз 9) парабола с параметром р= —, вершина (О, Ь), направляющий вен- 2Ь' тор оси в сторону вогнутости (О, — 1); !0) гипербола, действительная полуось равна а, мнимая полуось равна Ь, центр (а, Ь), направляющий вектор действительной оси (1, 0); 11) эллипс; полуоси аУ2, Ь ) 2; центр ( — а, — Ь), оси параллельны осям координат.
806. При 1 з ).з.! 1 — со< Л< — 1 — гипербола (х — Л)з+Л(у —. -1 =, действи- Л) Л тельная ось которой параллельна оси Ох; при Л.= — 1 — дее пересекающиеся прямые х — у=О, х+у+2=0; при — 1<Л<0 — гипер! 1з )з+1 бала (х — Л)э+Л (у — — -) =, действительная ось которой парал- Л) = лельна осн Оу; при ) =0 — парабола хз=2у; при Л)0 — эллипс 11з Лз 1 (х — Л)з+Л(у — — ) = — (при Л=1 — окружность (х — !)з+ Л)= +(у — !)з=2). 807.
!) Эллипс — + — =1, О'=(2, 3), е'= у х' у' = à —, — — —.), ез'=Г(--=, —, ) (рис. 31); 2) гипербола — — — = (У5 У5) (У5 ) 5) 4 9 (~ !з' У(з)' ' ). У!з* У'!3) 3) парабола у' = — =-х', О'=(3, 2), е,'= — — —, — —., е,' = У5 ( )'5' У5)' Г1 2Ъ вЂ” — — — (рис. 33); 4) пересекающиеся прямые х — у — 1=О, (У5 У5) 1 807 ОтВеты и указаыия х — 4у-(-2=0; 5) параллельные прямые 2х — Зу+1=0, 2х — Зу — 2 =- =.- О; 6) эллипс — + — =1, О'=~ — —, — -~, а,'= 5 г' (у/5 КГ5) Рис. 31. Рис.
32. Рис. 33. а,',=.( —, - ); 7) гиперболе — — -=1, 0'=(2, — 1), е'= 2 х' у' Р ог))' 1 м = — ), е,.'=-1 — —,, —,1; 6) парабола у' =-4) Ёх', 4'1О' Р'1О~' ' (( !'1О' У'!О~' 0' =-(2, 1), а,'.=~-=-, --=-), а.,'=-( — — =, — 1; 9) пересеиающиеся пря- ОТННТЫ И УКАЗАНИЯ 1 ззо .о 5 = О. 834. ! Ь ! ) †.
835. у = йх+ - †. 836. х+у+ — = О. 837. ут = 2Й' ' 2 Р 4 = — -- х. 838. -л- Зх ч. 4у+ 15 = О. 839. уох+ хоу = 2С. 840. 2' 841. У к а з а н и е. Принять за оси координат асимптоты гиперболы. хз уз хо уо 842. з= аЬ. 843. — — — = !. 844. — — уз= 1 845 1) 0 ~ -о — — о ( !' 8 4 ' ' 4 ' ' ао Ьз 2) прн выполнении одного из двух условий: 2') — — — =О,хоуо ~0; Хо уо аз Ьо 2') — — — = 1; 3) при выполнении одного из условий: 3') — — — ) 1; хо уо хо уо аз Ьз аз Ьз — — о=О. 848.
1) аоА'+ЬоВ'=Сэ; 2) а'Ао — Ь'В'=Се; 3) РВ'=2АС; а хз уз 4) 4АВЬ=Со. 849. — + — =1. 850. аоАз+ЬзВо) Со, атАл+ЬлВл =- ' 17 = С', а'А'+Ь'Во < Се. 851. к+ у + 3=0. 852. х+ 2у-)-4=0. 853. !) Окружность хо+уз = аз+ Ьо; 2) при а) Ь вЂ” окружность хо+уз = = ат — Ь', за исключением четырех точек ее пересечения с асимптотами гиперболы; при а=Ь вЂ” пустое множество; при а(Ь вЂ” мнимая окружность; 3) прямая х= —,- — — директриса параболы. 854.
х'+уз= Р '2 = а'+Ьо. 855. Точки осей симметрии, лежащие вне кривой. 857. х -л-л- у -о- 3=0. 858. 4хо — !2ху+9уз — 24х — Збу+ 36 =0. 859. х" — 4ху— — бх+9=0. 860. 2х' — ху — к+у+5=0. А В С =О. 0 и гипербола, касающиеся боковых сторон тре 86!. ал, аш а, ам ам аэ а, ао а А В С 862. Окружность угольника в концах его основания. 866. Если кривая — эллипс, то окружность с центром в другом его фокусе и радиусом, равнылл большой оси эллипса; если кривая — гипербола, то окружность с центром в другом фонусе и радиусом, равным действительной оси; если кривая — парабола, то ее директриса. У к а з а н н е.
Пусть Рл и Рз †фоку эллипса, Мо †точ эллипса, а Р.„' †точ, симметричная фокусу Рз относительно касательной к эллипсу точке Мо, Тогда точки Р,', М„и Рл лслкат на одной прямой. 867. Если кривая — эллипс, то окружность, построенная на его большой оси как на диаметре; если кривая — гипербола, то окружность, построенная на ее действительной осв как на диаметре; если кривая †парабола, то касательная в ее вершине. 870. Четыре точки: У к а з а н и е. Воспользоваться параметрическими уравнениями эллипса, 871.
Пусть Р, и Р,— проекции фокуса Г на касательные 1, и )о к параболе в точках М, и М,; точки Р, и Рз лежат на каса- 329 Ответы и уклзлния аз! 1 тельной к параболе в ее вершине; так как Х. ЕР,М= Х, ЕР,М= —, то точки Е, Р„Р„М лежат на одной окружности (с диаметром ЕМ). Значит, ~ Р,Р,Е= а Р,МЕ (как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Обозначая через а и р острые углы, образованные касательными к параболе в точках М, и М» с ее осью ЕА (а( р), имеем д М»ЕА =2(), ~ М»ЕА =2а, поэтому ~ М,ЕМ«=2() — 2а, а из треугольника ММ,Е имеем ~ ММ,Е=п — (), следовательно, ~ М,ЕМ»= =- (! — а. 872.
1) Окружность С, построенная на большей оси эллийса как на диаметре; 2) множество внутренних точек окружности С; 3) множество точек, внешних по отношению к окружности С. 873. !) Окружность С, построенная на действительной оси гиперболы как на диаметре; 2) множестно точек, внешних по отношению к окружности С; 3) множество внутренних точек окружности С. 874. 1) Касательная к параболе в ее вершине; 2) открытая полуплоскостгч определяемая касательной в вершине параболы, в которой расположена парабола; 3) открытая полуплоскост»ч определяемая касательной в вершине параболы, не содержащая точек параболы.
876. 1) Зх+4у+14=0, 1 Ь» Ь» х+у — 3=0; 2! х=З, у= — — х+1. 876. 1) Ьгяз= — —; 2)ягйз — —, 3 ' а»' » з а»' 1 1 3 3) ят+й»=0. 877. у= — х. 878. у= — х, у= — х. 879. 32х+25у— 2 ' 2 — 89=0. 880. х=2, х+4у — 14=0. 881. Общий диаметр: Зх+у— — 7 =0; угловые коэффициенты хорд первой и второй кривой, сопряженных этому диаметру: йт = 1, йэ= †. 882. у=Зх, у=2х.
883. х — 2у — 1 =О, х (- 2у+7=0, х — 2у-(- 1 =-О. 884. Диаметры, соединяющие точки касания противоположных сторон описанного параллелограмма, будут сопряженными диаметрами только в том случае, когда кривая является эллипсом и по крайней мере одна из точек касания является серединой стороны параллелограмма (в этом случае точки касаныя всех сторон параллелограмма являются их серединами). Диагонали параллелограмма, вписанного в эллипс, будут сопряженными диаметрами, когда отношение сторон параллелогрчмма к параллельным им диаметрам одно и то'же для обеих сторон; диагонали параллелограмма, «вписанного в гиперболу», будут сопряженными диаметрами, если отношение стороны параллелограмма к параллельному ей диаметру, пересекающему гиперболу, равно от.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
