1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 59
Текст из файла (страница 59)
2 4 3 11 14, г! 1 ! !р'2' ' )У2)' " '!)УЗ' )УЗ' р'3)' —, —, — — ). 1047. 1) 14 ) О, 1»14 ) О, У~.с.О; 2) 14) О, 1 2 1 'г' б У'6 )У 6) 1»14 ) О, 14 > 0; 3) 14 > О, 1,1з > О, 14 = 0; 4) 14 ( 0 или 1»14 ( 0 и 1„) О; 5) 1,(0 или 1»14~0 и 1»сО; 6) 14(0 или 1»1~(0, 14=0; 7) 1,=0, 1,(0; 8) 14=0, 14)0, Указание. Воспользоватьси правилом знаков Декарта о числе положительных корней алгебраического уравнении. 1049.
1) 14=14 —— .О, 14 ) О, 1»144 (0; 2) 14=14=0, 14)0, 1»1» ) 0; 3) 14=-14=У» =О, 1,) 0; 4) У,=-. 9) 14=14=14=1*,=14=0. 1051. 1) 2х+у=О, у-1-2г — 2=0; 2) х— — 2у+Зг-)-2=0, х — 2у+Зг — 3=0; 3) к+2у+Зг+4=0, Зх— — 2у+г — 6 0; 4) 2х — Зу+г+1-».1'6=0, 1052. 1) Эллипсоид; 2) однополостный гиперболоид; 3) двуполостный гиперболоид; 4) конус; 5) эллиптический параболоид; 6) гиперболический параболоид; 7) эллиптический цилиндр; 8) гиперболический цилиндр; 9) параболический цилиндр; 10) гиперболический пзраболоид; 1!) однополостЗп Л Л ный гиперболоид. 1053. »р=- —, 44=))= —, у= —. 1054. 1 =О, 4' 3' 4' 14~0 У'=4!4' р= — 1055 1»=14=0 14= 0' р=д= Р 14, » 14 1056.
1) 14 — — — 1"",, Уз-— — — 1'„14 ~ 0; 2) ха+уз — гх = — 4, 1057. Все 14»з' » соответствующие коэффициенты их уравнений, кроме, может быть, ! свободных членов, пропоршюнальиы. 1058. 1) !1, 1, 1); 2) — — -( 2 <о(!. 1060. Два конуса: 2хз — 4ху+41+ р'5)ге=О; оси вращения (1 ес г5) к — 2у=О, г=О. !061. У каза иве.
Принять за начало координат вершину конуса, за ось Ог — его образующую и рассмотреть линию пересечения конуса с плоскостью Оху. 340 ОТВЕТЫ И УКАЭАНИЯ [ дааз быть заключено между 0 н —. /4 )з 1062. Число Р(хз, у„, гз) должно ад, а,з ад адд а:з аз а, а а 74 =азз йдд уж кда 821 нзд 523 азд уая км эта функция не меняется при преобразовании вида «=х'+ха, у= =у'+уз, г=г'+га. 107!. П "" + М + '-'-' = 1 2) " " 1. "'" аз Ьз сУ ' ад Ьз сз 3) — + — . — —,— = — 1; 4) — - + — -=г+га( х х узу гзг х,х узу аз Ьз сд ' р О хох у,йд хзх уду гзг 5) — — — = г+ гз! 6) — + — — — = О.
р 4 ' ад Ьз сз 10?2. а, = а, = а=О, а, Ф О. 1073. У к а з а н н е. Принять точку 0 касания зч начало координат, а касательную плоскость в точке 0— за плоскость Оху. 1075. Зх+4у — 24=0, Зх — 28у — 120=0. 1076. Два решения: г=2, х+2у=8. 1077. Два решения: 2х — у — 2г — 8=0, !4х — Зу — бг — 144=0. 1078. 4х — 5у — 2г-1-2=0. 1079. Два решения: х -1- 2у - 2 = О, х -1- 2у = О.
1080. — + — -д- — = ! . 1081. Два решег) 3 а Ь с 1063. 1,5(х,у„,г)(О. 1064. уз+гд+ — ху — 2рх — 2гу=О. Укар Г з а н ив. Для конической поверхяости 74=0. ,дд+ Ьз 1065. х'+уз+ гз+ «у — 2ах — 2Ьу = О. аЬ 2ху 2уг 2гх 1066. 1) †, + — + †„ = 1. 2) Двуполоствый гиперболоид. сз ад ба 3) Каноническое уравнение при а=Ь=с=!д х'з+у'з — 2г'д= — 1.
1067. 1) Эллиптический цилиндр ха+уз+г'+2ху — 24х — 2гу= О. 2) 2х'э+г'д=гд. 1068. гз+Зхг — уг+бх+2у — 4=0 н гз — 2ху+ + 2хг — уг-1-4х+ 2у — 4 = О. 1069. Сфера. 1070. У к а з а н и е. 1) Для доказательства инварнантностн ?з и /4 воспользоваться формулой, дающей преобразование определителя квадратичной формы при линейном преобразовании переменных. Для доказательства инвариантности ?з и /д РассмотРеть фУнкцню ф = аддхз+ адзУз+ аззгз+ 2адзУг + + 2аз, гх+ да,зху — ) (йддхз+джуд+джаз+ 2удзуг+ аздак+ 2ддзху) и использовать для этой квадратичной формы ф уже доказанную инварнантность /з при линейном преобразовании переменных.
2) РассмотРеть фУнкцию 4Р = ад,ха+ а.,зУз+ аз,г'-1- 2амУг+2аз,гх+ 2а,дхУ -1- + 2а,х+2а,У-(-2а г+а — "А(дддгд+адзУз+ Ужгз+ 25мУг+ 2йздгх+ + 2ддзхУ) и использовать ннваРиантность 74. 3) Если ?а= 74 =О, то существует система координат, относительно которой уравнение поверхности не содержит г. В такой системе координат 341 О1ВЕты И УКАЗАНИЯ ! газ) ах А в аз С а Р Р О 1099. ам азз азз ам а„азз а з аю азз а„ аз аз А В С 110!. !) о'А*+ЬзВ'+с'С' > Р' 2) а'А'+ЬзВз — сзР ~ — Рз; 3) РАз+УВз ) 2СР. 1102. 1) азАз+ЬаВз+сзбз=Рз. 2) азАз+ЬзВз— — сзСа = Р'! 3) а'А'+ЬзВз — сзСз = — Р'! 4) РА'-(- УВз= 2СР; 5) РАз— — дВз= 2СР.
1104. Зхз — 4ху+ го+ 2г — 3 — — О; однополостный гиперболоид — — + — + — =!. 1105. (2, 3, 4). 1106. х — У=О, (2, 3, О). 1 4 !107. 4х+Зу — !2=0, (16, 27, 6). 1108. х=а. 1109. Зх+2у — г — 25=0. 1115. 1) а,зг'+2а,зху+2азг=О, азу~О, ага~О, аз~О. Указаниее. Из условия принадлежности осей Ох, Оу поверхности следует, что аы=-а,=аз=ага —— а=О; так как диаметр Ог сопряжен с плоскостью Оту, то а,о=ам=О. 1119.
г=ху. 1120. г'=ху. !121. ам«а+ануа+ -(- а„га+2аз«=О. 1122. аых'+а,у'+а,зг'=О. 1123. хо+у'+г'=1. ния;1)-"-+ У вЂ” =1; х=а, -У- = —; У=Ь, — = —; 2) — +у+ а Ь с ' ' Ь с' ' а с' а г у г х г х у + — =1; х=а, — = — —; У=Ь, = — —. 1082. --+--— с ' ' Ь с! ' а с' ' р д ! 1 1 '( х — 4 у+24 г+32 ! 2 8 2( — -- — + — ~ г=1. 1083. 2«+Зу — г+32=0; — = х — 4 у+24 г+32 — ! 2 4 — — 1084. Точки (1, 1, 1), ( — 1,— 1,— 1), угол Л и равен —.
1085. Точка пересечения ( — 1, — 1, О), угол равен —. 3' 2' 83 « †у — 3 г — 4 х у+2 г †! 1086. сов ор.= —. 1087. — = — = —. 1089.- 1 — 1 О х+1 у+1 г — 1 «+48 у+36 г — = — = —. 1090. = = —. 1091. У к а з а- 1 — 1 ! " 4 — 3 — 24 ние. Данная плоскость пересекает параболоид по двум прямым. !093. !) «ога Уо Уаго — хо ас Ь Ьс а ха У( хо Уо — + — — + —. аз ЬУ аз Ьа а Ь 2) т(~ — у, ~ — ха, с).
Ь а !094. гУР, ( У, — — — Р'Р )/Уо )Р 1'Ч 1'Р !У . 1095. Гипербола, получающаяся при пересечении параболонда Ч Р х у плоскостью г= —, когда р ~ д; пара прямых †.о — =О, г= 2 ) р Ьу = О, когда р=у. 1096. У к а з а н н е. Принять за ось Ог системы координат образующую линейчатой поверхности.
1098. 4х'+уз — го = 1. 342 ОТВГТЫ И УКАЗАНИЯ !!124 аш А, а22 В, аа, С, с, о 1124. аы а12 а21- а22 ам ав, А, В, 1125. ама'-)- а22()2-1- аюут+ 2амйу+ 2авгуа+ 2атзар 1р= агссоз )Г(а,та+а,25+аму) +(она+ам))+а,д)2+(аата+азтр+аазу)2 1129. -- -1- — О. 1130. Две параллельные прямые: 2 Ь с 4х — Зу+1=О, ) 4х — Зу — 1=0, ) Зх+4у — 52=0; ) Зх-1-4у — 55=0. ) ПЗ!.
х у — — — +в=о, !'р уч — .+ У 1) 0+ 22 = О. (х у) 1'ч/ 1132. По гиперболе. 1133. По двум параллельным прямым. У аз+ох 1134. 1(е =.. 1135. су 1- Ьг=О, где с=)'ав — Ь2. а 1136. !) Если а)Ь, то Ьх.е )'аз — Ьзу=О; полуоси равны а; если а ~5, то таких плоскостей нет.
Указа и не. Повернуть систему координат вокруг оси Ох. 2) Если а(Ь, то ах 1 )~ Ье — аех=-0; полуоси гиперболы равны Ь; если а)Ь, то таких плоскостей нет. 1137. 1) Если р ) д, то у р р — Г) -1- 2 91! =0; полуоси гипербол равны )' рд; если р(д, то таких плоскостей нет. 2) Если р Г), то х у 4 — р Гй х у р =0; полуоси гипербол равны )2'ру; если р - 4, то 1 таких плоскостей пег. 1133. !) Парабола, параметр р= —, вершина 'УГ 2 (- д ! 14 —, О, -. ), вектор оси параболы, направленный в егорову вогну- Г 1 1 ! 2 ! тости, à —,, О, =). 2) Эллипс с полуосями — и =, центр ()'2 г 2) 3 У5' ( 6 2 — =, О, — =1, направляющий вектор большей оси (О, 1, О), па- У'5 ' ' 3 Р'5,/' Г 1 1 правляющий вектор меньшей оси ( —, О, — — 1.
3) Парабола, 4'2 ф 2) 1 параметр.р= —., вершина (О, О, 0), вектор оси параболы, направГ 1 ! ленный в сюрону вогнутости, à —, О, —,) Указа ние. Повер- ''() 2' ' Р/2) нуть систему координат вокруг оси Оу на угол †. 1139. Парабола 343 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ !!47 1 1 ! (,8' 2' 8)' '()72' ' р'2)' =( 1 2 1 — — — — Указание. Ввести в данной плоскости )76 !' 6 )76) прямоугольную систему координат с началом в точке (О, О, 1) и бази- 1 ! ! Г! ! 21 сом ( — =, —, О, —, —, — =т, написать параметриче- )/2 )7'2 ) (~ 6 )7 6 )7б) окне уравнения данной плоскости, подставить выражения для х, у, г через и и о в уравнение цилиндра у»= 2х н исследовать полученное ,а 4$ 2,, Г 8 6 2! уравнение. 1140.
Парабола у' = — х', 0'=~ —.--,, — ~, е'= 5 ' ~ 25' 25' 57'' Г 4 3 11, 13 4 —, — —, =, е»'=) —, -.-, 0~. Указан не. Цвести (5)72 51/2 рг2) ' !5 ' 5' в данной плоскости прямоугольную систему координат с началом ! 1 2 2 4 Г 16 13 1 в точке ( — 1, О, 0) и базисом 4--, —. -,- 3 3 3 15 !' 2 15 1 2 3 )l 2) написать параметрические уравнения данной плоскости, подставить выражения для к, у, г через и, о в уравнение конуса н исследовать полученное уравнение. 1141. Гипербола †- — — = 1, 0' = 6 54 ' (7* 7' 7 49 13' 13' 26)' ! 13' 13' 26). 1143' й( — — -.' У казан и е. Рассмотреть проекцию линии пересеченнв конуса н плоскости пучка на плоскость Оуг.
1144. Две плоскости; х — у+( — 2 4- )' 7) 74 »Г (2х — г)=0. У' казан не. Рассмотреть пучок плоскостей к — р-(- -1- й (2х — г) =. О, проходящих через данную прямую. Ввести в плоскости пучка прямоугольную систему координат с базисом й — 2 — 50 — 2 2й-(-2 ! 6 )К5й»+4А+2 ' )'6)'бй»+4й+2 ' )76 рбя»+4д+2)' затем записать параметрические уравнения плоскости пучка, подставить полученные выражения х, у, г через и н о в уравнение паработонда и воспользоваться условием /»=О.
1145. 1) Эллипс; мнимый эллипс; точка (пара мнимых пересекающихся прямых); парабола; 2) гипербола. 1147. 1) Эллипс, мнимый эллипс, точка (пара мнимых пересекающихся прямых); 2) эллипс, гипербола, пара пересекающихся прямых, парабола, две параллельные прямые; 3) эллипс, мнимый эллипс, точка (пара мнимых пересекающихся прямых), гипербола, парабола, пара мнимых параллельных прямых; 4) эллипс, гипербола, парабола, пара пересекающихся прямых, прямая (адвойная»), точка (пара мнимых пересекающихся прямых); 5) эллипс, мнимый эллипс, точка 344 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ [ ! Ыа [иара мнимых пересекающихся прямых), парабола; 6) гинербола, нара пересекающихся прямых, парабола, одна прямая.
1148. !) Эллипс, если адАд+ЬдВд+сдСд — Рд)0; точка, если адАд+ЬдВд+сдбд —,0'= — 0; мнимый эллипс, если а'А'+Ь'В'+с'Сд — 0'(О; 2) эллипс, если а'Лд-1-Ь'В' — с'Сд(0; гипербола, если аАд+ЬдВ' — сдО ) О, аАд+ + Ь'Вд — сдСд — Рд Ф 0; две пересекающиеся прямые, если адАд+ + ЬдВ' — сдбд — 0'=О, 0~0! парабола, если адА'+ЬдВд — себя=О, 0 Ф 0; две параллельные прямые, если а'Ад+Ь'Вд — сдСд=О, 0=0; 3) эллине, если а А'+ЬдВд — с Сд(0, адАд+ЬВ' — сдбэ+Рд) 0; мнимый эллипс, если а'А'+ЬдВ' — с'С!<0, адАд+Ь'Вд — с!Се+Од<0; пара мнимых пересекающихся прямых, если адАд+Ь'Вд — с!Се+Од=О, 0 ~ 0; гипербола, если а'Ад-)-ЬдВд — сдС') 0; парабола, если а!Ад-[- + ЬдВ' — сдбд=О, Р дым; пара мнимых параллельных прямых, если а'Ад-1-Ь'Вд — сдСд=О, 0=0; 4) эллипс, если адА'+Ь'Вд — сдСд(0, 0 ~ 0; гипербола, если а'Лд+ЬдВд — сдСд ) О, 0 Ф 0; парабола, если адА'-1-ЬдВд — с!бе=О, 0 Ф 0; две пересекающиеся прямые, если а'Ад-1-Ь'Вд — сдСд ) О, 0=0; прямая [ддвойнаяд), если адАд-[-ЬдВ'— — сабе=О, Р=-0; пара мнимых пересекающихся прямых, если а'Ад+ +ЬдВд — с'Сд (О, 0 Ф 0; 5) эллипс, если РА'+4Вд — 2РС ) О, С ~ 0; пара мнимых пересекающихся прямых, если рАдм уВд — 20С=О, С ~ 0; мнимый эллипс, если рАд+дВд — 20С<0, С не О; парабола, если С=О; 6) гипербола, если рАд — 4Вд — 2ОСФО, СФО; две пересекающиеся прямые, если рА' — 4Вд — 20С=О, С~ 0; парабола, если рА' — 4Вд ~ О, С = 0; одна прямая, если рАд — 4Вд= О, С=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
