1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Если полюс О лежит вне' окружности С: х'+у'+2ах+2Ьу+с=О, то с)0; если же О ох' лежит внутри окружности Сг то с(0. При инверсии х= +У оу' у = — левая часть уравнения окружности С принимает вид х' +у'2 ж ш а!т , Ьо , оз с (х'2-(-у'2)+2аох'+2Ьоу'+оз у + с + с у + с — с (х' +у' ) (х'+у')' Для точек, лежащих вне окружности С, хз+уз+2ах+2Ьу+с) 0; ж ж ао , Ьо , оз значит, х' +у' +2 — х'+2 — у'+ — ) 0 (так как с~ 0). 1270.
При с с с условии, что С пересекает окружность инверсии. 1271. У к а з а н и е. ОМ Ом'=а, == — ОМ О)у=х; перемножить почленно два ОФ х' последних соотношения и сравнить результат с первым соотношением. 1272. Ванная прямая прн инверсии (О, о) переходит в некоторую окружность С, проходящую через полюс инверсии. Та полуплоскость от данной прямой, где лежит полюс О, нереходит в множество всех точек, лежащих вне окружности С; точки другой полуплоскости отображаются во внутренние точки окружности С. 1273.
Общая часть ! !2 ! / ! !2 ! внутренних точек окружностей (х — 2 ! +уз = —, хз+(у — ф =--. 1274. Область, состоящая из точек, лежащих вйе окружности (х — 1)2+у'= 1, но внутри окружности (х — 2)'+уз =4 (серп). 1276. р' = = — (1 — е сов!р) — улитка Паскаля в случае эллипса и гиперболы; Р кардиоида р'= — (! — созгр) в случае параболы, !277. 1) Парабола Р уз=.с; 2) множество всех внешних точек этой параболы. 1260. х'=, у'= ох , оу , ог г' = —; хз-(-уз-)-г" у Н+уз+ гз ' хз-)-уз-1- гг ' 1281. Сфера о (хз+уз+ 22) + 2аох+ 2Ьоу+ 2сог+ из = О, если данная сфера 5 не проходит через полюс инверсии (!(ФО). !2" 1 1262 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ !290. х1.'хз=х. 1291.
х,:хз=1:х. 1292. 1) 1: — 1; 2) 1: — Л. У казан не. В пучке прямых, реализующих проективную прямую, единичная прямая (1: 1) должна быть параллельна проективно-аф финкой прямой. 1293. 1) ам хз! х, аы хз азз Лх,' = Ь, Ь а, Ь ( азт Ьз ( 2) Лхт = аттр,х(+ атт(ьх.,', Лхз = амртх', + азнхзх,', где р, и ог определяются нз системы уравнений амрт+агзрз=Ьь )( амр,+а..р„.,=-Ь . ) 1294. ПЛ„= ~, Лх= Ь вЂ” а,' ' Ь вЂ” ад Если данная сфера проходит через начало координат, то В' †плоскость 2ах-+2Ьу)(-2сг+а=й.
1282. Сфера г)(х'+уз+г')+Аох+ + Вау+Саг=О, проходящая через начало координат, если данная плоскость ве проходит через начало координат; сама плоскость Ах+ Ву+Сг = О, если данная плоскость проходит через начало координат. 1284.
У к а з а н и е. Рассмотреть две сферы, пересекаю- !1 1 ! 1 щиеся по данной окружности. 1285. Центр ~ —, —, 1, радиус =.. (2' 2' )' ) 2 1287. У к а ванне. Принять за начало координат точку О, а зз единицу масштаба — диаметр сферы 5. Тогда уравнения окружности Л будут х'+у'+г' — г=О, х,я+учу+(ге — — ~ г — — =О, где (хз уз. г„) — вершина конуса. Произвести инверсию (О, 1). !288.
У к а з ан и е. При инверсии сохраняется касание окружностей и углы между пересекающимися окружностями. 1289. Указание. Ввести прямоугольную систему координат, принимая за начало координат точну О, за базисный вектор оси Ог †вект ОР, а за направление оси Оу— направление диаметра АВ. Тогда уравнение сферы 3 будет х'+уз + +г' — г=О; уравнения плоскостей, содержащих окружности семей- 1 ства Сы будут у=Л, где (Л ~( — -, а уравнения плоскостей, содержащих окружности семейства С„, будутрх+2г=1 (р принимает все действительные значения).
Йалее воспользоваться инверсией (О, 1). Уравнения семеиств СА и С„' будут ха+уз — 2Лх+! =О, 1 (Сх) хз-)-уз — 2рх — 1=0, 1 (С;) ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1313 1 2) х= 414 ' 41~~, где р, и рэ определяются из системы Р,Х1+ Отлз уравнений а,рт+ атрз = Ь Рт+Рэ= 1. У к а з а н и е. Перейти к однородным координатам результатом предыдущей задачи. 1295. (АВСО) = 1296. Указание. Если принять точку О эа системы координат Оху, то и воспользоваться ха — х, х4 — х, Хэ Хэ ХЭ Х4 начало 'аффинной а, аз~ ат аа ст сэ (АВСО) = и'т 414 ~ с„ с, Ь, Ь, где А=(ат, а ), В=(ь,.
ьэ), с=(ст, сэ), О=(4(т, бэ)! координаты точек А', В', С', О' пропорциональны координатам точек А, В, С, О. Пт ПЭ Ст СЭ а, аэ 4!4 1292. (АВСО) = 414 Ь Ь Ст СЭ Ь, Ь, р,от+ рэЬ,=с,, ( р,,+р,ь,=,. ) 1308. Лх(=хэ, Лх.,'=хт. 1309. !) (1: — !) и (1: 2); 2) (1; 0); 3) инвариантных ' точек нет. 1310. 1) (аы — ам)э+4а,эаэт(0; 2) (ап — пээ)э+4атэлэд ) 0; 3) (ап — аээ)" +4атэазт — — О; 4) атт —— пм ~ О, =о. !ЗП. 2) !а а, '4 ~ ( О. 1312. 1) Параболическое преобразование; ~лзг ОЫ 2) тождественное преобразование; 3) гиперболическое преобразование, сохраняющее ориентацию; 4) гиперболическое преобразование, менюо- щее ориентацию; 5) эллиптическое преобразование.
1313. 1) (1: — 1); 2) (1: 1) и (1: — 1); 3) (1: — (1+5~2)) и (1; ()' 2 — 1)); 4) инва. !298. х,: хэ. 1299. х,: х,. 1300. Прямая, проходящая через точку А параллельно ВС. 1301. Биссектриса смежного угла. 1302. Прямая, соединяющая вершину О прямого угла с серединой отрезка гипотенузы, отсекаемого на ней биссектрисами внутреннего и внешнего угла при вершине О. 1305. Указание. Принять две инвариантные точки за базисные, а третью инвариантную точку за единичную. 1307. Лх,'=р,атхг+рзЬтхз, Лх,'=р,аэх,+р,Ь,хз, где р, и рз определяются из системы уравнений: ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 1э14 риантных тачек нет.
1314. 1) Лх,'4 йхс, Лх,.'=хэ; 2) Ь) О1 3) сжатие к оси Охэ с коэффициентом Ь, Очей~1, по направлению оси Охт. 1315. 1) Лх,'=-=хт+Ьхт, Лх„'=хт; 2) сдвиг по направлению оси Ох. 1316. Лх,' =- хг + хэ, ),х. '=- хт. !317. )Ь, ст)(сг а((~ат Ь,~ 1318. Указание. Принять точки А и В за базисные, а С— за единичную точку проективной системы координат. 132!. Цикличе- ское преобразование с периодом 4. 1322.
Би одного, если (АВ'ВА') (0; два, если (АВ'ВА') ) О. Указа н и е. Положить А=-(1; 0), В = = (О:!), А'=(1: 1). 1323. У к а за н и е. Положить А =(1; 0), М = = (О: 1), М'= (1: !). ! 324. Лх(=аыхг+астхе, Лхэ =амхд — атгхэ. 1325. 1) аы+а,там ) 0; 2) а'„+а эаэг ~ 0; 3) таких йнволюционных преобразований иет. 1328. 1) Лх',=х1, Лх,'= — х„; 2) В'=(1: — !). !329. х'= — х. 1330. Симметрия отаосительно одной инвариантной й прямой в направлении другой. 1331. !) х'= —.
2) При Ь ( О. х' 3) При Ь ) 0; инвариантные точки имеют координаты Зс Ьг й. 1332. 4) Если Аэ ~ А,' (а, Ф 0), то Лх,"=- — Ьэхт+Ьтхэ, Лх„' = а,Ь, = — — х, + Ьэх,; если А ', чь А, (Ьэ чь 0),то Лх,' = а,х, — — хм Лх', = а,Ь, = а,хс — атх,. 1333. Лх,'=Ьхэ, Лх,'=х„где Ь вЂ” любое действительное число, отличное от нуля; если Ь ) О, то инволсоция гиперболическая, если А~О, то эллиптическая. 1337. Указа н не. Принять точки А и В за базисные точки проективной системы координат.
1344. а хэ— — 2аыхУ вЂ” агэУэ=С. Если эти линии эллиптического типа, то инво- люция эллиптическая, если линии гиперболического типа, то инво- люция гиперболическая. 1345. У к а з а н н е. Пусть А' — образ А, а А" — образ А' при данном преобразовании П. Рассмотрим инволю- цию /, для которой точка А' инвариантна, а точка А переходит в А". Тогда произведение (П преобразует А в А', а А' в А, т. е. является инволюцией. !346. х=- — 1, у = — э . 1347. 1) М = (3: 2: †!); 2) Лг = хз хэ =(12, 9); 3) )7=(510: — 3); 4) Р=(1: 1: 0).
1348. Прямые пересе- каются на одной из сторон баэисаого треугольника А1АэАэ. !349. 1) Ранг матрицы (и, иэ иэ) равен двум; 2) ранг матрицы М равен 1; 3) ( ~ и иэ ! . ( иэ ит ! ( ит иэ( ) 1350. (120: 141 — 203). 135!. Лх1=аат+($51, Лхэ:=ааэ+()Ьз, Лхэ = = ссаз+ ОЬэ 1352. 1) Зхт+ хэ+ 9хэ — 0; 2) Лхг =- За — 8, Лхэ = 33 Лх = — сс; 3) а=О, р=1; несобственная точка ( — 1; 3: 0). ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ !365 ! И53.
пп хз азэ ад х, аээ ам »э аэз х, а,э азз хэ а, ам хз а за аю ам азз х, ам азз хэ аэт а аз кэ )Лз' = 1) ),х', ап а„Ь, ап азз Ьз азт азз Ь, Ь, а,з азз Ьэ а аз азз Ь, „а„ азз Ь, а„ Ь ам Ьз аэз 2) Ххз = апрзх,'+ азорах„'+ сырах„', Ххэ = амр,х,'+ амр,х,'+ аззрэхз', ),хз —— аэ,р,х, '+ ам(эзхз+ амрзх,', Азх+Вэу+Сз А,х,+В,у,+С, где Рз рз рз определяются из системы апРт+ аззРэ+ а„Рз = Ь„ ам Рз + амрз + атзРэ = Ьз, азор!+ пира+ азора = Ьв. 1354. ),хз = Вх,' — 4»'„ Хх =2х',— к„'-(-х,.'.
агхг+ Ьтхз+ сзхз азхт+ Ьзхз+ сзхз х,= х,'= а,е,+Ь,е,+с,еэ ' а,е,+Ь,е,+с,ез ' адах! + Ьзхо+ с,хэ азе,+Ьэе,+с,е, ' 1356. !) Х = Азх+Взу+С, Азха+ Взуо+Сз ' А эх -(- В,у -(- Сэ 4зхо+Взуо+Сз ' Атхд+ Взхэ Аэтт+ Взхэ Адхо+ВзУо+Сз ' э Азхо+ВзУо+Сз ' А. +Вх Уэ= Аэхо+Вэуо+Сэ ' 3) А, Вд (А,хо+ Взуо+СДуз Аз Вз (Азха+ Вэуо+Сз) уз = 0 Аз Вз (Аэто+Взуо+Сэ)уэ! 1357. (О; 1; — 1).
1353. хз-(-х,=О (ось Ох); хт — хо=О (ось Оу); х,+хз+2хэ — — 0 (несобственная прямая). 1359. (!5: — 4; 24). 1360. 1) хз хз хэ 2) ! из иэ из Уз Уз Уз =О! .оз пэ оэ =О. »1 гв гз гиз гез юэ 1361. 1) изхз+ иэхэ — 0; 2) (О: — хэ: » ). 1363, М = (О . » Мз = (хт: 0: хэ). Мэ = (хз . 'кэ: 0). 1364. иэхэ+ и,хэ — О, и хо+ и х = О из»э+из»э — — О. !365. (и: — и: О), (О: и: — и,), (и; О;, ).' отвиты и уклздния ! !звв 1366. х! . хз. 1367.
!) [О: 1: — Ц, [1:0! — Ц, [1; — 1: О[; 2) [1; 1 — 1[, [ — 1; 1; Ц, [1 ! †! Ц 1368. Ц Г! = (О: 1: — Ц, Рз — — (1: 0 — 1), Гз = (1 ! — 1: 0); 2) Азр! = [О: 1 ! Ц АзЕв = [1: 0: Ц АзГз =[1: 1: О[. / 1 ! 1 ! 1370. !) ~ —: —: [, гдеа, б,с — длины сторонтреуголывнкаАВС; (а'Ь'с[' ! 1 1 2) (совА: сов В: с!вС); 3) ! сгвА ' совВ ' совС!' 1371.
1) хз+х,+х,=О; 2) ах,+Ьх,+схз —— 0; 3) хд ып 2А+хз йп 2В+ + хаяп 2С=О; 4) х, совА+х,совВ+хзсовС=О. 1373. Указание. 1) Ввести проективную систему координат АтАзАзЕ; 2) ввести проективную систему координат а!азизе, где аз =АвАз,.аз=АзАз, аз=А!Аз. 1376. 1) —; 2) —, Указание. 1) Ввести на проективной прял[) ар' ар ' мой АВ проективную систему координат, принимая точки А и В за базисные. В такой системе координат С=(сз: Я, Р =(Х ! Р).
2) Ввести проективную систему координат в пучке прямых, определяемом прямыми а и Ь, принимая прямые а и Ь за базисные. В этой системе координат с=[а: Я, з(=[э!р[. 1377. Р=((эаат+рб!) !(Хаа,+ + [)Ь,): (дааз+ рбз)). !378. (АВСР) = — 9. 1379. (абаз() = — —. 1 4 ' 1380 Р=(4 !0: !) 138! АзМ! о О. !! ! + з 0 Зз Хз хз за 1382. х: х . Г! ! 11 1383. 1( —: —: — 1. !384. Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
