1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 66
Текст из файла (страница 66)
2) Плоскости сс, (1, у, 5 (по одной плоскости из каждой пары сто ссз; Ьо 5з; у„у; б,, 6,) пересекаются в восьми точках (д!: ес1: г1: 31) с любым набором знаков +, —. 1595. Векторы пи а„аэ линейно зависимы: За,— 5аз+ 7 3 +7аз=О. 1596. Векторы аь аз линейно независимы, аз= — а, — — аз, 5 5 4 1 а4 — — — аг — — ая У к а з а н и е. Воспользоваться методом Гаусса. 5 ' 5 3 2 1597. Векторы ам а„аз линейно независимы, аа= — а,— — ам 5 5 1598. ВектоРы ап аз, аз линейио независимы, аа=2а,— 3аз+4аз, 1 азэ аг+баз — 5аз.
1599. Новый базис: ам аз, Е„аз! е,= — а,— а„ 2 1 1 1 3 е,= — — а,+ — а — — е,— — ез. 1600. Векторы Ьь Ь, ..., Ь ли- 8 2 2 4 3 ''' а нейно независимы, 1601. у=(2, 1, О, 0), х=( — 1, 1, 3, 5). 1602. Ба. зис суммы мы получим, присоединяя к системе векторов аи ..., а последовательно те из векторов системы Ьь ..., Ь, которйе не являются линейными комбинациями прежде взятых векторов. Пусть ад, ..., ар( Ьт, ..., Ьт — базис сУммы подпРостРанств А и В. Если г=д, то Р есть прямая сумма подпростоанств А и В.
Предположим, что г (д, и пусть Ь(,, Ь,. — те из векторов Ьь ..., Ь, кото~я †рые не вошли в базис суммы подпространств А и В. Тогда Ь а 375 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1621 ! = аьа +...+ада,+()~~Ьг +...+(1~ Ьг, к=1, ..., 4 — г, что можно переписать в виде а!аз+...+арал †††()ОЬг †... — 82 Ь! =с„, з з з ь г 5=1, 2, ..., д-г. Векторы ст, ..., с, составляют базис пересечения надпространств А и В. 1603.
Базис суммы: а,, аз, а„ЬБ базис пересечения: с,=а,+аз+аз=Ь,+Ь,=(1, 2, 2, !), с = =-2аз+2аз=Ьд+Ьз=(2, 2, 2, 2). 1604. Базис суммы: ам а, Ь; базис пересечения: с=а,+аз=0,+Ьз= (2, 3, 1, 1). 1605. Базис суммы: аз= (1, 2, О, 1), аз= (1, 1„ 1, О), Ьг= (1, О, 1, О); базис пересеченйя: с=а,+аз= (2, 3, 1, !). 1606. Базис суммы: а, = = (1, 1, — 1, — 1), а,=(1, — 1, 1, — !), а,=(1, — 1, — 1, 1), Ь, = = (О, О, 1, 1); базис пересечения: ! ! 1 3 1 ! 11 ст= — а,— — аз — — аз= — — Ьт+Ьз= О, 1, — —, — — 1, 2 4 4 2 1' ' 2' 2)' 1 1 1 3 ( ! 1! се = — ат+ — аз+ — аз= — — Ьз+Ьз=[!.
О 2 4 4 2 [ ' ' 2 ' 2!' Указание Ьз=(0, 1, 1, !), Ьз=(1, О, 1, 1), 1607. у=(5, О, О, 0), х=( — 4, 2, 3, 4). 1608. у=~ — 4, — 2, — --, ~, я=~б, 4, 3 3 „9 5 1610. У к а з а н и е. Необходимость условия следует из существования невырожденной квадратной матрицы С порядка й такой, что В=СА. Достаточность условий вытекает из того, что подпространство с базисом а,, ..., аз может быть задано системой л — д линейно независимых уравнений, левые части которых суть миноры матрицы получающиеся окаймлением отличного от нуля минора матрицы А.
1612. ха= — 1+312+2!з, ха= 1 — 222+22, хз — — 31,+7!2, ха=1+312+512, ха=5 — 51, — 412; 17хт+ 15хз — 7хз+ 2= О, !Зхг+9хз — 7хз+ 1! = О, 1Зх +2хз+7хз — 24=0. 1613. хг — — — 9+12, хе=8+ — гз — 2( — — 1, 1 3 (3 хз-— 1,, ха=ге, хз=(з. !614. Зх,— 4хз+хз — 2х,+1=0. 1615.
ПараметРические УРавнениЯ: х,=12, хе=2+1,, х,=3-1-1,, хз —— 3+12; общие уравнения: хг — ха+3=0, хз — хз+! =О. !616. Прямая принадлежит гиперплоскости. 1617. Прямая параллельна плоскости. 1618. хг+хз+Зхе — Зхз+2=0, !619. хг — хз — ха+ха — — О, хг — х— — ха+ха+1=0. 162!.
1) Плоскости сс и () абсолютно скрещиваются, т. е. не имеют общих точек и нет прямых, параллельных обеим 376 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 1622 плоскостям; плоскостью минимальной размерности, содержащей гх и является все (5-мерное) пространство; 2) плоскости гт и !) имеют единственную общую точку (1, 1, О, О, 0); плоскость минимальной размерности, содержащая обе плоскости а и (), определяется точкой А и векторами ам аа, Ь,, Ьа и имеет размерность 4; 3) плоскости а и 5 не имеют общих точек и не параллельны; они параллельны прямым с направляющим вектором а,+аз= йз — Ь„=(1, 1, О, О, О) и лежат в четырехмерной плоскости, определяемой точкой А и векторами пм ам Ь„АВ; 4) плоскости а и () пересекаются и лежат в трехмерной плоскости, определяемой точкой А и векторами ам ам Ь;, 5) плоскости га и 5 параллельны и лежат в трехмерной плоскостй, определяемой точкой А и векторами ам ам АВ; б) плоскости сс и )) совпадают.
1622. 1) Если векторы а„ам Ь„Ь„АВ линейно независимы, то плоскости абсолютно скрещиваются, т. е. они не имеют общих точек и вет прямых, параллельных одновременно обеим плоскостям; минимальная размерность плоскости, содержащей обе данные плоскости, равна 5; 2) если векторы ам а„йм Ьз линейно независимы, а вектор АВ является их линейной комбинацией, то плоскости имеют единственную общую точку; минимальная размерность плоскости, содержащей обе данные плоскости, равна 4; 3) если векторы ом аз, Ь,, Ьа линейно зависимы, но какие-нибудь три из них линейно независимы и вектор АВ не является их линейной комбинацией, то плоскости не имеют общих точек и непараллельны, но существуют прямые, параллельные обеим плоскостям; 4) если векторы а„ аа Ь,, Ьз линейно зависимы, но какие-нибудь три из них линейно независимы и вектор АВ является их линейной комбинацией, то плоскости пересекаются по прямой и существует трехмерная плоскость, содержащая обе данные плоскости; 5) если каждые три из четырех векторов ат, аз, Ь,, Ьз линейно зависимы, но вектор АВ не является их линейной комбинацией, то плоскости параллельны и существует плоскость размерности 3, содержащая обе плоскости; б) если каждые три из четырех векторов ат, ам Ь„ Ь, линейно зависимы и нектор АВ является их линейной комбинацией, то плоскости совпадают.
1623. 1) При )! =б плоскости не имеют общих точек и нет прямых, параллельных обеим плоскостям (плоскости абсолютно скрещиваются); 2) прн г=)с =5 плоскости имеют единственную общую тачку; 3) при г= 4, (1= 5 плоскости не имеют общих точек и не параллельны, но существуют прямые, параллельные обеим плоскостям; 4) при г=!г =4 плоскости имеют общую прямую и лежат в трехмерной плоскости; 5) при г= 3, )с=4 плоскости параллельны и лежат в трехмерной плоскости; 6) при г= )с = 3 плоскости совпадают.
1628. Если плоскости ят и ла параллельны, то я совпадает с яИ если же плоскости я, и ла скрещиваются и плоскость ят определяется точкой А, и под. пространством )гт, а плоскость па †точк Аз и подпространством 1'з, то плоскость я определяется точкой Ат и подпространством )гт + )г . 1 и — А г 1 2 2 1 1630, 1) —. 1632. 2) —. 1633. ( —,. 2+1' ' '1)г!О' !'!О' Р'!О' )г!О~' 2 3 3 2 2 1 1 2 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 12«г 1 3 2 2 3 1 ! 1 )' 3 )' 3 Р»42 1Г42 ф 42 (» 42 1 1 2 1 г 4 6 23 271 '15 5 5 = ( —, — —, — — — ~.
1640. (1, — 1, — 1, 5), 1641. (5, — 5, — 2, — 1). 16 6 3 3! 15' 5' 5'51' !642. 1) У= Я (Ьп х) Ь1; 2) У=«),Ь«+...+«! Ь, гпе «й, ..., «), г=! определяются из системы уравнений (Ь„Ь,) гй+(Ь,, Ь,) пз+...+(Ь„Ь,) пг=(Ь„х), (Ьз, Ь«) «)г+(Ьз, Ьз) «)2+...+(Ьз, Ь«) «)2=(Ь«, Х), (Ь„Ь,) и+(Ь,, Ь,) пл+...+(Ь„Ь,) 0,=(Ь„Х) 1643. 2) !р=агссоз —. 1644. — —. 1645. —. 1646. 2) — -, )у( и и и )х!' 3' ' 3' 4' 1647.
Решение. Пусть А и  — два надпространства евклидова пространства, пересечение которых есть подпространство С. Если С чей, то угле«) между `одпространствами А н В называется угол между подпространствами А' и В', лежащими соответственно в А и В и являющимися ортогональными дополнениями к С. Если пересечение подпространств А и В есть нуль-вектор, то углом между А и В называется наименьший угол между вектором одного подпространства и его ортогональной проекцией на другое. Пусть А и  — подпространства евклидова пространства, пересечение которых есть 0; ад, ..., а, и Ь«, ..., Ь, — их ортонормальные базисы. Пусть «=$«аг+ ...
+$,໠†вект подпространства А, у=«),Ь!+ ... ... +«1 Ь вЂ ортогональн проекция вектора х на подпространство В. Тогда «й=(Ь«, «)=(Ьг, и!)«ьг+ ° ° . +(Ьм н )ье «1,=(Ь„х)=(Ь„а,)$«+ ... +(Ь,, а,)5„. Полагая а!7=(аг, Ь), 1= 1, 2, ..., г; / 1, 2, ..., з, будем иметь «й=сгмз«+ "° +с«ыс» «)«=а«Д«+ ... +с«»Д„ (У(2 «)«( 1 «)2 (г еь ) +,„еь )з .
+(с«1 С!+ +!2 ь )2 — 4(х). 378 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ! !а48 Если гр — угол между вектором х подпространства А и его ортогональной проекцией у на подпрострвнство В, то ссай= †. При (у( (х(' (х(=1 имеем соа1р=(у(=) 4(х). Но тах4(х) при (х(=! есть наибольшее характеристическое число матрицы квадратичной функции д (х). пусть щах 4(х) =де; тогда угол между подпросгранствами А 3 р5 н В равен агссовФ'лл 1648. !) — —; 2) атосов=; 3) агссов —; 4 У!0' 3 ' 1 и 2 4) атосов —; 5) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
