1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 65
Текст из файла (страница 65)
1565. Лиз=аыхз+амхз+агзхз, Лаз = — аыхз+ аыхэ+ аыхэ. Лиэ =- — азах, — а„х, + а„х„, Ли4 = — аззХз — аззХ2 — аэзХз. 1568. 1) У, (аых, +а„хе+ а,зхз+ аых4) +Уз (апх, + азэхэ+а,.эха+ + амхэ) + Уз (ащхд + аэзхэ + аззхз + аззхз) +Уз (аых, + аэзхэ+ амхэ+ + аээхэ) = 0; ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1а71 ! 3) однополостный гиперболоид дополняется несобственными точхз уз ками всех образующих его асимптотического конуса — + —— аз Ь' хз — — =О, т. е.
точками (х,: хз. х,: х4) несобственной овальной линии сз второго порядка — + — — — =О, х4=0; х' хз х,' а' Ь" с' хз уз 4) гиперболический параболоид — — — =2г дополняется всеми Р 4) хз уз несобственными точками пары плоскостей — — — =О, т. е. точками Р ч х', х„' пары несобственных прямых — ' — -"-=О, х =О; Р Ч хз уз гз 5) конус —,, + -; — —,,— =0 дополняется несобственными точками несобственной овальной линии второго порядка ' + †' — †' =0 пз (Р аз ° =о; хз уз б) зллиптическин цилиндр — + — =1 дополняется одной несоба' Ьз ственной точкой (О: 0: 1: 0) его образующих; хз уз 7) гиперболический цилиндр — — = 1 .дополняется всеми аз Ьз хз уз несобственными точками пары плоскостей — — — =О, т.
е. точками аз Ьз х', х,' пары несобственных прямых -'- — — ' =О, ха=0; а' Ьз 8) параболический цилиндр уз=2рх дополняется всеми несобственными точками его диаметральных плоскостей у=Ь, г. е. точками несобственной прямой ха=О, х4 — — О. 1570. 1) Ах',=хт, Ххз=хз Ххз — — х4, Ахг'=хз; собственные точки, не лежащие в плоскости Оху, преобразуются так: х'= — у' = х, у х 2 ' 1 г'= — собственные точки (х, у, 0), лежащие в плоское~и Оху, перез ходят в несобственные точки (х:у: 1; 0); 2) )х',=х„).тз'=хз, Ахз' = — ХЗ+ Х4 , Ахг'= ха+ х4; собственные точки, не лежащие в плоскости 2 х, у, 1 — г а.(-1=0, преобразуются так: х'= —, у'= —, г'= 1+а' 1+а' 2(1+г) ' собственные точки (х, у, — 1), лежащие в плоскости г+ 1 =0, переходят в несобственные точки (х:у; 1; 0), 1571. Хх4=я„Ххз'=хз, )гх,'=ха+ 1 -(- х, Хх,'= — ( — ха+ хз).
Преобразование собственных точек: ОТВЕТЫ И УКЛЭЛНИЯ 1 сатз х' = —, у' = —, г' .= 2 —, 1572. 1) Действительная 2х, 23, 1+у 1 — у свау 1 — у. овальная поверхность второго порядка; 2) действительная дсевырождающаяся линейчатая поверхность второго порядка; 3) действительный коиУс втоРого поРЯдка; 4) паРа плоскостей 2хд — Зх,+ха=0, хд+ + хз+ хз — хз = О. 1578. адз адд ~з а азз азз а43 сд44 ап а,з С'С24 СС22 аз, азз асп а„ < О.
1575. ап а, аз, а,з ад азд аз, азз ид из адз ап ид азз азд из азз а. из сс43 4444 и4 и, и, О где (асс) — матрица, обратная для матрицы (асс), или и, а,з и, а„ и азз из аз ап ап азд азд и, адд адз из азз а,4 из аю аз из азз асм а,з а, сьсз азз СДЗЗ СС34 а 3 азз Ххд = ад, ап С'С24 СС22 аз, аз, ап азз ид ап и2 ан из а34 и, аз, ап азд СС44 адз адз сс, ап аьд "3 аед а,з из СС42 Сдзз СС4 Лхз = 1576. (аддх,'+ адзх,'+ адах,'+ адзх,") хд+ (апх', + ад,х,".
+ а,зх, '-(- + адсх",) х, + (аз,х', + аз,хз+ а,зх', +а34х",) хз+ (а4дх", + а„х'„+ аззхзд + + а44х',) х4-0. 1579. Р(хь хз, хз, х,) Р(хз, х.', хд, хс) — Р'=О, где Р=(апх,'+ + а,зх'„+ а,зх,'„+ аых,") х, + (апх," + адзх) + аззх, '+ аыхз) хз+ (аз,х," + + аззхз+аззх,'+аззхз) хз+(аздх)+аззхз+а4зх,с.+а„х,') хз, 2) Р=О или подРобнее: (апх',+адзх'„'+апхзз+ад43",') хд+(аз,х,'+амлд+имхз+ + а24х,') хд + (а„х', + аюхз+ а„х'„+ аззх',) хз+ (аз,х,"+ аззхз+ асах', + + аз х,") х4=0. Плоскость Р=О является полярой точки М относи-. тельно данной поверхности. 1580. аддх,'+ аыхд+ 2а,зхдхз+ 2апх,хз + + 2а24хзх4=0. 1581. У к а а а н не.
Отнести поверхность к автополярному тетраэдру А,А,АзА,, две вершины которого А,=(1:0: 0: 0), А,= (О: 1: 0: 0) совпадают с вершинами конусов, описанных около поверхности. Пусть Л,х", + Хзх'„+ Хзх„-'+Хзх, "=0 — уравнение данной поверхности. Уравнения конусов: Хзх(+Хзхс+Лзх)=0, Х,х',+Лзх;'-(- + Хсх,'- = О.
1582. 1) х,хз — хзхз — 0; 2) х, = ихз, ихз= х,; хд = охз, охз — — хз. 1588. Р— Хх",=О. 1Б84. Р— Лхдхд=О. 1586. Хх =аддис+адди +адзид+ад4и Хх, = а"и, + а "и, + оп и, + ам и4, Ххз- — — и"и, + азиз+ азоиз+аз'и4, Ххз — а44 ил + а 42 из+ а43 и 2 + асс из ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 14«87. 1) (и,: и,: и,: — и,); 2) (и,: и,: — из. ив). 1888.
!) У„(аввхв+аввхв+авеле+а«4хв)+ +у, (азвх, + аввхв+ амхз+ а хв) + +Уз (азвхв+ амхз+ азв"з+ амх4) + +Ув (аввхв + авв~+ а«вхз+ аы"4) =— = х,(аму,+аиув+а,зуз+аыу,)+ + хз (азву + азвув+ аюуз+ аввУ4) + + хе (аввув+ ам Уз+ аюуз+ азвув) + +хв(а„у,+а„у,+авзув+а„у,) =— = амх,У4+ а„х,Ув+ а,вхзУ, + аихву4+ + авв (хвув+ хву,) + авв (хвув+ хзув) + а,в (хву в+ хвуз) + + авз (ввуз+ 2) хзУв)+авв (хвУ4+ хвУД+ ам (хзУ4+хвУз) = О; а,в а, а,з авв авв ам авв аз а ав, а,в аьв Ов Ов Ов а,4 и, аи из авв ив авв и4 О где Азу †алгебраическ дополнение элемента аб в определителе а,в ам авв аи ам авв авз аы ав« азв азз авв ав„авв авз авв 1891.
1) Ребро А4А4 пересекает поверхность 5 в точках (1: О: О: 1) н (1; О: О: — 1), уравнения касательных плоскостей а,, аз к поверхности 5 в этих точках: х,— х4=0, х,+х4=0; ребро АвА4 пересекает поверхность 5 в точках (О; 1: О: 1) и (О: 1: О: — 1), уравнения касательных плоскостей рв и ()з к поверхности 5 в этих тачках: хв — хв=О, хз+х4=0; ребро А,А4 пересекает поверхность 5 в точках (О: О: 1: 1) и (О: О: 1: — 1), уравнения касательных плоскостей у, н ув к поверхности 5 в этих точках: хв — хв=О, хз+хв=О. 2) Через единичную точку Е проходят плоскости а,, 84, уд, т. е. плоскости х,— х4=0, хв — х4 — О, хв — хв=О, 3) .(-«1: «1: -' 1: -«1) с любым набором знаков + и —.
1892. 1) Ребро А,А4 пересекает поверхность 5 в точках (1: О: О: !) н (1: О: О: — 1), уравнения касательных плоскостей а„а к поверхности 5 в этих точках: х,— хв=й, х,+х4=0; ребро А,Аз илн ов (Лвди, + А „и, + А „и, + А 44и4) + ов (А ми, -(- А зеив -(- А,ли, + А ми, ) + -(-ов (Ав,и,+ Амиз+А в,ив+ Аз,ив) + ов(Ав,и, + А,зи, + А,ви, + А 44ив) = = ив(А мо, + А„о, + Аиоз+ А,4ов) + ив (А по, + Левов+ А ввоз+ А мов) -1- +изИзвов+Аиов+Азвов+Аввов)+444(Авгов+Авзоз+ Аввов+ Амов)= = — Ам ивов+ Ажизов+ Лввизов+ Л44ивов+ Ам (ивов+ ивов) + + Ам (и,о, -(- ивов) + А«в (и,о, + ивов) + Аю (ивов+ ивов) + + Ам (ивов+ ивов) + А зв (и,ив+ ивов) = О 374 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1!Мз пересекает поверхность В в точках (1: 0: 1: 0) и (1: 0: — 1: 0), уравнения касательных плоскостей Ьи рз к поверхности 5 в этих точках: х,— хз —— О, х,+ха=О; ребро АзАз пересекает поверхность 3 в точках (О: 1: 1: 0) и (О: 1 .
— 1: 0), уравнения касательных плоскостей 7„7, к поверхности 5 в этих точках: хз — хз=О, кз+хз=О; ребро АзАа пересекает поверхность 3 в точках (О: 1: 0: 1) и (О; 1: 0: — 1), уравнения касательных плоскостей б,, бз к поверхности 3 в этих точках: «з — х4=0, ~+х4=0. 2) Через единичную точку Е проходят четыре плоскости ам Ьь уг, б„т.
е. хг — хз — — О, х,— х4=0, хз — ха=О, х,— х =О. 3) (ч1; -1-1; ж1: ж!) с любым набором знаков +, —. 1593. !) Уравнения касательных плоскостей аг, аэ, проходящих через ребро А,Аз ..хз — ха=О, ха+ха=О, точки касайия (О: 0: 1: 1) и (О: 0: 1: — !); уравнения касательных плоскостей )1,, ))з, проходящих через ребро АзАз. х,— ха=О, х,+ха=О, точки касания (О: 0: 1: 1) и (О; 0: 1; — !); уравнения касательных плосиостей у„уэ, проходящих через ребро А А,: х,— ха=О, ха+ха=.О, точки касания (О: 1:0:1) и (О: 1: 0: — 1).
2) Плоскости а, 5, у (по одной плоскости из каждой паРыа„аз;От,5з;у„уэ) пеРесекаютсЯвносьмиточках(ж!: 31: х1: 3-1) с любйм набором знаков +, —. 1594. 1) Уравнении касательных плоскостей аы аэ, проходящих через ребро А,Аз. 'хз — ха = О, ха+ к4 — — О, точки касания (О: 1: 0: 1) и (О: 1: 0: — 1); уравнения касательных плоскостей Ьь ~, проходящих через ребро А,АЫ хз — хз — — О, ~+ха=О, точки касания (О: 1: 1: 0) и (О; 1; — 1; 0); ураЪнення касательных плоскостей У,, уэ, пРоходЯщих чеРез РебРо АзА,: хт — ха=О, х,+ха=О, точки касания (1; 0: 0; 1) и (1: 0: 0: — 1); уравнения касательных плоскостей б,, б„проходящих через ребро А Ач: х, — ха=О, х + ха — — О, точки касания (1: 0: 1: 0) и (1: 0: — 1: 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
