1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 67
Текст из файла (страница 67)
1649. атосов —. 1%1. Пусть А=(а") — матрица, 4' ' 3' 4/ где а;1 —— (Ь1, а), А* — матрица, транспонированная к матрице А; тогда искомые векторы †собственн векторы оператора с матри! цей А*А. 1653. а 'г и. 1%4. —. 1655. хг=хл= — ха — — — хл, хг = л' = — х,=х,= — х4, х,= — ~= — х,=х,; —, 1656. При нечетном п 3' перпендикулярных диагоналей нет; при л=2Ь искомое число равно а 2 С, =Сла 1. 1%7. 3 ' 4 ' 6 ' 1658. атосов рà —.
1%9. 2) =. 1662. )г!4; (2, 1, 2, 9). 1663. 5; (2, — 2, — 3, 2). 1664. Плоскость и прямая абсолютно скрещиваются, уравнения общего перпендикуляра 3 3 х = !+1, хв !+С х,= — +С х4= — +й длина общего перпенди! куляра равна --. 1665. Прямая параллельна плоскости; расстояние 2' ыежду нимя равно-5. !666. Плоскости не имеют общих точек и параллельны одному и тому же направлению, определяемому некто~он А1В = С В = ( 1, 2, 2, 2); расстояние между ними равно 3.
1667. —. 2 л л+ ах'+...+ах" Ь! 1 ! 1 ! 1670. ()Л (Ь1 О1)+" +~л (Ьл Ол)) (Ьг — о,)1-)- ... +(܄— а„)1 ),1+... +)4 167!. / (аг, аг) ... (аг, ал) ~ гг ~ (аг, аг) ... (аг. ал 1) "=1 (агл аг) ... (а„,а„) ~ т ) (а, „аг) ... (ал ь а„г) 1673. Ь= ~/ + 1674. агссов —. л 1 2 Р' 2(л — Ь)(Ь-(-!)' ' 3' 379 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ !705 1 1, 1, 1, 1, 1 1675. х, = — х' — — х' — — х' — — - х'+— 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2' 1,' 1, 1, 1, 1 хз= — -х(+-- х,' — - х' — — х'+- 2 2 2 ' 2 ' 2 1, 1, 1, 1, 1 х = — - — х' — — х'+ — х' — — х'+-- 3 2 1 2 з 2 з 2 ! 2 1, 1, 1, 1, 1 хз = — — — х' — — х.' — — х' — — х'+ —.
2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2' 1680. Указание. Если разл!ерность пространства больше 1, взять двз линейно независимых вектора и применить оператор А как к этим векторам, так и к их сумме. !68!. С=ВА ', где А и В в матрицы, столбцы которых состоят из ноординат векторов аз, ..., а„ и Оь ..., Ь„соответственно. 1682. х,'=2хг — 11хз+бхз, х„'=х! — 7хз+ + 4хз, х,'=2х! — хм х'=2х!. 1683. х( = 15х! — 23хз+ 10хз, х'„= 10х! — 18хз+ 10хз, х,' = 2х,— ! — 7х,-)-7х,, х,'= — хе 1684.!) е,; 2) еь еб 3) е„е,, е,; 4) еь ез, е,, е,.
1690. Подпространсгво с базисом е,=(1, О, О, О), ез=(0, 1, О, О). 1692. У к а з а н и е. Если й — размерность инвариантного подпространства, выбрать первые й базисных векторов, принадлежащих этому подпространству. 1694. Если е,, еь ..., е„— базис пространства У, состоящий из собственных векторов оператора А, то инвариантными подпространствам будут нулевое подпространство, все пространство и каждое подпространство, базисом которого является любая подсистема множества векторов е„ ез, ..., е„. Число инвариантных подпространств равно 2". ' (!!!!) 1699. Если ет, ез, ..., ез — базис пространства, то инзариантнымн подпространствамй будут лийейные оболочки систем базисных векторов еб е,, ез; ...,; е,, ез, ..., е„.
1701. У к а з а н и е. Векторы х, Ах, ..., А "х линейно зависимы. !702. Указан не. Если Л=)гав собственное значение оператора Аз, то Аз — ЛЕ=(А+ рЕ) (А — рЕ). 1703. Указание. Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат основному полю, то каждое инвариантное подпространство содержит одномерное инвариантное подпространстзо. 1704. Указание. Пусть х — собственный вектор оператора АВ, соответствующий собственному значению Л ~ О. Тогда вектор Вх ~ 0 будет собственным вектором оператора ВА с тем же собственным значением Л. 1705. Указание. Первый векторе,; е„— прообраз вектора е, при преобразовании (А — иЕ)а ', е„,=(А — аЕ) е„... ез= = (А — аЕ)"' ' е„. 330 ответы и указания ! иоа — — о 1 3 — — о ! 3 2 -3 ' о о 1 3 2 3 1 3 о 2 3 1 3 ! 3 о 1707.
! -4 ! 4 1 4 3 4 ! 4 ! 4 1706. 4 1 4 4 3 4 1 4 ! 4 3 4 1 4 3 4 1 4 1700. à Π— 1 ΠΠ— о о о о о о О О 1 О 1721. У к а з а н и е. Пусть у = Ах+ Ь вЂ” изометрическое преобразование точечного евклидова пространства Е, А †изометрическ преобразование векторного пространства Г, соответствующего точечному пространству Е, 1'= 1' + Га†представление пространства У в виде ортогональной суммы собственного подпространства Ут, ссютветствующего собственному значению + 1, и его ортогональногодополнения Рт. Вектор Ь = Ьт + Ьз — представлейне вектора переноса в виде суммы вектоРов Ьт и Ьз, пРинадлежащих соответственно подпРостРанствам У и Рм Если преобразование у =Ах+Ь ие имеет неподвижной точки, то оно обладает инварнантной прямой с направляющим вехтором Ьд, проходящей через неподвижную точку преобразования у=Ах+Ь .
1729. Функция Ь(х, у) должна быть кососимметрической. 1732. х(у,'— — х,'у(+х,'у', — х,'у,'! (1, О, О, О), (О, 1, О, О), (1, — 1, О, О) (1, — 1, О, 1). 1733. У к а з а н не. Представить билинейную функцию в виде суммы симметрической и кососиммегрической билинейных функций и перейти к базису, в котором симметрическая функция имеет канонический вид. 1737. а> О, а — Ь > О, а+(и — 1) Ь > О. )У21' ф'21' ф'21! ' 4'7' 1'7' Р'7 У7) !'12' Р'12)' (2 ' 2 ' 2 ' 2) 1 1 1 ! ! 1 ! ! 1 1 1 ! — — — —, 2х'+4х' — 2х' — 4х' ,' ! 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ! 2 ! 2 ! 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 !763 1 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ "(2 2 2 2) 12 2 2 -2!1 )(2 2 2 4 -'г ' 1 1 1 ! ! ч ч г — — — — — 2х' +За'*+ 12х' — 4х' ° 2' 2' 2' 2~' 1745.
Искомые значения параметра 7 находится из уравнения () (и) г""+2(В (и, хе)+Л(и)) !+с'=О, где с'=!7(х)+И. (х )+с, а В (х, у) — симметрическая билинейная функция, соответствующая квадратичной функции () (х). !746. В (и, х)+й (и) =О, где В (х, у)— симметрическая билинейная функция, соответствующая квадратичной функции ()(х). 1747. В(х„х)+Л(х)+Л(х,)+с=О, где В(х, у)— симметрическая билинейная функция, соответствующая квадратичной функции () (х). 1752.
(1) ппп ('г, и — й); (П) ппп (Ь вЂ” 1, и — Ь); (П1) гп!п (А, л — й — 1). !759. Ук а завис. Вектор Ь не принадлежит области значений оператора А и может быть представлен в виде суммы Ь=Ь'+Ь", где Ь', а следовательно, и — Ь', принадлежат области значений оператора А, а Ь" Ф 0 — вектор, ортогональный к этому подпространству. Следовательно, существует вектор хэ такой, что Ахэ+Ь'=О. Вектор х," определяется из соотношения Азх,*„+ +АЬ=О; тогда Ь'= — Ах',", Ь"=Ь вЂ” Ь'=Ь+Ах",. Искомый вектор х может быть представлен в виде хая+О"й где ! определяется соотношением: (Ь+Ь", х;",)+с 2 (Ь, Ь") 1760.
У к а з а и и е. Ль..., Л,— отличные от нулясобственные значения оператора А с учетом нх кратности; е,', ..., е',— ортонормальная система собственнык векторов этого оператора. (1) Еслибы — 7~ 1, то в', „,, в„' — векторы, дополняющие систему е,',..., е', до ортонормального базиса. Координаты хт, ..., хэ находятся из уравнений для определения центра.
Свободный член преобразованного уравнения с' =Ь х",+... .„-(-Ь„х„" +с. (И) Если  — г =2, то вектор Ь=(Ьт, ..., Ьэ) представляется в виде Ь = Ь'+ Ь; где Ь' приналежит области значений оператора с матрицей А, а Ь" эь 0 принадлежит ядру этого опера- Ь" тора; тогда р=! Ь" ! и а'+! — — — „. Векторы е',, ..., е' находятся нак векторы, дополняющие систему е,', ..., е', е'+! до ортонормального базиса. Радиус-вектор х, начала 0' определяется следующим образом: х,=х,*+(Ь", где х," находится из уравнения А'х,*+Ай=О, а (определяется из равенства (Ь+Ь', х,*)+с 2(Ь", Ь"). 1761.
См. предыдущую задачу. хэ хэ1 х4 1763 1) — -'- — -'- — -4+ -'=1, ба=(0 1 2 3) 9 9 9 3 е,'=(=, —, 0,0~, е,'=~- —, — —, — —,0~, ! ! 2 (2)73' 2)7 3' 2)'3' 2 р'3) ' ' (2 ' 2 ' 2 ' 2)! ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 !164 Д х,-+х„-'+х,'=9, О'=(1, 2, 3, 4), ! ! 1 ! !1 1 1 1! хт 3) — ' + — ".— — — 1=2х4, О'=(О, г'7 г!' 1 [У2 !' 2 ! 2 2 2 3 4г21 У 21 )' 2! У 21! ! 1! 2' 2!' 1 !! 1 е'=( —, — —, !2' 2' !! ! 1 !2' 2' 2 (1 1 (рб )' б (1 1 !У7 г'7 аи °" а!л Ь! (11 " 11л !! '1п "° атл Ь1 К' Гл! ".
!лп гл О ... О 1 ал1 "° алл Ьл Ь ...Ьл с ат, ...ащ Ь, ап...атл Ь, !М ° ° !1л а„, ... алл Ьл Ьт ...Ьл с =)4л4! (л1 ". 'пп апт " - апп Ь1 ... Ь, с 2) Указание. Рассмотрим многочлен )7 = Р— Х (х'+... + х'„') = и л агх!х -(-2 ~ Ь!х!+с — )г(хг+...+х'). 1, /=! 1=1 При однородном ортогональном преобразовании х;= зч ! х', 1 и ~ 1 /=! ! = 1, 2, ..., и, миогочлен )7 перейдет в многочлен )7'= Р' — й (х,' +...+хл ) = л л аг!1хггх14+2 Х Ь;х,'.+с — Х(х,"+...+хн), 1,/=! 1=! !7б4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
