1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 64
Текст из файла (страница 64)
из аж азз азд из азз азд азз из 1) )хд = апр,х, '+ а,дрвх,'+ адзрзх,'+ ад>рвх,', ) х> = ~дрдхд + аандвх> + а>зрзх> + амРвх>, > хз = амрдхд + аз>]'дхд + аззр ах> + а мрвх> )дх, = авдрдх, '+ авврзх,'+ а>врет>+ аввр4х',> где Рь Рв, Рв рв определяются из системы уравнений а11Р1 + а1врв+ а1ЗРЗ+ а14Р4 Ь1 ав,р, +пыра+а,дРз+пыРЗ=ЬЗ, аз1Р1 + аззРз+ аззрз+ а34Р4 = Ьз, а4>рд + а4вй+пвзрз+ адара = ЬЗ. х, адв адз аы х, ам авз аы х, азз а,з азв х> авв а>в а44 2) ад, х, аы адд а,д хз а,з а>4 азд х> азз аы авд х, п44 а44 ам Ь, аы аы авд Ь, адз и„ аю Ьз азз аз> ав, Ьв авв авв Ьд адз адз адв Ьз пм адз аз> Ьз авз азв аы Ьв а,в а,з а„ ! 506.
2х,хв+ х„'= О. 1509. аыхдуд+ аыхвуз+ авзхзуз+ авв (хауз+ хауз) + +ам (хзУ +хдУЗ)+пдв(хдУЗ+хвУд)=0, адудгд+пзвУ>гз+аззУзгз+ + азв (узг> + узг,) + ав, (узг, + у,гз) + а„(удгв -]- узгд) = О, апгдх, + + аюгзхв+з аз,гзхз+ а>з (гвхз+ гвхз) + аз> (г,хд + г,хз) + ам (гдхв+гвхд)= О. 1511. Указание. Треугольники АВС и РЩ, вписанные в линию второго порядка, автополярны при полярнтете, для которого треугольник АВС автополярный, в точка Р переходит в прямую Р](. 1515. х= — 1, у = — з, г = — з.
1516. ( — 2: 1: 1; 0), 1517. (1: 2: 6; 0). Х> > Х4 Х> 1518. М=(х,: хз. хз . 'Х>]. Адх+В,у+С,г+Рд А,х+В,у+С,г+Р, !519. ахд= ', ]дхв= Адх,+В,У>+Сдгв+Рд' Авхз+ВЗУ,+С,г,+Рв' А,х+ В>У+ Сзг+ Рз „А4Х+ В>у+ С,г+ Рв Азхз+ВдУ,+Сдгз+Рз ' А,х,+ВЗУ>+С4гз+Рв ' 1522. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 4ззз аэ! аш аэз х, ал %4 хэ азз азз азэ х, а44 аэз аэз х, а,т а„х, азэ ам хе аз, азэ х, а41 а44 х4 аээ ам азэ а44 Лгэ' =- ап а,з Ь, адэ аы азз Ьз ам аз, азз Ьэ аээ аа аэз Ьэ аээ ап аээ атз Ьэ аээ азз ам Ьэ аэд аю азз Ьэ а44 аэз а44 Ь4 1523. Зхт+11хэ+ 2х4=0, 7хт+27хз — 17хз — х4 — О.
~ 1528 1) и, и, и, и4 г'1 оз !э о4 иээ Юэ Юэ Рэ Рэ Рэ Р4 аэ аз аэ аэ Ь, Ь, Ь, Ь, с, сз сз с, с(4 4(з с(э 4(4 =0; =0; 3) (аэиэ+ азиз+ азиз+ а4из) (Ьэсд+ Ьзоз+ Ьзоз+ Ьэоэ) = = (Ьгиэ+ ЬзЪ+ 4 за э+ Ьэиз) (азот + азоз+ аз"э+ а1о4) 1529. Мд —— (О: хз . 'хэ. 'хэ), Мз — — (хэ: 0 4 хе . 'хэ), Мэ — — (хэ: ~: 0;хэ), Мэ='(хт . 'хз: хз. 0). 1532. (АВСР)= — 1533. 1) Еэ=(0: 1: 1: 1), Ч г Яр Ез=(1: 0: 1:1) Ез=(1: 1: 0:!) Еэ=(1:1: 1: 0)! Рт=( — 1: 1: 1:1), Г., = (1: -1: 1: 1),' Р,= (1: 1: -1:1), Р, = (1: 1: 1: -!) 2) Е„ =' = (1: 1: О: 0), Е„ = (1: О: 1: 0), Еы = '(1: 0: О: 1), Е„='(О: 1: 1 0), Е„=(0: 1; 0; 1), Ез,.— (О: 0: 1: 1); Р,з — [1; — 1; 0; О], Еээ = =- (1: 0: — 1: 0), Р44=-(1: О: 0: †!) Е„ = (О: 1: — 1: ) Е, = (О: 1; 0: — 1), Г = (О: 0; 1: — 1); 3) О,~~ = (1: 1: — 1; — 1), С,з,, =- = (1: — 1: 1: — !), 044.
=(1: — 1: — 1: 1). 1534. хэ+х +х +х4=0. аэтх+ отзу+ аде г + а44 аах+ аэзу+ азэг + а44 аих+а„у+аз г+ам у'= аэзх+аэзу+аээг+ а, ' амх+аззу+а,,г+а„ а44х+ аэзу+ а,эг -1-аэ„) 2) аэдхэ+аз,хэ+а,эхе+а,х4=0; У к а з в н и е. Первое уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Второе уравнение есть уравнение проходящей через данную точку плоскости пучка, осью которого является прямая пересечения данных плоскостей.
1524. Лхт 844+455, Лхз=27м — 36)), Лхз —— — 20сс+308, Лх,= — 1ба+5)1. У к а з а н и е. Найти точки пересечения данной плоскости с данными прямыми. 1525. 1) Плоскость и проходит через вершину Аэ —— (1: 0; 0; 0); 2) плоскость л проходит через ребро А,Аз; 3) плоскость и совпадает с гранью А,А,Аз. 357 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1342 1 ан ать аьз х, ам оп азз хз азь ап аэз хэ а41 а42 а43 14 прообраза (х,: х,: х,:х, ) через координаты выражаются соотношениями: Обратно: коо образа (х,': х,'. рди наты х„':х,') аьь х,' аьз ап х.„' аы аз, х,.', а,э аь, х,' аьв ам Ьь аьэ ап Ьз азз аэь Ьз азз ам Ь4 ап х, 'а, Х> аз, х,' а, 14 4142 Ьь а„ Ьэ ам Ьэ ап Ьь аьэ аы аы а>4 аьь аьэ аз 4 азз а24 азз аз 4 а4з аьь аы аз, аэь а„ аьз аы азз аы ап ам а43 а44 аьь аьв аьз хь аэз а,м х,' азь ап азз х',.
4141 а42 а43 х', аьь х., 'авь х, 'азь а44 ап а,в ап а22 азь азз а41 а42 Лхз = Ь, Ь„ Ьз Ь ап аы Ь, а14 ап а Ь а, авь ап Ьз аз а41 аьв Ьь аьь аьь аьэ а,э авь аз, аы азь азз азз а41 аьз а43 1542. Лх,'=Льхь, Лх'=Лвхз, Лх„'=Лэхэ, Лхь'=Л хь. 5 б ььхь + аьвхз + а>э хэ + аь4хь амЬ, + а,зб, + аыЬэ+ аьь(>4 аььхь + а„х, + а„х, + амх, амбь+апбв+аыбэ+а Ь, амхь + аззхз+ аззхз+ аэьхь азьЬ1+ аэьЬ2+аззЬз+азьЬ4 апхь + аьзхз+ аьзхэ+ аььх4 Лх', = 41пб ь + аьзбв + аз зб з + а 4 4 бь 1541.
Лх, '= анр,хь+ аьзрзхз+ амрзхз+ аирьх4 Лхэ = апрьхь + апрзхз+ аззрзхэ+ авьрьхь Лх, = азяэьхь+ апрзхв+ аззрзхз+ азьрьхь Лх,.= апрьхь+ апрзхв+ аьврзхз+ а44Р4хь где р, р, р „р4 определяются из системы уравнений аььР>+аьвР2+а,эР3+а>,Рь=б„ амрь + "прз+ аырз+ а24рь = Ьз аэьрь+4>ззрз+азэрэ ~аэьр4 Ьз апрь + аьзрз+ аьзрэ+ аььрь = Ь4. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ [ 1543 1543. Лх,' = апх, + а,зхз, Лх.,' = алхз+ аззхз, Лх,' = а„ха+ аззхз, Лх, '= аззхз+ аззхз. !544. Лх,'=ссх,, Лх[=ах„Лх,'=хз, Лх,'=хз. 1545. Лх, '= аззхз+ аыхз, Лх, '= аюхз+ аззхз Лхз = амх, + аюхз, Лхз = аззхз+ аззхз. ! 546. Лх, '= а,зхз+ агзхз+ агзхз, Лхз' = аззх, + аюхз+ аззха, Лх, = ажхт+ аззгз+ аззхз, Лх, = азгхд+ аззхз+ аззхз.
1547. ) х, '= хз+ хз+ хм Лхз = хз + ха+ хз, Лхз = хг+ хз+ хз Лхз = хг+ ~+ хз. 1548. !) Лх',=аггхм Лх,'=аззхз, Лх,'=аззхз+аззхз, Лх,'=аззхз+ + аззхз, где (азз — аы)з+4ажазз< 0. 2) На пРЯмой А1Аз это пРеоб- разование порождает гиперболическое преобразование, которое будет инволюционным в случае ам+ам=й На прямой АзАз это преобра- зование порождает эллиптическое преобразование; оно будет инволю- ционным в случае а„+а, =О. 1549.!) Лх,'=амхз+а зхз, Лх,'=амхз+ + амхз, Лх,'=а,зх,+аз,хз, Лх',=аззхз+аз,хз. где (азз — аы) + -1-4а, а <О, (а — азз)з+4аззазз< 0.
2) Эллиптические преобразо- вания. 1550. 1) Лх,'=апх,, Лх,'=нюха, ).х,'=х„Лх,'=кз. 2) Гипербо- лическая гомология с центром А, и осью АзАз. 3) На ребре А,Аз— тождественное преобразование. На остальных ребрах — гиперболйче- ское проективное преобразование. 1551. 1) Лх,'=аням Лх,'=амхз, Лх,' = аззхз+ амхз, Лх, '= аззхз. 2) Гиперболическое преобразование, если аюФ азз; яараболическсе преобразование, если азз — азз. 1552.
Гиперболическая гомология с центром Аз и осью АзАз. 1553. Лх,' = =- хг+ ахз Лх, = хз Лх, = хз, Лх, = рхз. 1554. Лх,' = аыхз+ агзхз+ агзхз, Лх,' = аззхз + аззхз+ а,зхз, Лх,' = а,зх„Лх,' = азах,. 1555. 1) Лх, = хз, Лх,' = — х,, Лх,' = х,, Лх,'= — хз. 2) Инвариантных точек и плоскостей нет; ийвари- антные прямые А,Аз и АзАз.
3) Эллиптические инволюции. 1556. 1) Лх,'=х„дх',=хз, Лх,'=кз, Лх,'=йхз (гиперболичесная гомология проективного пространства). 2) Инвариантными плоскостямн являются плоскость АзАзАз и связка плоскостей с центром Аз. Инвариантными прямыми являются все прямые, лежащие в плоскости А1А,А, и все прямые связки с центром Аз. 3) При условии Д= — 1 (гармойическая гомология пространства). 4) Гиперболические гомологии с центром А„, осью которых являются нрямые пересечения плоскости А1А Аз с плоскостью, проходящей через прямую А4Е.
При Д= — ! эти гомо- логии будут гармоническими. 1557. 1) Лх', = хз, Лх,' = хг, Лх,.' = хто Лх,'=-хз. 2) Две пРЯмые инваРиантных точек: хз — ха=О, хз — ха=О(11); к,+ха=О, хз+хз — — 0 (1Д. Инвариантные йлоскостн образуют два пучка плоскостей с осями 1, и [з. Инвариантные прямые: 1, и 1, и все прямые, пересекающие обе эти прямые (линейная конгруэнция). 3) Гиперболические инволюции с инвариантными точками: (111:0.0), (1: — 1:0:0) на прямой А,Аз и (О:0:1:1) и (О:0:1: — 1) на прямой АзА4.
1558. 1) Лх,'=хз, Лх.„'=х„дх,' х„Лх,'=хз. 2) Инва- риантные точки Е=(1: 1: 1: 1) и Е'=(1: — 1: 1: — !). Йнвариант- ные плоскости е=(1: 1: 1:!) и е'=(1: — 1: 1: — !). Инвариантные . прямые ЕЕ' и се'. 3) Гиперболическая ннволюция на прямой ЕЕ', эллиптическая инволюция на прямой ее', 1552 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1561. 1) Йхг — — )г»хг, йх,',=Азха, Йх', =Азха, Йх', =-А»х»,' 2) Йх,' =)»х» йхз = Аатз Йхз = мхз — рх» йх', = ]]хз+ мх»! 3) Йхг=ах» — ]]хз, йхз'=)]х»+сгхз, йх,'=ухз — бх», Йх»=бхз+ух»; 4) йх,'=)»х», йхз'=)ехз, йх,'=Яхз+х», )гх, '=Ях»; 5) Йх,'="ь»х», йх,'=йг]гз, йх„'=Яхз, йх',=Ях»! 6) йхг= — Яхг+хз Йх»=зхг, Йхз=ггхз — Рх», Йх»=]]ха+ох»' 7) йх',=Ях», йхз'=Яхз, Йхз'=ах» — )]х», Йх',=бхз+гзх»; 8) йх,'=Ях,+хз, йх„'=Яхз, йх»'=!Хз+х», ЙХ1=!Х»; 9) йхг =ах»+ хз, йхз =Яхз, йхз = !Хз, Йх4 =!х»! 10) йх» ях» йх» — Яхз йх» !хз Йх» !х» 1!) Йх]=гзх» — ]]хз+хз, Йх =!»х»+сгхз+х», йх»=с»хз — ))х», Йх» ]]ха+ сгх» 12) йх»' = гхх» — )]хз, Йх; = )]х»+ ггхз, Йх,', = сгхз — рх», Йх; = ']]хз + + аХ»; 13) Йх»=зх»+хь Йхз — Яхз+хз, Йх»=зхз, йх»=А»х»! 14) йх',=Ях,+хз, йх„'=Яхз, йх».'=Ях„йх»'=ь»х»; 15) йх =Ях», йх»'=Яхз, Йх»=зхз, Йх»=А»х»,' 16) Йх =Ях»+хз, Йхз 5хз+хз, Йх»=зтз+х4, )гх4=5х4! 17) а) ]гх,'=Ях»+хз, Йх,'=Яхз+хз, йх,'=Яхз, йх,'=Ях», б) йх,'= =5Х»+Х, ЙХ»=ЯХ», ЙХ»=ЯХЯ+Х», ЙХ» — 5Х»! 18) Йх =Ях»+хз, Йхз=зхз, Йхг=зхз, Йх» — 5х4! 19) Йх',=Ях», Йх„'=Яхз, Йх,'=Яхз, Йх,'=Ях».
1562. 1) Инвариавтные точки: Ам Аз, Аз, А»; инвариантные плоскости: А»АзА», А»АЯА», А»АЯА4, А,А»А»; инвариантные прямые: А»А», А,АЯ, А,А», А»А», А»А», ЛЯА», 2) инвариантные точки Аь А,; инвариантные плоскости; А»А»А», А»А»А»; инвариантные пря»гые: А»А, А»А4! 3) инвариантнык точек и плоскостей нет; инвариантныс прямые; А»А» и АЯА4", 4) ннвариантные точки: А», Аз, Аз, ннвариантные плоскости: АрАдА», А,А,А», Л»А»А»; инваРиантвые пРЯмые; А»А», А»А», А»Аь АЯА»; 5) инвариантные точки: Аь Аз и все точки прямой А»А»; инвариантные.плоскости: А»АЯА», А»АЯА» и все плоскости пучка с осью А,А»; инвариантные прямые: А»АЯ, А»А, и любые прямые двух пучков с центрами А, и Аз, лежащих соответственно в плоскостях А,АЯА4, А»Л,А»; 6) инвариантная точка Аб инваРиантнаа плоскость А»АЯА»! инваРнантные пРЯмые: А»А» и А»А4, 7) инвариантные точки: все точки прямой А»А», инвариантные плоскости: все плоскости пучка с осью АЯА4, инвариантные прямые; А»А» и А»А»; 8) инвариантные точки: А», Аз! инвариантные плоскости: А»А»А», А,АЯА4! инвариантная прямая А»А»', 9) инвариантные точки: А» и все точки прямой АЯА»; инвариантные плоскости: А»А»Л» и все плоскости пучка с осью А,А»; инвариантные прямые: А»А», А»А4 и любая прямая пучка с центром А, в плоскости А»АЯА»; 1О) инвариантные точки; все точки прямых А,А» и А»А; инвариантные плоскостиг все плоскости двух пучков с осями А»А,, и АзА»; инваРиантиые пРЯмые: Л»А», А»Л» и все пРЯмые, пеРесекающие прямые А,АЯ и АЯЛ»(линейная конгруэнция); 1!) инвариантных точек и инвариантных плоскостей нет; инвариантная прямая А,А,.; 370 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 1эбэ 2) и, из из и4 0 азг а„азз а21 аю азз а,з азэ аээ ам аээ аэз Эз "Э ОЭ азз аэз а4 Оз 1569.
1) Двуполостный гиперболоид дополняется несобственными Х2 У2 точнами всех образующих его асимптотического конуса — + —.— аз Ь' х' — — =О, т. е. точками (хз: хз: хз. Хз) несобственной овальной линии с' второго порядка аэ 52 сэ х,=О; хе у2 2) эллиптический параболоид --+ — =2г дополняется одной Р ч несобственной точкой (О: 0; 1: 0) его диаметров; 12) инвариантных точек и инвариантных плоскостей нет; инвариантные прямые: А,А2 и АзА41 13) инвариантные точки: А, и Аэ; инвариантные плоскости: А,Л2А, и А,А2Аэ; инвариантные прямые: А1А2 и А,А,; 14) инвариантиые точки: Л,, Аэ, Аз и все точки прямой А Аэ; инвариантные плоскости: А,АзА4, А2А2Ам Л,Л,Аз! инвариантнйе прямые: А,А4 и все прямые двух пучков с центрами А, и А, лежащих соответственно в плоскостях А2АэА, и А4А,Лэ; 15) инвариантные тачки: Л, и все точки плоскости А,А,А,; инвариантные плоскости: Л,А2Аэ и асе плоскости связки с центром Л; инвариаитные прямые: все прямые плоскости А1А,Аз и все прямйе связки прямых с центром Аз; 16) инвариантная точка А,; инвариантная плоскость А1А,Аэ; инвариантная прямая Л,А2; 17) а) инвариантные точки: А, и все точки прямой АзА4; инвариантные плоскости: А1АэЛ4 н все плоскости пучка с осью А,А2; ннвариантные прямые: Л2А4 и все прямые пучка с центром Л,, лежащего в плоскости А,А,А; б) инвариаатные точки: все точки прямой А1Аз! иннариантные плоскости: все плоскости пучка с осью А2А,; инвариантные прямые: А,Аз и А2А; !8) инварнантные точки: Ад и все точки плоскости А2А,А,; инвариантные плоскости: А2АзЛ, и все плоскости связки с центром Аб инвариантные прямые; все прямые, лежащие в плоскости А2АэА4, и все прямые связки прямых с центром А,; !9) тождественное преобразование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
