1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 60
Текст из файла (страница 60)
1149. 1) с 3/а' — Ь' х -!- а )' Ьд — с' г + 0 = О. где ! 0 ! ( ас )~ а' — сд; 2) с у~ад — Ьду -!- Ь р ад+с! г+0=0, где 0 — любое действительное число; 3) с Уад — Ьду+Ь )' а'-1-с'г-[-0=0, где ! Р ))Ьс р'Ьд+сд; 4) с )' ад — Ь'у -д- Ь )гад+ад а+0=-0, где 0 — любое действительное число, отличное от нуля; 5) ! Уаг — у+г+0=0, где0(— Р— '4. 2 1 6) у'ад — 1'у -! аг+0=0, где 0 — любое действительное число. Г д — ! ГЬ 1150. 1) Четыуе точки ~-ь а 1Тà — „, О, -д- с ~à — /; 2) четыре :). 1151.
Ь. 2 ац ад, а,д А ам ам а.,д В а„ад, адд С А В С 0 1152. 1) ФО. аых+аду+а,да+а, = + ад+ад =ХВ Ах+ Ву+ Се+0 2) Координаты х, у, г центра линии сечения определяются иэ системы Ураввений ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ итя ! 1153. 1) х'=хгозгр — у ми гр, у'= — кап гр+усоягр; 2) х'=ксояф— — у ил гр+ [хя (1 — соя гр) + уя ми гр[, у' = х з(п гр+ у соя гр+ [ — хя ап гр+ + уз(1 — соя гр)[.
1154. 1) х'=Хх, у'=Уу; 2) хо=Ух+хе (1 — й), у' = 1, РЗ, !1 =Ау+ус(1 — й). 1155. х'=х+ — у, у'= — у. 1156. х'= — х— 2 ' 2 ' ' 5 2, 2 14 — — у — 13, у'= — — х-[- — у+9. 1157. х'=х — у+1, у'=х+у+2. 5 5 1158. х' = 5х — Зу+ 8, у' = — Зх+ 2у — 3. 1159. х' = — х+ 2у — 8, у'=4х — Зу+24(АВ); х'=х+8, у'=4х — 5у+14(ВА). 1160. (4, 2). 1161. 2х+у — 3=0. 1162.
Два решения: (3, — 2), (3, — 5). 1163. Точка пересечения медиан треугольника АВС. У к а з а н и е. Ввести систему координат с началом в точке А и базисом АВ и АС. 1164. х' = = — Зу +4, у' = Зх — 2. 1165. Два преобразования: 3 2, 2 3 3 х' = — х+ — у + 1, у' = — — х+ — у+ —; 1О 5 ' 5 1О 2 ' 3 2 11, 2 3 ! х'= — — х+ — у+ —, у'=- к+ — у —.-. 1О 5 5 ' 5 1О 10' 12 9 , 9 12 1166. к'= — к — — у — 1, у'= — — х — — у+7. 5 5 ' 5 5 1167. х' = 4х+ Зу — 5, у' = — Зх+ 4У вЂ” 1; ггеподвижная точка (-') 13 4 8, 4 7 4 1168. х'= — х+ — у — --, у'=- х+ — у —— 5 5 5* 5' 5 5' 5 3 . 1, 3 5 1 1169.
х'.= —. к — — у+ — „у'= — — х+ — у+ —. 4 4 2" 4 4 2' 1 3 3, 3 1 3 1170. к'= — х — — у+ —, У = х+ У+ 4 4 4' 4 4 4' 1171. Гомотетня с центром в точке пересечения медиан треуголь- 1 ника и коэффициентом гомотетии — —. Указание. Ввести систему 2' координат с началом в точке А и базисом АВ и АС.
1172. Произведение симметрии относительно врямой х — 2у — 5=-0 и гомотетни с центром (1, — 2) и коэффициентом 5. 1173. Произведение гомотетии с центром (1, 3) и коэффициентом 5 и поворота вокруг этой точки на 3 угол агссоя --. 1174. !) Произведение поворота вокруг начала кнор. а . Ь динат на угол гр такой, что соягр=., я)п йг= —, и гомог' а'+Ья' [Аая+Ь" тетин с коэффициентом А=у' аэ+ЬЯ и с центром в начале координат; 2) произведение симметрии относительна прямой, проходящей через Ь начало координат и имеющей угловой коэффициент, и а+ ['ая-1-Ьг ' гомотетии с коэффициентом у а"+ЬЯ и центром в начале координат. 346 !! Ыэ ОТВЕТЫ И ККДЗЛИИЯ 1 П75.
Инварнантная 'точка ( — —, — 2); инвариантныс прямые 2х— 2' — 2у — 3=0, 4х — у=О. 1176. Инвариавтными точками являются все точки прямой 2х+у — 2=0 и только эти точки. Инвариантные прямые: прямая 2х+у — 2=-0 и все прямые, перпендикулярные к ней. 1177. х' = — х", у' =5у*. 1179. х'=х — - -у, у'= — — у. 1180. х'= 2 ' 3 5 1 1 17 1 2, ! = — х-)- — у — —, у'=у.
1181. х'= — х — — у+ —, у'= — --х+ 4 2 4~' ' ' !2 12 3 ' 12 17 1 , 2 2 10 , 11 14 13 + — у — —. 1182. х'= — --х+ — у+ —, у'= — — -х+ — у+ —. 12 3' ' 3 3 3' 3 3 3' 1183. 13Х~- 16у=О. 1184. ргй" — 1 х + 3~1 — йу=О. 1185 у=и йх. 1187. !1, 3) и !3, — 1). 1188. а=! АВ, ~,о ~. У к а з а н и е. ! (С вЂ” ))) (С' — !)') Рассмотреть аффинное преобразование х'=Ах+Ву+С, у'= — А'х+ + Ву+С'.
1189. Два решения: х — 12у+57 О, 8х — 9у — 66 — О. У к а з а н и е. Рассмотреть аффинное преобразование, переводящее данные прямые в оси координат. 1190. !42х — !83у — 489=0. Указ а н и е. Рассмотреть аффинное преобразование, переводящее данные прямые в оси координат, а данную точку — в единичную точку. 1191.
1) х'*=)„х*, у'н =Лзу*; 2) х' =ах* — ))у*, у' =-йх*+сту*. В случае, когда исходная система координат прямоугольная, это преобразование является преобразованием подобия с центром в неподвижной точке данного преобразования, представляющее собой произведение гомотетии с центром в неподвижной точке и коэффициентом й = р сР+Вз на поворот вокруг той же точки на угол ~р такой, что в, соз<р= — з!п~р= —; 3) х' =Лх*, у' =Лу* — гомотетия с центром й' д' в неподвижной точке данного преобразования и коэффициентом Л = 1192. х' = х+ 3, у' =у+ х, х' = 2.
1193. х' =у + 3, у' = х+ х, х' =х+у. ! 1 1194. х' = — х †у г+ 1, у' =х, г' =у; инварнантная точка '14' ! ! ! 1 11 х —— 4 - 4 4 у 2 †, — ; инварнантная прямая — = = †; ннвариант- 4' 4/' ! — 1 1 ная плоскость 2х+2г — 1=0. 1195. Гомотетия с цен~ром в точке пересечевия прямых, соединяющих вершины тетраэдра с центрамн 1 тяжести протннолежащих нм граней, н коэффициентом — —; †. У к а- 3' з а н н е.
Ввести систему координат с началом в вершине тетраэдра и базисом, составленным из ребер тетраэдра, выходящих нз этой вершины. 1196. Произведение гомотетии с центром в начале координат 3 и коэффициентом 5 иа поворот вокруг осн Ог на угол агссоз-- 5 1197. У к а з а н и е. Предположив противное, рассмотреть аффинное преобразование относительно системы координат, началом которой 347 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ !205 1 1 См — — С1 ь Сгв 1 Сзз —— й Сз, С22 1 гзз— й СЗ1 СЗ2 и при Ь Ф 1 этот определитель отличен от нуля.
12(5. х' = смх+ сыу+ с,зг+ с,, У' = сзтх+ сазу + сззг+ сз, г' сэгх+ сззу+ сззг+ сз )ге!1 где матрица С=- сз, СЗ1 )'а11 А ~а„ из, СЫ С!2! с,з сз, определяется из соотношения С= ВА, Сгз а,з и1з азз азз '!зз азз~ ,гьм ь„ь„! В=~Ьм Ь,з Ь„~ Ьм Ьзз Ьзз является неподвижная точка и в которой ннвариантная плвскость имеет уравнение х= !. 1199.
Инвариантная точка ( — 2, 1, — 3); инва- риантная прямая у=- 1, г= — 3; инвариантная плоскость г= — 3. 1200. Инвариантная точка (1, 2, 3); ннвариантная прямая х= 1, у=2; инвариантная плоскость г=З, 1201. Не обладает ни инвариант- ной точкой, ни инвариантной прямой, ни инвариантной плоскостью. х — 1 1202. Инвариантная точка (1, 1, 1); инвариантные прямые: 1 у — 1 г — 1 2 3 = — = — и все прямые, лежащие в плоскости х+ 2у+ Зг — 6 = 0 и проходящие через точку (1, 1, !); инвариантные плоскости: х+2у+ х — ! у — 1 г — 1 + Зг — 6=0 и все плоскости пучка с осью — =— ! 2 3 7 2 1 2 1203.
х'= — х+ — у — — г+ — -, 9 9 9 9' 2 7 1 2 у'= — х+ — у+ — г — —, 9 9 9 9' 1 1 17 1 г'= — 9 х+ 9 У+13 г+ 9 ° 1204. У к а з а н и е. Подобное преобразование пространства может быть записано в виде Х р й (спХ+с12У+сгзг)+Хе У !' (с21~ + "22У+ с222) +Уз г р й (сзгх+сму+сззг)+го где (сзз) — ортогональная матрица. Определитель, составленный из коэффйциентов при неизвестных той линейной системы уравнений, из которой определяются координаты неподвижной точки, ьюжет быть записан в виде ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 !гоо с,, со, с, определяются соотношениями: сг = хо (сыхо+ сто»о+ сгого) с, =у, '— (согхо+ сяуо+ сяго) со=го (сотхо+сог»о+свахе). 1206.
Эллипс, гомотетичный данному, с ноэффициентом гомотетии $' 2, с центром гомотетии, совпадающим с центром эллипса. У к а з а н и е. Преобрировать аффинно эллипс в окружность и свести задачу к случаю окружности. !207. Эллипс, гомотетичный данному, 1 с коэффициентом гомотетии —. и центром гомстетии, совпадающим )Г2 1 с центром эллипса (см. »казанке к предыдущей задаче).
1208. —, 2' 1 а Ь 1210. Эллипс. 1211. —. 1218. х'=хсоз1р — — у а1п ф, у'= — хяп ор+ 'г'2 Ь а а ., Ь фусозгр и х'=хсоз1р+ — у яп ф, у'= — хяп 1р — усозф. Ук а з а- Ь ' а н и е. Искомое преобразование можно рассматривать как произведение трех преобразований СБА, где А: х,=-- у,= — Сп хо=хтсозф— х у а' Ь' — у,з(пор, уо — --х, яп гр+утссагр (или х,=х,созф+у япгр, у,= а, Ь = х, з!п 1р — у соз гр), С: х = ахэ, уо — — Ьуо. 1219. х' = — — у, у' = — х.
Ь ' а 1, 1 1ХХО. Хц=.йх, у'= — у и х'=Ьу, у'=- — х, где Ь вЂ” любое действи- Ь й тельное число, отличное. от нуля. 1(' 1! 1 а( 1! х'= — Л+ — ) х+ — — ( — Л+ — )у, 2( Л) 2Ь(, Л) у =-,'--'- ( — Л+-'-) х+ -,„' (Л+,' )» х'= (Л+--) х — — — „( — Л+ — )у, Ь г у' == 2 — ( — Л+ Л- ~ — -2- (Л+ Л ) у.
У к а з а и и е. Искомое преобразование может быть представлено как произведение трех преобразований: преобразования ан х = — —— х у а Ь' у*= — + —, переводящего данную гиперболу в гиперболу хэуо = 1; Ь ' ,о ,о 1 преобразования 11: х' =Лх", у' = — у* или х' =Лу*, у' = — х*, переводящего гиперболу х*у" = ! в себя; преобразования а ', а ,э ,о , Ь ,о ,э х'= — (х' +у' ), у'= — --(х' — у'"), переводящего гиперболу 2 ' 2 349 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ !239 ! х'оу'о=! снова в данную гиперболу. 12Ю. х'=х г'2+у, у'=х+ Х +УРг2 и к'=хР 2 — у, у'=к — у)' 2 1ЮЗ.
!) х'=- — (2Рх — 2РУ+ Рз), 28 у'=8(у — р), где Х и р — любые числа, причем )оные. 2) х' = 1 = — (2рх — 2ру-]-ро), у'=у — р, где р — любое число. 1225. х'=х+ 2р ! 2У-[-2, у'=у-]-2. 1226. Парабола уз=-2р(х — а) (а — расстояние от вершины параболы до хорды, перпендикулярной к оси параболы и отсекаюшей от параболы сегмент данной площади). Указание. Рассмотреть унимодулярное аффинное преобразование, переводящее произвольную хорду, отсекающую сегмент данной площади, в хорду, перпендикулярную к оси параболы.
1228. к'=к сов ф — у яп ф+ко(! — сов ф)+уо яп гр, у'=х яп ф+у соз ф — х, яп ф+уо (1 — сом ф). 1229. х= — ~хо — уос!8 — ~, у= — ~кос!8- -+у ). 2 '! о 1230. х' = х соз 2ф+у з!п 2ф+ х, (1 — сом 2гр) — уо а|п 2 р+ б соз ф, у' = х яп 2ф — у соз 2ф — хо яп 2ф+уо (! + сов 2ф) + о( з!п ф. 1231.
Ось симметрии у = —, вектор Уо переноса (хо, О]. хо Уо х — — - у — —-- 2 2 12а32. х яп — — усов — = О. 1ЮЗ. Ось снмметрни ф ф 9 2 соз — яп— 'р ф 2 2 вектор переноса ! ! — [хо(1+осе ф)+уо яп ф], — [х яп ф+у (1 — сом ф)]1; канонический вид х =к +~косов +.уо з!и ' ~, .у = — уо. ,о 2 2~' 1234. Вектор переноса вдоль оси симметрии (9, — 3). Уравнение оси симметрии х+Зу+ 15=0. Каноническая запись преобразования хо= — к', у'*=уо+33~ 93 1235.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
