1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 57
Текст из файла (страница 57)
ношению другой стороны параллелограмма к параллельному ей диаметру, пересекающему сопряженную гиперболу. Ук аз а н не. Точка пересечения прямых, соединяющих середины противопологкных сторон параллелограмма, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. 889. У к а з а н и е.
Принять за начало координат центр линии, а за базис — векторы, идущие из центра в точки касания пересекающихся а Ь сторон параллелограмма. 890. х»= ж — у,, у,=-»- — х,. Указание. Ь Пусть к= а соз й у = Ь яп ! — параметрические уравнения эллипса. Тогда если 1,— значение параметра, соответствующее точке (х,, у,), Л то 1»=!г гй — — значения параметра, соответствующие концам сопря- l 1! ! 7! женного диаметра. 891. В = ~2, — 7! С = (2, 0), В =! 3, ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ! 222 892. 4хт+8ху+13уз — 24х — 42у+9=0.
У к а за ни е. Написать уравнение эллипса в системе координат с началом в точке С и базнсными векторами СА и СВ. 894. х' — 4ху+ 4уз — 4х — 4у=0. 895. хз+ + 2ху+уз+ 5х — у = О. 896. 9хз — 24ху+ 16у' — 60х — 16у+ 256 = О. Ук а ванне. Прямая, проходящая через точку А и параллельная прямой ВС, является касательной к искомой параболе. 897. хз — 2ху+ +5у' — 42 — 4у+4=0. 898.
хз — 2ху+2у' — 2.+! =О. 899. х'+2ху+ + 2ут — !4х — 20у+48=0. 900. Прямая, параллельная другой асимптоте гиперболы, проходящая через середину отрезка, заключенного между данной точкой и центром гиперболы, причем из этой прямой надо исключить точки отрезка, один конец которого лежит на асимптоте, а другой является точкой касания касательной к гиперболе, проведенной из данной точки. У к а з а н и е.
Принять за оси координат асимптоты гиперболы и выбрать базис так, чтобы и этой системе ксюрдинат гипербола имела уравнение ху= 1, а данная точка †коор- 4 1 динаты 0,1. 90!. й'= — †. 902. у= 1: — х. 903. х'+уз= 1. 904. х'— 3' ! — у'=!. 905. уз=х. 906. 12=1. 909. =. 910. У к а з а ни о. При- !'2 нять за ось абсцисс диаметр М,М2, а за ось ординат диаметр, параллельный касательным в точках М, и Мз. 911. У к а за н и е. Принять за ось абсцисс диаметр, проходящий через точку М, а за ось ординат †диаме, параллельный касательной к линии в точке М. 912.
Эллипс или гипербола. 913. Прямая ОС (за исключением точек О и С), являющаяся диаговалью параллелограмма ЛОВС, стороны которого имеют данные асимптотические направления. Указ а н и е. Принять за начало координат точку О, а за базис— векторы ОВ и ОВ. 914. Множество центров состоит из внутренних точек треугольника, сторонами которого являются средние линии данного треугольника, а также из внутренних точек углов, вертикальных к углам треугольника, образовааного средними линиями. У к а з а н и е.
Принять за начало координат одну из вершин треугольника, а за базисные векюры — стороны, выходящие из этой вершины. 915. й=2) 2аз+2Ь1, й= 1- —. 916. агс16 —, где с= Ь 2аЬ а' сз ' = )газ — Ьз. 919. У к а з а н и е. Взять уравнеаия эллипса в параметрической форме: х=-асов!, у=Ь21пй 924. Указание. Воспользоваться параметрическими уравнениями сопряженных гипербол 925. '1 м= 1' '". 927. 1) а11хз+2агзху+ямуз=гэ; 2) хз+ а„Ь12 + 2ху сов в+уз=ге.
928. 1) — ' = -'— 2 = — '; 2) атт=ам= —. з11 812 в22 соз ю 929. !) — =- — = — и число а11 а12 аж К11 В12 КМ ~ам аз а, Л= а21 аа аа ат аз а ОТВБТЫ И УКЛЗЛНИЯ эза 1 имеет знак, протнвополо«кный знаку коэффициента ап (или а22); 2) коордпнаты центра находятся нз системы уравнений апх+а,ту+а,=0, ) оэ«х+ «122У+ «11= 0 1: а и ла ~=0! ап — )чап 91=— аш — Л«912 ' оп )2«7п «112 )«тк12 935. 1) ("" "!~0; 2) 1 Ь = =, где Х« — положительр' — )., ' корень характеристического урав- ный корень, а Лэ †отрицательн пеняя ! ап ) 5«п "п 1"э«2 0, а — Х«яп нп — )сап . — Ьэ= о12 )««э12 а12 ~2012 3) ~ "и ~9" ~+~ " "'~=0; йп ь".12 й21 Дтэ ап аш ««21 «122 Радиус г= у — —, где 6=~ ~. 930. п=2соэ —, Ь.=- Г 5«п«2 (ап аш! ш У ппб «121 нп = 2 э!и --, 11=1, !12= — 1.
934. 1) Окру«кность с центром ( — 7, 3) 2' х' /1 1! и радиусом 5; 2) эллипс — + — =1; центр О'=(-, — ), угловой 9 1 ' «,8' 4)' 2 коэффициент большей осн й = — —; 3) гипербола — — — — = 1; 7' 5 15 центр О'=( — 1, 2), угловой коэффициент действительной оси/г=2; х' у' 4) гипербола — — — = 1, центр совпадает с началом координат, угло- 15 1 вой коэффицнент действительной осн /г=1; 5) парабола у' =х')'3; ! 5! вершина ( — —, —.), направлявший вектор оси в сторону вогну- 6 ' !2)' оп нп! 1 1 тости (2, 1). 935. !) ап>0, ) ~>0; 2) о— пм нп~ где Х« — меньший, а )э — больший корень характеристнческого урав- нения 332 1 ззт ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ =( ) и — од — сов'в, — О сова). 938. Если в( — то а=Р 2 сов —— 2 )' ' 2' 2 д — в и в Ь= ) 29(п —, Ь = 1, Ьв= — 1; если в~ —, то а=)' 2 яп —— 2 д ' в 2 ' 2 Ь вЂ”.— ) 2 сдв — —, Ьд= — 1, Ьв=!. 939.
а=Ь= Р'яп в — равносто- 2 ' Л l и в1 РоннЯЯ гипеРбола; если в ( —, то Ьд = с!8 ( — + — ), йд = 2' ' 14 2)' 7п ед! Л = 15 ( — + — ) ° если в ) —, то 14 2)' 2 ' (л в! (л в1 8'14 + )' в 8'1 + )' 2)' 14 2)' 940. ) аддх+авУ яддх+ЯдвУ ~ ) а„х+а„У йях+аввУ 941. !) (6, — 2, 3), г=7; 2) ( — 4, О, 0), в=4; 3) (1, — 2, 3)„ г=б; 4) (О, О, 3) с=4 942 адд=ав==авчьО, аде=ам=ам=О. У к а з а н и е. При доказательстве веобходимоста условия заметить, что сечения сферы координатными плоскостями будут окружностями (действительными, нулевыми или мнимыми). 943. 1) Вв+ Со+1)в— — АЕ) О, (-- — — --) В С Ед ) )АВв+ Со+ Вв — АЕ А' А' А)' (А) 2) Во+Се+()в — АЕ=О; 3) Во+Се+Во — АЕ(0. 944.
1) Восемь сфер: х'+у'+г' вс 2гх д 2гу -д 2гг+2тв=О; дв 2) восемь сфер; х"+у'-1-гв-д )~ йгх д В) 2гу -д. )'2 та+ — =О. 2 /!О !4 5 д 945. Центр (. , — †, - ), радиус равен 3. '13' 3' 3)' 946. !) (Аз+В'+ С') йв — Едв ) О, А1) В)7 С0 (- в Ав+ В'+Св' Ав+Вв+Св' Ад+Во+Со)' ) (А в -1- Вд+ Св) йв — )Од )' Ад+В'+Св ( Айв Вйв 2) (Аз+Во+С) йв — Во=О; точка касания ( — —, В ' 1) Сй' д — — ); 3) (А'+ Вв+ Ст) й' — Ва ( О. 947. (хо — а) (х — хо) -)- + (Уо — Ь) (У Уо)+(го-с) (г-го)=0 или (хо — а) (х — а)+(Уо — Ь) Х Х(У вЂ” Ь)+(го — с)(г — с) =йв.
948. 2х — у+г+ 14=0. 949. А(х — а)-1- + В(у — Ь)+С(г — с) -д- й 5~А'+Вд+Сд=О. 950. 8х-)-4у-1-г— — !00=0, 2х — 2у+г — 28=0. У к а з а н и е. Рассмотреть пучок плоскостей, осью которого является данная прямая. 951. Два редпе- 922 ! ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ния: х+2у+2г — 9=0, у — 2=0. 952. Два решения: хо+у'+ + (г+ 1)2=12, хо+у'+(г+4)'=27. 953. (Ахо+Ву,+Сго+Р) Х к (хо-1-Уо-[-го+2ах+ 2ЬУ+2сг+об — (Ах+ВУ+ Сг+ О) (хоо+Уоо+ + г[+2ахо+2Ьуо+2сго+с!) =О. У к а з а н и е.
Искомое уравнейие можно представить в виде хо+уо+го+2ах+2ЬУ+2сг+д+А(А«+ +Ву+Сг+0)=0, 954. х'+у'+го+22«-1-!бу — бг=О. 02 955. ()72. 956. При условии выполнения неравенств х[+ Аз+Во +У[+а[ — Щ(0, 0(А«о+Вуо+Сг,+Р)(0. 958. «,'+у,"+г[+ +2ахо+2ЬУ,+2сго+о. 959. Плоскость (а,— ат) х+(Ьо — Ь,)у+(со— — с,) г+42 — о(2=0. 961. Если две данные сферы не пересекаются, то йскомое геометрическое место есть радикальная плоскость данных сфер. Если две данные сферы пересекаются, то искомое геометрическое место есть множество всех точек радикальной плоскости данных сфер за вычетом всех точек круга, ограниченного окружностью, по которой пересекаются зти сферы.
962. Радикальная ось данных сфер. 963. (х — 1)о+(у — 4)о+(г — 3)о= 17. У к а з а н и е. Центр искомой сферы является радикальным центром четырех данных сфер. 964. 2атао+ 29252+ 2с,со = о(т+ о(о. 965. (хо — а) (х — а) -(- + (уо — Ь) (у — Ь)+(г,— с) (г — с) =)72. 966.
(г — го, г — го) =)72. 967. 1) ((го, п) — 0)о ()72 (л, п); 2) ((г, и) — О)'=(72 (и, л); 3) ((го, и) — 0)о~Во(п, и). 968. (а, а),)то — ([а, г, -го), [а, гт — го!) ) О, (а, а) Во— ([а, г,— го1 [а, г,— го!) =О, (а, а) Во — ([а, г,— го!. [а. гт — го!) ( О. Р— (Го, П) 2ГГ ((Го, И) — О)о (л, п) ' [г (и, и) 970. (а, а) — 0 =-О, ОС= — а, )7= Уг(а, а) — О. 971. ' [а, Ь!. (с, с) ' 2(а, Ь,с) (г г ) [г го!+(г го) [го го[+(г го) [г ° го! 972. г— 2 (гы го, го) )[Ь,с)+(Ь,Ь)[, ! р' — (, ) 2 (а, Ь, с) ' ' 2 (а, л) 975. ~у — у г — 2~[2 [г — г х — х [2 [х — х у-у ~2 = го (по+ Ьо+со). У к а з а н н е.
Воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой. 976. 8«о+буо+522 — 4ху+8уг+4гх+(бх-)-14у-1-22г — 39=0, 978. 2«о+2уо+ 222 — 2ту — 2хг — 2уг — 3=0. 979. хо+у" +2го— — 2хг — 2уг — 1=О. 980. Тоха+(уу — бг)о=уз«о; каноническое уравнение у'х' +(72+32)у'2=уотч 981. 4х'+у'+4го —,4ху — 8хг+4уг— — 28х+2у+1бг+45=0. У к а за нне. Написать каноническое уравнение цилиндра в системе О', е'„ е,', е,' и перейти к исходной системе координат. 982. Уз+го=!. 983.
[а(х — хо)+Ь(у-Уо)+с(г— — го)!'= (а'+ Ь'+ со) [(х — хо)о+ (У вЂ” Уо)о+(г — го)Ч созо ф. У к а з ан и е. Воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами ОТВЕТЫ И УКАЗАИИЯ ! ззо и и ВМ, где М =(х, у, г) — произвольная точка поверхности конуса. 984. ! !х'+ ! !уз+ 23го — 32ху+ !Охг+ !6уг — бх — 60у--!Вбг+ 342= 0. 985.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
