1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Если рз, рт, рз — барицентрнческне координаты центра 0 окружности, описанной около треугольника АВС, а 6— точна пересечения его медиан, то 06: 60=1: 2 (теорема Эйлера), откуда Хз= 1 — 2рэ, Хг = 1 — 2рт. Дз = 1 — 2рз. 284.- 1) Аэ > О, Лэ > О, )е > О, )е > 0; с! )е ( О; 3) )ч — 0; 4) Аз=О.
)гз= 0; 5) Хз= 1 йч = Дз= Аз=О. 286. 1 +А ' 1 +Ь Д,+Ар, Л,+Ар, 1+А ' 1+А 288. )е — — — - (А эх+ Вэу+ Сох+ !)з), г(о Ат = — (А эх+ В,У+ Сзх -1- !) г), дэ Л аз= — э (А эх+ В,У+ С,э+)Уз), Л '!з Лз=- -(А,х+В,у+С,з+Рэ), А ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ зао ] где Ло Во Со Ро Л В, С Р, Л,В,С,Р, Аз Во Сз Рз а бо, 1]1, 1(з, ба †алгебраическ дополнения элементов О,, 01, 0„ Р, в определителе б. 289. ~ Ао Во Ро — Аг В1 Р, (А,х+В у+С а+ 0 ! = Аз Вз Рз Ао Ва Со = А, В, С1 (А,х+ВзУ+Сзг+Рз]. Аз Вз Сз( Указание. Если принять тетраэдр А А,АзА, за базисный тетраэдр барицентрической системы координат в пространстве, то уравнение искомой плоскости в барицентрнческих координатах будет иметь вид ]1з=]гз. 290.
У к а з а н и е. ПРинЯть тетРаэДР А,А1АзАо за базисный. Пусть р — радиус вписанной сферы, а У вЂ” объем тетраэдра АолгЛзлз. Тогда барицентрические координаты центра О сферы будут: 1 1 3 ! 3 ! гч ]о! У 1 зо+зг+аз+аз 3(РЪ+~ +Р.+Р ] 1=0, 1,2, 3. 2й1. Окружность с центром в середине отрезка АВ и радиусом, равным Ьгаз — сз. 292. Две прямые, перпендикулярные к прямой АВ и аз находящиеся на расстоянии — от середины отрезка АВ. 2йо.
Прямая, с на которой лежит гипотенузе треугольника. 294. Окружность, вписанная в треугольник. 295. Окружность с центром в вершине параллелограмма АВСР и радиусом, равным У ! АС ~~+ ~ ВС ]з — ! АВ ~з, действительная, когда угол при вершине С острый, нулевая, когда угол С прямой, и мнимая, когда этот угол тупой. 296. Окружность с центром в точке пересечения медиан треугольника АВС н радиусом, равным — У3аз — (! АВ(з+! ВС ]з+(СА (з). 297. Две прямые, соеди- 3 няющие середины противоположных сторон прямоугольника. У к а з ание.
Привять за оси координат средние линии прямоугольника. 298. Окружность с центром в точке, лежащей на прямой АВ и делящей направленный отрезок АВ в отношении — й'! радиус окружности й г= — (АВ~. 299. Окружность, проходящая через' точку О ( 1 — Ьз ! аЬ с центром на луче ОВ и радиусом, равным —. 300. Прямая, о — Ь' перпендикулярная к линии центров данных окружностей. Если окруж- ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 зог и и — — <(р < —- 2 2 н Л 2 Р 2' 311.
Две равные а окружности радиусов —, касающиеся 2' ВС в точке О. 312. Окружность, проходящая через точку О, центр которой лежит на луче ОА и радиус раЬз В вен —,, У к а з а н и е. Применить йа ' полярные координаты. 313. Лве полу- окружности радиуса а У2, центры Ст и Сз которых являются концами диаметра, перпендикулярного к ОА. Эти полуокружности расположены в полуплоскостях, опредсляемых прямыми АСт и АС2, не содержащих точну О (рис.
П. Указание. Применить полярные координаты. 314.Окружность, проходящая через точку А, центр которой находится на луче Рис. 1. — Ьс АВ, а радиус равен . У к в заЬ+с ' н и е. Применить полярные координаты. 313. Эллипс. У к а з а н и е. Если принять за начало прямоугольной системы координат середину отрезка В2В2, а за ось абсцисс прямую В2В2, то уран. ности пересекаются — прямая, проходящая через точки пересечения данных окружностей, за исключением точек этой прямой, лежащих внутри окружностей. Если окружности касаются — касательная в их общей точке. Во всех трех случаях прямая называется радикальной осью двух окружностей.
301. Прямая, перпендикулярная к прямой ОА аз+ гз и пересекающая луч ОА в точке, находящейся на расстоянии от точки О. 302. Два луча прямой х=- — 1, у ~ 3 и к= — 1, у< — 3. 303. Луга окружности (х+ — ) +уз=1 — ), х ~ — —. 304. Четыре 1 прямые: у=+ 2х, у=+ — х в системе координат, осями которой 2 служат данные прямые. 315. Контур квадрата, образованного прямыми х+у чз 3=0, х — 'у Е 3=.0.
306. Диагонали квадрата и описанная около него окружность. 307. Две стороны квадрата, средней линией которого служит отрезок перпендикулярной прямой, параллельные этой средней линии, н продолжения диагоналей этого ввадрата. 308. Если принять средние линии прямоугольника за оси каор. динат, причем большую из них за ось абсцисс, то искомое геометрическое место будет састонть из двух отрезков — а(х<а, у= 3 а и четырех лучей х)а, у=-~- х; х< — а, у=-»- х. 309. г=— соз ~р' 310. г = 2а соз 2р, ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ х' у' пенне эллипса будет иметь канонический внд — + — =1, где аз Ьз хз уз Ь'=а' — сз (рис.
2). 316. Эллипс — +,=1. 317. Эллипс аз (1 — Х )з хз уз хз уз хз уз аз ' Ьз ' ' дз — + — =1. 318. Эллипс — + — =1. 319. В эллипс — + — = 1. дз д 2 Х хз уз 320. Эллипс — + —,=1. У к а за н не. Составить параметрические дэ Ьз уравнения линии, выбирая в качестве параметра угол, образуемый 32.
л чом Олт с осью Ох (рис. 3). 1. Гипербола. Указание. Если принять за начало прямоугольной системы координат Рис. 2. Рис. 3. середину отрезка Р„Рз, а за ось абсцисс прямую Р,Рз, то уравнение гипер- хз уэ балы будет иметь канонический вид — — — =1, гдеЬ'=сз — аз(рис.4). а' Ьз 322. Эллипс, если е(1; гипербола, если е) 1. У к а заике.
Если принять за начало прямоугольной системы координат точку О, делящую в отношении — е' отрезок РО перпендикуляра, опущенного из точки Р на прямую б, а за ось Ох этот перпендикуляр, то получим канонические уравнения кривых. 321. Парабола. У к а з а н и е. Если принять за начало прямоугольной системы координат середину О отрезка РО перпендикуляра, опущенного из точки Р на прямую д', а за положительное направление оси Ох †направлен ОР, то уравнение параболы будет иметь канонический вид у'= 2рх (рис. 5). ха уз о 324.
Гипербола — — — =1. 325. Спираль Архимеда г= — ~р (рис. 6). дз Ьз ы 326. Лемниската Бернулли (хз-1-у')' = 2сэ (хэ — уз), г = с р'2 соз 2~р (рис. 7). 327. Лемниската Бернулли (ха+уз)э=узлу, г=)'з ип 2~р (рис. 8). Указание.
См. предыдущую задачу. 328. Циссоида Дио- 2а мпз <р и и хз клеса г =, — — «р< —; уз= — (рис. 9), 329. Кон- соз~р ' 2 2' 2а — х ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 33«1 а хонда Никомеда г= — .«- Ь или (ха+уз) (х — а)3 — Ь х«=0(рис. 10). сгя «р 330. Улитка Паскаля с=асов«р+Ь,(ха+уз — ах)«=Ь«(««3+у 1(рис. П). 331. Улитка Паскаля г=Ь+асоз«р, (х'+уз — ах)з=Ь«(хе+у'). Указ а н и е. Принять за начало координат данную неподвижную точку, Рис.
9. Рнс. 10. Рис. 11. а за положительное направление оси направление луча, идущего из данной точки в центр окружности. 332. Кардиоида (частный случ й улитки Паскаля) г=4а созе —, (х'+уз — 2ах)3= 4а' (хе+у') (рис. 12). У 2 ' а х (х — а)« 333. Строфоида г= — «- а 13«р„уз= (рис. 13). 334. г= соз «р " 2а — х ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ [ ззз а зщ 22р, (аз+уз)2=4азхзуз. 335. Астроида х=асоза А у=а мпз[; 2 2 2 ха+уз =аз (рис. 14). 336.
Верзьера Марии Аньези х=асозз~р, оз у=а [8йд х= уз )„аз ю где а — длина диаметра окружности (рис. 15). 337. Циклоида х=а(! — мп!), у=а(1 — сов[) (рис. !6). Параметр 1 принимает все действительные значения. 338. Эпициклоида х = ()1 -1- г) )с Й+г [2 — Г )Ссоз( — 2 сов — А у=()т+г) мп ! — г з!п — 1(рис. 17). 339.
Гипо- )2 — г г .. )1 — г циклоида х=(Р— г) сов !+2 с2м — А у=(Л вЂ” г) и!п ! — г мп — 1 г г (рис. !8). 341. Эвольвента окружности х=г(сов!+! мп !), у =г (мп !— — ( соз !) (рис. ! 9). 342. 1) х = О, у = О, 2=0; 2) х=а, у=Ь, а=с; 3) х -г.у=О. 343. х сов а+у сов 9+2 сову — Р=О. У к а з а н и е.
Выразить с помощью скалярного произведения числовое значение проенции вектора ОМ ка ось ОР, где М вЂ произвольн точка плоскости, а Р— основание перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала координат О. 344. !) х'+у'+22 )!2; 2) (х — а)24- Рис. 22, Рис.
21. / г 12 +(у — Ь)2+(г — с)2=Ам. 345. 22+уз=.гз. 346. ха+уз — ( — ) (х — Ь)2=0. 347. хз-1-Уз — 1822[22=0. 348. Уз+22=(йх+Ь)2 (конУс вРащениЯ, если Ь чьО; круглый цилиндр, если Ф=О, Ь~ 0). 349. х=а(х'+у') (пара- х2 уз+ гз болоид вращения) (рнс. 20). 350. 1) —, + 2 =1 (вытянутый эллип- х'+ 22 уз сонд вращения, рис. 2!); 2) + — =! (сжатый эллипсоид вра- У Ьз х2 уз+ 22 щения, рис. 22). 351. 1) — — = ! (двуполостный гиперболоид аз Ьз 22122 уз вращения, рнс. 2!); 2), — —,. =! (однополостный гиперболоид ьм 92 вращении, рис. 24). 352. уз+а'=2рх (параболоид вращения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
