1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Поверхности второго порядка Алекса н д р о в, гл. Х Х!7, 4 8. Е ф и м о в и Р о з е я д о р в, гл. Х [. 1. Поверхносдпдд второго порядка в дпочечнолд аффинном пространстве 1743. Пусть Я (х) — квадратичная функция векторного аргумента х, Е(х) — линейная функция, с — число. Доказать, по функция Я (х) + 2Е (х) + с при преобразовании переноса х †.-х' +ха принимает вид Я(х )=2(8(ха х')+[. (х')!+Я(хо)+25(хо)+с, % б. пОВеРхнОсти ВТОРОГО погядка 27З 1747 1 где В(х, у) — симметрическая билинейная функпия, соответствующая квадратичной форме Я(х). 1744*.
Пусть 0 — фиксированная точка аффянного пространства, х = ОМ вЂ” радиус-вектор п~оизвольной точки М с началом в точке О. Поверхностью второго порядка называется совокупность точек точечного аффинного пространства, радиусы-векторы которых удовлетворяют векторному уравнению О (х) + 2 !. (х) + с = О, где О(х) — квадратичная функпия, !. (х) — линейная функпия, с — число. Точка 0' называется пентром (непустой) поверхности второго порядка, если для каждой точки М поверхности точка М„ симметричная точке М опюсительно точки 0', также принадлежит этой поверхности.
Доказать, что точка О' с радиусом-вектором 00'=хб является пентром поверхности второго порядка тогда и только тогда, когда преобразованием переноса х=х' +хб уравнение поверхности приводится к виду Я (х')+с' = О, где с'=1 (х,)+с. 1746. Пусть О (х) + 2 !. (х) + с = Π— уравнение поверхности второго порядка в точечном аффинном пространстве', х=хб+!и — прямая. Найти значения параметра 1, которым соответствуют точки пересечения прямой и поверхности. 1746*. Пусть 0 (х) + 2 !. (х) + с = Π— уравнение поверхности второго порядка в точечном аффинном прострзнстве и и†вектор неасимптотического направления, т. е.
ьг(и) ~ О. Доказать, что середины хорд поверхности, параллельных вектору и, лежат в одной гиперплоскости. Эта гиперплоскость называется диаметральной гиперплоскостью,сопряженной направлению, определяемому вектором и. Написать уравнение этой гиперплоскости. 1747"'. Пусть О (х) + 2!. (х) + с = — Π— уравнение поверхности второго порядка в точечном аффинном пространстве, Хб — Радиус-вектор точки Мб, ПРинадлежашей 274 ГЛ. Х. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ 1788 этой поверхности и не являющейся ее пентрол!. Написать уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке М„. 1748["'.
Доказать, что: 1) если одна и та же поверхность второго порядка, заланная двумя уравнениями В(х) = Я (х)+ 2!. (х)+ с= О, Ва (х) = Я а (х) + 2!.а (х) + са = О, обладает тем свойством, что существует прял!ая, пересекающая эту поверхность ровно в двух различных точках, то суигесгвует число Л Ф О, для которого В*=ЛГ[ при этом утверждение верно также в том случае, когда поверхность является двойной гиперплоскостью; 2) если В=О и ВРИΠ— уравнения олной и той же поверхности второго порядка (удовлетворяющей одному из условий в 1)), заданной в п-мерном аффинпом пространстве, то соответствующие коэффимиент!я многочленов В и Ва пропорпиональны.
1749'". Локазать, что если в п-мерном точечном аффинном пространстве ввести аффинную систему координат с началом в ~очке О и базисом е„ ..., е„, то уравнение Я(х)+2! (х)+с=О поверхнос~и второго порядка примет вид а,аж[Х!+2~ Ьаж!+С=О, а=1 а', а=! где хп ..., х„— коорлинаты радиуса-вектора х=-ОМ точки М поверхносги, аа =В(еь е!), Ь[=Л(е!), причем В(х, у)— симметрическая билинейная функпия, соответствующая квадратичной функпии [„а(х). 17508. Пусть а[;х;х;+2~ Ьх,+с=О а, а=! а=! — уравнение поверхносги второго порядка, заданной в л-мер- ном точечном аффинноь! пространстве. 275 !Тб! 1 5 б ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА , Доказать, что: 1) координаты х,', ..., х"„ центра поверхности определяются из системы уравнений ~ а;ухт+Ь,=О, 1=1, 2, ...,л; 1=- ! 2) для того, чтобы поверхность второго порядка имела центр (не обязательно единственный), необходимо и достаточно, чтобы ранги матриц отличались не более, чем на 1; 3) если начало системы координат, не меняя ее базиса, перенести в центр 0' =.
†(х,", ..., х,",) поверхности второго порядка, то ее уравнение примет вид и ~ч~ ~а!1х;хг'+ с' = — О, сг= ! где с'= ~~Ь!х,'+с; 4) для того, чтобы поверхность второго порядка имела единственный центр, необходимо и досгагочно, чтобы определитель б матрицы А был отличен от нуля; в этом случае поверхность называется центральной; б) если начало системы координат, не меняя ее базиса, перенести в центр поверхности, то в том случае, когда юог центр единственный, уравнение поверхности примет вид Л а!1х,'х;+ — -= О, б С!=1 где 6 и Л вЂ” определители матрип Л и В соответственно.
1751"'. Доказать, что уравнение поверхности второго порядка, заданной в действительном л-иерном точечном аффинном пространстве, переходом к новой системе координаг (и, возможно, умножением обеих часгеи уравнения на — !) может быть приведено к одной из следующих нормальных форм: 276 Гл. х многомеРные пРостРА77ствл [ [752 (1) .,;-+...+х;- -;+, ... х.;=1, О=.И==г = .
При !7 =г=п поверхность называется действительным (п — 1)- мерным эллипсоидом; при 77 = О, г = п — мнимым (и — 1)-мерным эллипсоидом; при О ( л (г =п поверхность называется (п — 1)- мерным гиперболоидом; при г ( и — цилиндром иад соответствующей (г — 1)-меркой поверхностью. (И) х|+...+хл — хл+! —...— х,=о, 1 (г (п, 72~— г+! при г четном, 77 ) — при г нечетном.
При и ( г =п поверхность называется действительным (и — 1)-мерным конусом; при й = г = и — мнимым (и — 1)-мерным конусом; при г(п — цилиндром над (г — 1)-мерным конусом или конической поверхностью. (1П) х;+...+Хл — хАЯ, ! —...— х„'=2х,чм 1 =г~п — 1; г г — ! 72) — - при г четном, /г — при г нечетном. При г= — и — 1 2 2 поверхность называется (и — 1)-мерным параболоидом; при г ( и — 1 — цилиндром над соответствующим (г — 1)-мерным параболоидом. Во всех случаях (1), (И),(Ш) г — ранг квадратичной формы, входящей в состав миогочлеиа левой части уравнения поверхности. 1762а. Найти максимальную размерность плоскости„ содержащейся в поверхности второго порядка, заданной в п-мерном точечном аффиииом пространстве, если эта поверхность: (!) конус х,'+...+х', — хл, —...— х„'=О, 1([л(и[ (П) гипеРболоид х,'+...+хл — хлл» ! — ...
— х„' = 1, 1 ( (Iг(и; (111) параболоид х,'+...+хл — хь» ! —...— х„- |=2х„, 1(|т(и — 1. 1763е. Доказать, что две (иепустые) поверхности второго порядка, заданные в действительном п-мерном точечном аффинцом пространстве, аффинио эквивалентны тогда и только тогда, когда они приводятся к одной и той же нормальной форме с соответственно одинаковыми г и 77. 1764э. Поверхность второго порядка, заданная уравнением Р и )~~ а[гх[хт+2 '5;[77Х7+с=О !. |=1 л=! в п-мерном точечном аффиииом пространстве, называется цилиндрической, если в некоторой системе координат она $ б.
ПОВВРХНОСТН ВТОРОГО ПОРЯДКА 277 |УББ ) может быть ваш|сана уравнением с неполн|ыа! числом переменных. Показать: для того, чтобы поверхность второго порядка была пилиндрической, необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю как детерминант ап а|а а„! ...
а„„ Ь„ ь! ... ь. с многочлена, стояшего в левой части ее уравнения, так и де- терминант квадратичной формы этого многочлена. 175ба. Поверхность второго порядка задана уравнением а а Р= ~х', а||х|х +2 ~Ь|х|+с=О с|=1 |=1 в л-мерном точечном аффинном пространстве. Показать, что: 1) эта поверхность является конической тогда и только тогда, когда в некоторой системе координат ее уравнение не содержит ни членов первой степени относительно координат, ни свободного члена; в этом случае начало координат называется вершиной конической поверхности; 2) для того чтобы поверхность была конической, необходимо и достаточно, чтобы ранг г матрипы квадратичной формы а|тх|х7 |,|=! был равен рангу )с матрипы ап ...
а|а Ь, В= многочленз Р, стояшего в левой части уравнения поверхности; ГЛ. Х МНОГОЬ!ЕРНЫЕ ПРОСТРЛНСТВЛ 1 !7ББ 3) поверхность являе7ся конусом второ~о порядка тогда в !олько тогда, ко~да и некоторой аффинной системе координат многочлен Р, с!оящий в леной части ее уравнения, является квадратичной формой ранга и; 4) для того чтобы поверхность второго порядка была конусом, необходимо и достаточно, чтобы ап ... ал Ь, ат . !!ли Ьи Ь! ... Ьл с 5) кш7ус имеет едпнствешлую вершину, являвшуюся его единс7вепным не!стром; 6) если конус содержит точку М, отличную от его вершины О, тс все точки првмой ОЛ4 принадлежат этому конусу. 1756"'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
