1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Линейные операторы в произвольном векторном пространстве Ллекса здрав, гл. ХП, $ 6; гл. ХХЧ, 4 1. Гельфанд, гл. 11, Я9, 11. Е ф и м о в и Р о з е н д о р и, гл. ЧП, Я 1, 3 — 7. 1676е. Доказать, что если 1' — линейное отображение пространства Х на пространство У, то следуюшие условия попарно эквивалентны: 1) отображение 1" вааимно однозначно; 2) ядро отображения 1" равно О. Если пространство Х конечномерно, то каждому из этих условий эквивалентно следующее: 3) размерность образа пространства Х равна размерности самого пространства Х.
Если, кроме того, размерность пространства Х равна размерности пространства У, то каждому из предыдуших условий эквивалентно условие: 4) 1 есть отображение Х на )'. 2б2 ГЛ. Х. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ! Я77 1677. Доказать, что конечномерное пространство является суммой образа и ядра линейного оператора тогда и только тогда, когда их пересечение есп, О. 1678. Доказать, что если А — обрат7имый оператор, то всякое подпространство, н7щариантное относительно А, инвариантно и относительно А '. 1679. Пусть х является собственным вектором оператора А, соотзетсгвующим собственному значению А, и собственнь7м вектором оператора В, соответствующим собственному значению р.. Доказать, что х является собственным вектором: !) опера~оров А+В и АВ, соответствующим собственным значениям Х+р н ).р; 2) оператора сгА, где а — любое число, соответствующим собственному значению а); 3) оператора А , где и — натуральное число или О, соответствующим собственному значению 1."'; 4) оператора В(А), где  — многочлен, соответствующим собственному значению В(А).
1680в. Доказать, что если все векторы линейного пространства являются собственными векторами линейного оператора А, то все эти векторы соответствуют одному и тому 7ке собственному значению гг н линейнь7й оператор имеет вид Ах= ггх (гомотетия). !681"'. Найти матрипу С линейного оператора, переводящего линейно независимые векторы аг=-(атт, ..., ат„), а„=(авт.....
а„„) соответственно в векторы Ь, = (Ь„, ..., б,„) ь„=(ь„,, ..., ь„„). 1682. Найти линейный оператор, переводящий векторы ат=(2, 3, б, О), а,=(0, 1, 2, 0), аа=(1, О, О, О), ая=(0, О, О, !) 200 $ С ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !889 ! соответственно в векторы Ь,=.)1, 1, 1, О), Ь,=11, 1, — 1, О), Ьа=)2, 1, 2, О), Ь4=40, О, О, 2), 1688. Найти линеипый оператор, собственными значениями которо~о являются числа 2, — 3, 5, — 1, а соответствующие им собственные векторы суть 11, 1, 1, О), )2, 2, 1, О), 11,0,— 1,О),1О,О,О, !), 1684. Над ги базисы собственных подпространств линейных операторов, заданных в базисе ет= — 11, О, О, О), е, = = (О, 1, О, 0), еа= )О, О, 1, О), еб= 1О, О, О, !) следуюшими матрпнами: 72 ! 0 О, 2 0 0 0 72 0 0 0 ) '0 2 1 01 ) 0 2 1 1~ ) 0 2 0 0 0 0 2 ! ' 0 0 2 1 ' О 0 2 1 ~0 0 0 2У 80 0 0 2, ~0 0 0 2/ 72 0 0 0 ~0 2 0 0 ~)!О 0 2 О).
4,0 0 0 24 1686"'. Доказать, что если операторы А и В перестановочны, то всякое собственное подпространство оператора А является инвариантным подпространством для оператора В. 16868. Если сумма собственных подпространств оператора А совпадает со всем пространством и каждое собственное подпространство оператора А является инвариантным для оператора В, то А и В перестановочны. 1687. Если линеянып оператор А перестановочен со всеми линейными операторами, то Л=- ) В.
1688в. Доказать, что если собственное подпространство УА оперзгора Л, соотвегствуюшее собственному значению )., одномерно и оператор В перестановочен с А, то Ге содержится в собственном подпространстве !г„'оператора В, соогвегствуюшем собственному значению р оператора В.
1689. Доказать, что если собственные значения оператора А, заданного в л-мерном пространстве, попарно различны и оператор В перестановочен с А, то В имеет л линейно независимых собственных векторов. 264 ГЛ. Х. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ 1690 1690. Найти инвариантные подпространства оператора, заданного матрипей о о о — [ 1691*.
1) Доказать, что если линейный оператор, заданный в и-мерном пространстве, обладает одномерным инвариантным подпространством, то он обладает инвариантными подпространствами всех размерностей от 2 до и — 1. 2) Из существования (л — [)-мерного инвариантного подпространства следует существование одномерного инвариантного подпространства. 1692в. Доказать, что если все характеристические числа матрипы линейного оператора принадлежат полю, над которым построено линейное пространство, то каждое инвариантное подпространство содержит по крайней мере одно одномерное инваризнтное подпространство. 1693*. Доказать, что если и-мерное пространство [г обладает базисом, состоящим из собственных векторов линейного оператора А, то и всякое его инвариантное подпространство обладает базисом, состоящим из собственных векторов этого оператора.
1694в. Найти все инвариантные подпространства линейного оператора А, заданного в и-мерном пространстве имеющего л попарно различных собственных значений. Определить число всех инвариантных подпространств. 1695в. Пусть И= *Рт [+) [гя — предстзвление пространства [г в виде пРЯмой сУммы подпРостРапств Гт и Ия. Оператор А, заданный на пространстве У, называется симметрией относительно подпространства Ит в направлении если каждому вектору х=у+ г, у еи Ь;, г е У„ ставится в соответствие вектор х' =у — л. Доказать, что: 1) оператор А линейный; 2) для того, чтобы линейный оперзтор А был инволюпионным, необходимо и достаточно„ чтобы он был симметрией относительно Р'1 в направлении [гя.
1696в. ПУсть Ь'= [гт ~® 'Ря — пРедставление пРостРанства У в виде прямой суммы поцпространств Ит и [гя. Оператор А, заданный на пространстве К называется проектированием пРостРанства Ь' на подпРостРанство Рт паРаллельно если каждому вектору х =-у + г, у е= ['т, г е= ['я„ ставится в соответствие вектор у.
1704 1 % 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ . 1) )1оказать, что оператор А линейный. 2) )1ля того чтобы линейный оператор был идемпотентным (т. е. А'=А), необходимо и достаточно, чтобы он был проектированием пространства $' на подпространство 1>1 параллельно 1га. 1697. Показать, что если хт, хя, ..., хь — собственные векторы линейного оператора А, соответствующие попарно различным собственным значениям, и а>, ая, ..., а„ вЂ” числа, не равные нулю, то вектор у=адх>+азха+...+азха не является собственным вектором оперзтора А. 1698".
Найти матрицу линейного оператора, заданного в четырехмерном пространстве, имеющего ровно три одномерных инвариантных подпрострзнства, базисами которых служат векторы е> = 11, О, О, О), ея= 10, 1, О, О), еа= 10, О, 1, О), соответствующие собственным значениям 1, 2, 3. 1699з. Найти все инвариантные подпространства линейного оператора у>=ах>+ха, у,=ах,+х„..., у„т= = ахя 1+х„, у„=ах задзнного в базисе ет, ..., е„. 1700". Пусть А — линейный оператор, заданный в векторном пространстве Ъ", Π— гиперплоскость, все векторы которой являются инвариантными по отношению к оператору А; х — вектор, не принадлежащий Н, Ах — его образ, который можно предстзвить в виде Ах=Ах+у, где у ее>Ч.
Показать, что для всякого х ф Н число Х не зависит от вектора х. 1701з. Локазать, что если аннулируюший многочлен оператора А имеет степень >1, то любой вектор пространства принадлежит инвариантному относительно А подпространству, размерность которого не больше л. 1702. Если оператор Аа имеет собственный вектор с неотрицательным собственным значением, то оператор А имеет собственный вектор. 1703з. Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат полю, над которым построено линейное пространство, и оператор имеет только одно одномерное инвзриантное подпространство, то все пространство не может быть представлено в виде пряьюй суммы инвариантных подпространств, каждое из которых отлично от нулевого подпространства. 1704'".
Показать, что если А и В в линейные операторы, то всякое отличное от нуля собственное значение оператора АВ является собственным значением оператора ВА. гл. х. многол|| иные ппостглнстВА [ |705 1705. Доказать, что если линейный оператор, заданный в и-мерном пространстве, обладает единственным характеристическим числом сл и единственным одномерным инвариаптным подпространством с базисом е,, то суп|ествует базис, в котором мзтрица этого оператора имеет вид и 1 О ...
О О О и 1 ... О О о о о ... а О О О ... О и 1«жорданова клетка«). 2. Линейные операторы в евклидовом векторном пространстве А л е к с а н д р о в, гл. Х ХЧ, Ц 2, 5, 6. Г е л ь ф а и д, гл. 11, 6 16, пп. 1, 2, 5. Ефимов и Р о з е в а о р н, гл. [Х, Я 1 — 3, 7, В, 11, 1706. Найти матрицу преобразования, являющегося ортогональным проектированием четырехмерного пространства на плоскость х, +х,+х,+х,=О. 1707. Найти матрипу преобразования ортогонального проектировзния четырехмерного пространства на двумерное подпространство х|+хв+ха=о, хл — — О.
1708. Найти матрицу преобразования симметрии четырехмерного пространства относительно прямой х,=х„=ха=хе 1709. Найти матрицу преобразования симметрии четырехмерного пространства односительно двумерного подпространства хт+х«=0, хв+х«=0. 1710"'. Доказать, что: 1) для того чтобы линейный оператор переводил каждый вектор пространства в вектор, ему ортогональный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор был кососимметрическпм; 2) в трехмерном пространстве лвнейный оператор, переводя|ций каждый вектор в вектор, ел|у ортогональный, яв- 267 ннв 1 $4, линейные опегатояы ляется векторным умножением постоянного вектора а на произвольный векгор; 3) в случае двумерного пространства линепныи оператор, переводящий каждып вектор в вектор, ему ортогональный, является произведением поворота всех векторов пространства в одном направлении на угол и!2 и гомотетии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
