1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В пространстве введена проектнвная система координат А,А,А,А4Е. 1) Нзйти проективное преобразовзние, при котором точки Ад, А,, Аа, А4 переходят соответственно в точки Ам А,, А4, Аа и точка Е инварнан'!на. 2) Найти ипварнантные точки, инвариантные плоскости и инвариантные прямые этого преобразования. 3) Какие проектнвные преобразования порождаются этим преобразованием на прямых А,Аа и АаА,? 1558*.
В пространстве введена проективная система кооРдинзт А,АаАаА4Е. 1) К!айги проективное преобразование, при котором точки Ад, Аа Аа, А4 переходят соответственно в точки А„ Аа, А4, Ад и точка Е инваРиантна. 239 $5, пРОектиВНОе пРОстРАнстВО 1550 ] ]гх1= аыхт+ аыхз+ атз ха+ аыхм тзхз=азтхд+аззх +азах,+а„х„, гхЗ = аз1х1 + аззхз + аззха + аззха лхз — — азгхт+ аззхз+ аыхз+ а„хз.
Пусть а,д — Х аы азз "зз азз — А Х(А) = а„ азз азз — Х ам — характеристический полипом матрицы агз азз аы ам азз ам 1] азз а,з аз 5 азз азз азз этого преобразования. Локазать, что: 1) кооРДинаты хз:хз:хз:хз инваРиантных точек этого преобразования определяются из системы уравнений (а„— А) хз+ атзхз + атзхз+ атзхз = О, амхз+ (азз — ] ) хз+ аз,хз+ аззхз =. О, 11агхз+ аыиз+(азз ]) ха+ аззхз — — О, агахз + аыхз + аззхз + (азз — Х) хз = О, где Х вЂ” корень характеристического полинома: 2) Найти инвариантные точки, инвариантные плоскости и инвариантные прямые этого преобразования. 3) Какие проективные преобразовзния порождаются рассматриваемым преобразованием нз его инвариантиых прямых? 1669*..Пусть и и а в две различные плоскости, а О и Π— две различные точки, не лежаптие иа плоскостях л и а.
Пусть Л вЂ” произвольная точка плоскости гг, Р— точка пересечения прямой ОМ с плоскостью а, М вЂ” точка пересечения прямой О'Р с плоскостью и. Локазать. что преобразование, при котором точке М ставится в соответствие точка М; является гиперболической гомологией, осью которой является прямая пересечения плоскостей и и а, а центром — точка пересечения прямой ОО' с плоскостью и. 1660а. Лано проективное преобразование: 24О ГЛ. !Х. ПРОЕКТИВ!ЧАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 133! 2) координаты иэ: и,: пз. пэ инварпантных плоскостей находятся из системы (а!1 — Л) ат + аэтпэ + аз!из + аапз — — О, аээпт + (аээ — Л) из+ азэяэ + аээпэ = О, аээпэ+ аэзпэ+ (азз — Л) 'гз+ аэзпэ —— — О, аээпт + аээаэ + аээиз + (аы — Л) аэ — — О, (2) где Л вЂ” корень того тке характеристического полинома; 3) если Л вЂ” прос~ои корень характеристического поли- нома, то соответствующие ему инвариантная точка и плоскость, определяемые из систем (1) и (2), не инцидентны.
1561э. Лано проекпэвное преобразование: 'эх! а11 х1+ а1эх2 + а13хэ + а14х4 1гхэ' =- а„х, + а„хэ+ аээх, + а,эхэ, 'г! 3 а31х1+ а321 2+ аээхэ+ а34х4 'эх4 а41 11 + аээхз + а43хэ+ а44хэ. Пусть ап — Л а12 а!э аз э — Л аэ! а э! азэ — Л Х(Л)= а31 ам аээ Л а41 а42 а43 — характеристический полипом матрицы га11 А=-~ "" , ам аэ, аээ а!з а14 аээ 'гзэ '!24 аэ2 азз а34 этого преобразования. Найти капоническип внд этого преобразования в зависимости от корней Л„ Лз, Лз Лэ характеристического полипома и ранга матрицы А — ЛО в случае, если Л вЂ” кратный корень характерпспщеского полшюма.
Рассчо!.реть следующие случаи: 1) Лэ Лэ, Л,, Л вЂ” действительные и простые корни; 2) Лт Лэ действи гелю!ые и различш!е корни; Л„Л4 комплексные сопрям!енные корни: Л,,=сэ 1-РЛ Р ~ О; 3) Л1 Лз Лэ, Л,— комплексные простые корни: Лээ=сэ-4-р!', Р ~ О; Л,, =-' у: 66 б ~ О; 4) Л! и Лэ — действительные и простые корпи, Л,=Л,=З, К3 (А — эЕ) =.=- 3; 241 % 6. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1663 ) о'. Корреляции. Поляритлетл 1563.
Корреляпией или коррелятивным преобразованием проекгивного пространства называется отображение множества всех точек пространства на множество всех его плоскостей, определяемое соотношениями: Л411 а11ж1 + а12ж2 + а13жз + а14мз Л412 = аззхт+ аззхз+ аззхз + аз,жз, Лид а31 ~1 + азз ез+ аззез+ аззм4 Ли4 1141ж1+ азз ез+ аьз ~3+ 1144ж4' а11 а„ам а„ ам азз аьз азз азз азз азз ам ан азз аз, азз -н О, 5) Лз и ЛЗ вЂ” действительные и простые корни, ЛЗ вЂ” — ), =3, К6(А — ЗЕ)=2; 6) Лз=Л,=З вЂ” действительные корни, Л,, Л,— комплексные сопряженные корни: Лзл — — а-+ р6 )) 4:О, Кд(А — зЕ)=3; 7) Лт=ЛЗ=З вЂ” действительные корни, Л,, Л4 — комплексные сопряженные корни: Лз 4=а:~.~1) р 4:О, Ке(А — зЕ) — 2; 8) Л„Л46 Лз, Л4 — дейсгвительные корни, Лз — — Лз = 3 4- Лз = = Лз — — 6 Ка(А — 3Е)=-3, Ке(А — гЕ)=3; 9) Лзд Лм ЛЗ Л, — действительные корни, ЛЗ=-Л,=3 4 Л, = = Л,=~, К~(А — ЗЕ)=3, Кд(А — 1Е)=2; 10) Л„ЛЗ, Л„Л вЂ” действительные корни, Лз=ЛЗ=DŽ— ь 4: ЛЗ вЂ” Л,=Е Кез(А — ЗЕ) =-Ке(А — ТЕ)=2; 11) Л;, Л,, Л,, Л4 — комплексные корни, Л,=Л,=-З = = и+р), ЛЗ=Л =с=а — ))6 )1 4:О, К6(А — ЗЕ)= = К6 (А — 1Е) = 3; 12) Л„Л„„Л„Л вЂ” комплексные корни, Л, =Л,=3 =- = а+ рг, Лз — — Лз=г=сс — рй р Ф О, Ки(А — 6Е)=— = К6 (А — гЕ) 2; 13) Л, = Лз = Лз = з 4= Лз, К и (А — 3 Е) =- 3; 14) Лз=Л,=ЛЗ=-=3 4: Лз, Кн(А — ЗЕ)=2; 15) Лз= Лз — — Лз=з ~ Л, Кд(А — ЗЕ)=1; 16) Л,=Л,=ЛЗ=Л, =3, К6(А — ЗЕ)=3; 17) Лт —— ЛЗ=ЛЗ=Л4=3 К6(А — ЗЕ)=2; 18) Л,==-ЛЗ=Л,=-Л,=З, К6(А — ЗЕ)=1; 19) Л = ЛЗ=ЛЗ= Л ==3, Кп(А — ЗЕ)=0.
1562"'.!-!айти ннвариантные точки, инвариантные плоскости и злнвариангные прямые проективного преобразования, заданного в канонической системе координат А,А,А,А,Е в зависимости от канонического вида этого преобразования (см. задачу 1561). 242 ГЛ.!Х.ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 !464 где х,: хэ: хг: хэ — координаты произвольной точки пространства, а и,: иэ: иэ: и — координаты плоскости, соответствующей этой точке. Локзаат!ь чго прп корреляции: 1) четырем точкам, лежащим в одной плоскости, соответствуют четыре плоскости, проходящие через одну точку; 2) четыре плоскости,проходящие через одну точку, соответствуют четырем точкам, лежащим в одной плоскости; 3) трем точкам, лежащим нз одной прямоИ, соответствуют три плоскости, проходящие через одну прямую; 4) три плоскости, проходящие через одну прямую, соответшвуют трем точкам, лежащим на одной прямоИ. 1564.
Локааагь, что если множеству точек плоскосги [е1: еэг из.'пэ] при корреляции )гат = аых, + атэХ, + а,зХз + ат,хэ, йл, = а„х, + аззхэ + аэзхз + а,эхэ, )а!э = азтхт+ аз,ха + аззхз+ аээхэ, )лэ= аэтх, + аэзха+ а эха+ аээхэ соответствует связка плоскостей с центром (У1'.Уэ'.Уэ'У4), то ).ет = аму, + аыУэ+ азтУз+ аэаУР ) оз = атэУ1+ азэУэ+ азэУэ+ аэзУ4 ) пз = атэУ1+ аээУэ + аэзУэ+ аээУ4 ) па = — аыУ1+ аэ4Уз+ аээУэ+ а44У4. 1565. Найти корреляцию проективного пространства, при которои каждой точке (Х1: х,: хэ: хэ) соответствует плоскость [а,:иэ:и,:и4], проходящая через эту точку.
1566э. Корреляция Ы1 —— аыхт+ а!эха+ а!эха+ ат х, Ь!э — аатхт+ аэзхэ+ аээхэ+ аг4хэ )Ятэ =- азтхг+ азэ 1 э + аэзхз+ аз!ха, Ь!4 = а41Х1 + а41Хэ + а4ЗХэ + а44Х4 243 $5. ПРОЕКТИВНОВ ПРОСТРАНСТВО 1588 1 называется поляритетом П, если матрвпа ап агг а„а„ ам азг а„а„ 1112 а14 г азз ам азз агг/ а44 1144 Лиг — — аггхг+ агзхз+ агзхз+ а14хз, Лаз = аз,х, + а„хз+ аззхз+ а„хз, Лггз = аагх, + азах, + аззхз + аззх,, Ли4 а41х1+ а42х2+ аззхз+ аззхз При каком необходимом и достаточном условии будут пог лярпо сопряжены: 1) две точки (хг:хз:хз:х4) и (уг.'Уз'.Уз'.Уз); 2) две плоскости [иг: из: из . из) и 1ог г из 1 из 1 В41г является симметричной.
Доказать, чго: 1) если плоскость сз является образом точки А при поляритете П и  — точка, лежангая в плоскости 55, то точке В соответствует плоскость р, проходящая через точку А; 2) если при корреляпии произвольной точке А соответствует плоскость сг и любой точке В, лежапгей в плоскости а, соответствует плоскосгь 1), проходящая через точку А, то этз корреляпия есть поляритет. Если точке А при поляритете соответствует плоскость 55, то точка А называется полюсом плоскости а при поляритете П, а плоскость 55 называется полярной плоскостью точки А (при поляритете П).
1667*. Доказать, что если прн корреляпии каждой вершине тетраэдра А,А2АзА, соответствует противолежащая еп грань, то такая корреляпия является поляритетом. 1668". Точки А и В называются полярно сопряженными при поляритете П, если каждая из этих точек лежит на полярной плоскости другой точки. Плоскости а и р называются полярно сопряженными при поляритете П, если каждая из этих плоскостей проходит через полюс другой плоскости.
Дан поляритет проективного прострзнства: 244 ГЛ. 1Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 1569 4. Поверхноппп второго порядка в проеклп1вном проетрантлве А л е к с а и д р о в, гл. Х Х Ш, 44 4 — 8. М о д е в о в, гл. Х Ч, Ц 212 — 217. 1569еч В проективно-аффинном пространстве введена аффинная система координат Охуг. Какими несобственными точками надо дополнить: 1) двуполостный гиперболоид хе уя ге "+ь 2) эллиптический параболоид л2 уе — + — =2г, р)0, д)0, Р Ч для получения овальной поверхности второго порядка7 Какими несобственными точками надо дополнить'.
3) однополостный гиперболоид ле уе гя 4) гиперболический параболоид Ве — — — =2г, р)0, д)0, Р Ч для получения тороидальной поверхности второго порядка? Какими несобственными точкаа1и надо дополнить 5) конус ля уа ее — + — — — --=0; ае+Тя сь 6) эллиптический пилиндр х' 'у' —,, + — а=1; 7) гиперболический пилиндр 8) параболический пилиндр уа =- 2рх 245 1572 1 5 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО для получения действительного конуса второго порядка в проективно-аффинном прострзнстве? !570з. Най~и в однородных координатах проективное преобразование проективно-аффинного пространства, при котором 1) двуполостный гиперболоид „я+ я а и 2) эллиптический пзраболоид 2а=ха+уа, дополненные несобственными точками до овальных поверхностей второго порядка, преобразуются в эллипсоид ха+уз+ ая Как преобразуются при этих преобразованиях собственные точки проективно-аффинного прос7ранства? 1Б71з.
Найти в однородных координатах проективное преобразование проективно-аффинного пространства, при котором однополостный гиперболоид ха+у' — зз = 1, дополненный несобственными точками до тороидальной поверхности второго порядка, переходит в гиперболический параболоид 2з=хз — уз, дополненный несобственными точками до тороидальной поверхности второго порядкз. Как преобразуются при этом преобразовании собственные точки проективно-аффинного пространства? 1572. Определить проективный класс следу7огдих поверхностей второго порядка: 1) х-", + 2х„'+ Зх'+ 2хт+ 2хтхя+ 2хтхз+ 2хтха+ + 4хяхз+ 4хях4 + бхаха —— О; 2) х, + 2х'+ х' — Зх4+ 2х ха+ 2хтха+ 2хтха+ + 4хаха+ 4хаха = О; 3) х,'+ 2хя'+ ха+ Х4+ 2хтх, + 2хтхз+ 2хтха+ + 4хяха+ 4хяха+ 2хзх4 = О; 4) 2х,' — Зх',— х„' — хтх,— х,х,— Зх,х,+4х,х4 — — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
