1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 45
Текст из файла (страница 45)
1634. Относительно ортонормального базиса пятимерного пРостРзнстза дана гипеРплоскость хт — х, — 2ха + хе=О. Найти новый ортонормальный базис, первые четыре вектора которого лежали бы в данной гиперплоскости. 257 !зяз! 1 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 1636. Дана гиперплоскость 2хт — 2х,— хв+х,=О и вектор х=(2, О, 4, 6». Представить вектор х в виде суммы двух векторов у и л так, чтобы вектор у лежал в данной гиперплоскости, а вектор л был к ней ортогонален. 1636. Пусть Ро — подпространство евклидова пространства 1х, хн х,— векторы из Р' и ха=у!+в„ха=уз+в„ причем векторы уп уз принадлежат 1", а вп лз ортогональны к ь'.
Доказать, что евни х,— х, пРинадлежит У', то В!=за. 1637е. Доказать, что если А и  — подпространства евклидова пространства, причем г = где А ( дзш В = з, то В В содержится подпространство С, ортогональное к А, такое, что гйтС)з — г*). 1638*. Доказать, что если А и  — подпространства евклидова пространства одинаковой (конечной) размерности и в В содержится ненулевой вектор, ортогональный к А, то и А содержит вектор, ортогональный к В. 1639.
Пусть Ро — подпространство евклидова пространства 1х, х — вектор, не принадлежащий Ъ", у — его ортогональная проекция на 1х'. Доказать: для того чтобы вектор и, принадлежащий 1l', был ортогонален к вектору х, необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален к вектору у. 1640. Найти ортогональную проекцию вектора (4, — 1, — 3, 4» на подпространство, заданное своим базисом (1, 1, 1,1»,(1,2,2, — 1». 1641. Найти ортогональную проекцию вектора (7, — 4, — 1, 2» на подпространство, заданное системой уравнений 2хт+ хз+ ха+ Зх„=б, Зхт+2хз+2ха+ х =О. »( 1642.
Найти ортогональную проекцию у вектора х евклидова пространства 1l на подпространство к", заданное своим базисом Ьт, ..., Ь„если базис Ьт, ..., Ь;! 1) ортонормальный; 2) произвольный. 1643н. Пусть о" — подпространство евклидова пространства 1х и х — вектор, не принадлежащий 1'. 1) Доказать, что из всех векторов подпространства )п наименьший угол !р с вектором х образует вектор у, являющийся ортогональной проекцией вектора х на подпространство 1l'. *) Символам д!ВПА обозначается размерность пространства А. 9 П. С.
Моненоа, А, С, Пархоменко 288 ГЛ. К. ИНОГОМГРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ 1444 2) Найти угол гр, образуемый вектором х с его ортогональной проекпней у на подпространсгво Г. 1644. Най4и угол между вектором (2, 2, 1, 1( и подпространстзом, заданным своим базисом (3, 4, — 4, — 1(, (О, 1,— 1, 2).
1645. Найти' угол между прямой хт — — хя хз = х4, хя — — 2хз и плоскостью Зхт — 2хя+ х4 —— — О, ха+ хз — — О. 1646в. 1) Доказать, что все векторы подпространства с базисом (1, 1, 1, 1(, (1, — 1, 1, — 1( образуют с подпространством, натянутым на векторы ет=(1, О, О, О(, е, = = (О, 1, О, О(, один и тот же угол. 2) Найти этот угол. 1647з. Нзйти угол между подпространствами А и В евклидова пространства. 1648*. Найти угол, образуемый с подпространством, натянУтылг на вектоР44 е,= (1, О, О, О(, еа= (О, 1, О, О), подпРО- странствами, натянутыми на векторы а„ а„ в каждом из следующих случаев: 1) ат=(2, 3, 1, 6(, ая=-(3, 2, — 6, — 1(; 2) а,=-(1, 2„1, 2(, а,=(2, 1, — 2, — 1(; З) а,=(1, 1, 1, 1(, а,=(1, 1, З, — 5(; 4) а,=(1, О, 2, 2(, аз=(0, 1, 1, — 1(; б) а,=-(1, 1, 1, 1(, а,=(1, — 1, 7, — 7(.
1649в. Найти угол между подпространствами четырехмерного евклидова пространства, одно нз которых натянуто на векторы (1, 1, 1, 1(, (1, — 1, 1, — 1(, а другое — на векторы ( 2, 2, 1, О(, ( 1, — 2, 2, О(. 1656з. Пусть и и и' — 74-44ерные подпространства евклидова пространства, пересечение которыя есть О; а„..., пав ненулевые попарно ортогональные векторы подпространства ий а'„ ..., аь — их ортогонзльные проекпии на подпространство л', также попарно ортогональные друг .другу. Доказать, что если векторы а„ ..., а» образуют с подпространством и' равные углы, то и все векторы подпространства и образуют с 44' один и тот же угол.
$3. ЕБКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 1бб1 1 1651. В евклидовом пространстве даны два подпространства А и В размерности Уг, пересечение которых есть О, имею1нпе оргопормальные базисы ат, ..., аб, Ь„ ..., ЬА СООтвЕтСтвеннО. В подпространсгле А найти такой ортогональный базис, ортогональные проекции векторов кого- рого нз подпространсгво В образуют ортогональную систему. 2. Точечные евклаоовы пространства 1652":. Доказать, что если А, В, С вЂ” три точки евклидова пространства и р (А, В), р (В, С), р (С, А) — расстояния между ними, то р(А, С)(р(А, В)+р(В, С), причем равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы АВ и ВС ьоллинеарны и одинаково направлены. 1653.
Найти длину диагонали п-мерного куба с ребром а. 1664. Найти огношение ортогональной проекции ребра п-мерного куба на его диагональ к диагонали куба. 1655". Четырехмерный куб задан неравенствами — 1 ~ -=хг(1, 1.=-1, 2, 3, 4. Найти диагонали этого куба, перпендикулярные к его диагонали хт=хя=ха=хм и определить углы между ними. 1656б. 1.!айти число диагоналей и-мерного куба, перпендикулярных к одной и той же его диагонали. 1657.
Найти угол между диагональю четырехмерного куба и его одномерной, цвумерной и трехмерной грапямн. 1668. Найти угол между диагональю и-мерного куба и его и-мерной гранью. 1659. 1) Доказать, что гиперплоскосггь проведенная через коншя и ребер и-мерного куба, выхоцяших из одной его вершины, перпендикулярна к циагонали куба, выходящей из той же вершины. 2) Найти расстояние от вершины куба до этой гнперплоскости, если ребро куба равно а.
1660в. Доказать, по из всякой точки пространства, пе принадлежащей плоскости, можно опустить на эту плоскость перпендикуляр и притом только один. Длина этого перпендикуляра меньше цлюпя ка1кдого отрезка, соединяющего данную точку с произвольной точкой плоскости. 1661б. Доказать, что если две плоскости пе имеют об1цих точек, то существует прямая, являкнцаяся об1цим перпендикуляром к обеим плоскостям. Если йлоскости абсолютно 9* ГЛ. Х. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ 1ббэ скрещиваются*), то такая прямая единственна.
Длина общего перпендикуляра меньше длины каждого отрезка, концы которого находятся в данных плоскостях. 1662. Найти длину и основание перпендикулярз, опушенного из точки А4=(5, 1, О, 8) на нлоскостбь проходящую через три точки: А=(1, 2, 3, 4), В=(2, 3, 4, 5), С=(2, 2, 3, 7). 1663. Найти длину и основание перпендикуляра, опушенного из точки 34=(4, 2, — 5, 1) на плоскость, заданную системой уравнений 2х, — 2хв+ хэ+ 2х, = 9, ~ 2хт — 4хя+ 2хб+ Зх =! 2. / 1664". Плоскость проходит через три точки А =(1, 1, 1, 1), В=(2, 2, О, 0), С=(1, 2, О, 1), а прямая — через две точки: 77=(1, 1, 1, 2)„Е=(1, 1, 2, 1).
Определить взаимное расположение прямой и плоскости, написать уравнения и найти длину их общего перпендикуляра. 1665*. Плоскость проходит через три точки: А =(1, 1, 1, 1), В=(3,0, 1, 1), С=(1, 1,— 1, 2), а прямая — через две точки: 77=(4, 2, 1, 6), Е=.-(0, 4, 5, 4). Определить взаимное расположение прямой и плоскости и найти расстояние между ними.
1666"'. Ланы две плоскости: первая плоскость проходит через точки Ат =(4, 5, 3, 2), Вт — — (5, 7, 5, 4), Ст — — (6, 3, 4, 4), а вторая — через точки Аб=(1,— 2,1, — 3), Вб=(3, — 2, 3, — 2), С,=(2, — 4, 1, — 4). Определить взаимное расположение этих плоскостей и найти расстояние между ними. 1667"'. Найти кратчайшее расстояние между двумерной гранью единичного четырехмерного куба и его диагональю, не пересекающей эту грань. 1668. Найти расстояние от точки (х,', ..., х,',) л-мерного евклидова пространства до гиперплоскости атхт+...+а„х„+5=0.
1669. Найти расстояние-7г от начала координат до гиперплоскости, отсекаюшей на осях прямоугольной системы координат отрезки ап ..., а„. *) Две плоскости называются абсолютно скрещивающимися, если оии не имеют общих точек, и не существует двух параллельных прямых, принадлежащих соответственно этим плоскостям. 261 %». линеиные опеРЛТОРы 1»те 1 1670. Найти расстояние от точки (Ьт, ..., Ь„) и-мерного евклидова пространства до прямой х»= ат+ Ц(,... ..., е„=а„+ )ч,б 1671е. Векторы а;, ам..., а„;, а„, отложенные от одной точки, служат ребрами л-мериого параллелепипеда. Найти высоту этого параллелепипеда, принимая за его основание (и — 1)-мерный параллелепипед, построенный на векторах а», а„ ..., а„ и 1672е. Доказать, что прямая, соединяюшая пентры двух противоположных граней правильного симплекса, перпендикулярна к этим граням. 1673е.
Найти расстояние Ь между й-мерной гранью правильного симплекса с ребром 1 и противоположной ей (и — й — 1)-мерной гранью. 1674е. Найти Угол междУ двУмеРными гРзнЯми А»А,А» и А»А»А» пРавильного четыРехмеРного симплекса А»А»А,А»А». 1676. Написать формулы преобразования прямоугольных координат четырехмерного пространства, зная, что начала координат обеих систем различны, а копны соответствующих базисных векторов реперов этих систем совпадают. ф 4. Линейные операторы 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
