1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 47
Текст из файла (страница 47)
1711. Локазать, что если А — самосопря>кенныи оператор, заданный в евклицовом пространстве К то 11 представляется в виде прямой суммы ядра и области значений этого оперзтора. 1712. Локазатес для того, чтобы произведение двух само- сопряженных операторов было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы эти операторы были перестановочны.
1713. Локачатгс для того, чтобы оператор симметрии евклидова пространства У относительно подпространства $'т в направлении подпространства Гя был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы подпространства Ут и были ортогональны. 1714». Локазатгс для того, чтобы оперзтор проектирования пространства Г на подпространство )'г в направлении подпрострапства $', был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы подпространствз ~'т и )г, были ортогональны. 1715.
Г!усть А — линейный оператор, заданный в евклидовом пространстве К, и А" — оператор, ему сопряженный. Локазатть что: 1) если е — собсгвенныи вектор оператора А"А и х— вектор,ортогональныи к е, то векторы Ае и Ахортогональны; 2) если для каждого вектора х, ортогонзльного к вектору е, векторы Ае и Ах ортогональны, то вектор е является собственным вектором оператора А"А. 1716". Локазатгя для того, чтобы линейный оператор А, заданный в конечномерном евклидовом пространстве, переводил ортогональный базис пространства в ортогональную систему векторов, необходимо и достаточно, чтобы векторы этого базиса были собственными векторами оператора А*А, где А" — оператор, сопряженныи к А.
1717*. Локазать, что отображение евклидова пространства 'на себя, при котором сохраняется скалярное произведение каждых двух векторов, является линейным. 1718"'. Локазатгь что отображение евклидова пространства на себя, сохраняющее модуль разности каждых двух векторов, является линейным. Гл. х, многомгРпыс пРОстРлнствл 1 17!9 3. Изометрические преобразовании в точечном евклидовом пространстве 1719. Пусть Š— евклидово прострзнство; Π— точка пространства Е; 17 в соответствую1цее прострзнству Е векторное пространство; у=- Ах'+ Ь вЂ” изометрическое преобразование пространства Е; 171 — собственное подпространство пространсгва К соответствующее собственному значению + ! оператора А, определенного на пространстве К Ъ'я — ортогональное дополнение подпространства 171; Ь= Ь, + Ь, — представление вектора Ь в виде суммы векторов Ь, я 171 и Ь, е= 1'м Локазать, что в плоскости пя, определяемой точкой О н подпространством 17„ найдется точка О' такая, что исходное преобразование будет иметь вид у' =Ах' + Ьт, где Ь, — вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора Ь на подпространство 1720.
Доказагь: для того, чтобы изометрическое преобразованиеу=Ах+ Ь точечного евклидова пространства Е имело инвариантную точку, необходимо и достаточно, чтобы вектор переноса Ь был ортогонален к собственному векторному подпространству !ст, соответствующему собственному знзчению + 1 оператора А.
1721. Докззать, что всякое изометрическое преобразование точечного евклидова пространства обладает либо инвариантной точкой, либо инвариантной прямой. й 6. Линейные, билинейные и квадратичные функции 1. Линейные функции Александров, гл. ХП!, $ 1. Гельфанд, гл. 1, З 4, и.
1. Е ф и м о в и Р о з е н д о р и, гл. 1Ч, З!. 1722. )(оказать, что: 1) если х= 1хт, ..., х„) †вект и-мерного линейного пространства, то функиия 7 (х)=хт есть линейная функция вектора х; 2) всякую линейную функцию 1(х), заданную в и-мерном пространстве, надлежащим выбором базиса можно привести к виду 1(х)=х„ где хт, — первая координата вектора х = = !х„..., х„).
272715 5. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕИНЫЕ, КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 269 17232'. Доказатть что: 1) ядро ненулевой линейной функции есть подпространство коразмерности 1; 2) всякое подпространство коразмерпости 1 является ядром ненулевой линейной функции (говорят, что подпространство имеет корззмерность 1, если все пространство представимо в виде прямой суммы этого подпространства и подпространства размерности 1).
1724е. Докззать, что две ненулевые линейные функции Бд(х) и Бя(х) имеют одно и то же ядро тогда и только тогда, когда с.е(х)=лс.д(х). 172бе. Доказать, что если проиаведение двух линейных функций, заданных на векторном пространстве, тождественно равно нулю, то по крайней мере одна из этих функций тождественно равна нулю. 2, Билинейные функции Александров, гл. Х111, Я 2 — 5.
Гельфанд, гл. 1, 44, пп. 2 — 4. Ефимов и Ро вен дор н, гл. 1Ч, Я 2, 3. 1726е. Доказатдя для того, чтобы билинейная функция, заданная в конечномерпом пространстве, представлялась в виде произведения двух линейных функций, необход(имо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой билинейной функции был равен 1. 1727в. Доказать, что: 1) всякую несимметрическую билинейную форму ранга 1 надлежашим выбором базиса можно привести к виду Ь(х, у) =хду„ где хд — первая координата вектора х, а у, — вторая координата вектора у; 2) всякую симметрическую билинейную форму ранга 1 надлежащим выбором базиса можно привести к виду Ь(х, у)= = + хдуд, где хд — первая координата вектора х, а уд — первая координата вектора у. 1728е.
Доказать, что если Ь(х, у) — билинейная функция, определенная на пространстве 17 и невырожденная на его ко- 270 Гл. х. многомерные пРОстРАнстВА ! 1724 нечномерном подпространстве !71, то )7 есть прямая сумма подпространств !', и !72, где !/2 — множество векторов у подпространства )7, обладающих тем свойством, что Ь (х, у) = 0 для всякого вектора х ~ !7Р 1729. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы билинейная функция Ь(х, у) обращалась в нуль при у=х для всякого вектора. 1730. Доказать, что ненулевой симметрической билинейной функции соответствует ненулевзя квадратичная функция. 1731з. 4(оказатль что если Ь(х, у) — ненулевая билинейная функция, облздакяпая тем свойством, что для любых векторов х, у, удовлетворяющих условию Ь(х, у)=0, выполняется равенство Ь(у, х)=0, то функция Ь(х, у) является или симл1етрической или кососимметрической. 17324, В четырехмерном пространстве дана кососимметрическая билинейная форма Х1У2 Х2У1 + Хтуз Хаут + Х1У4 Хеут + Хеуз Х2У2 + + Х2У4 — Х4 Р2 + ХЗУ4 — Х4уз' Найти канонический внд этой формы и ее канонический базис.
17334. Локазатгь что, какова бы нн была билинейная функция, заданная в пространстве конечной размерности, существует базис, в котором матрица билинейной формы этой функции обладает тем свойством, что ее элементы, не лежащие на главной диагонали и симметричные относительно этой диагонали, имеют противоположные знаки. 8. Квадратичные функции А лекса и д р о в, гл. Х111, Я 3 — 5; гл. ХХН, $ 7, Гельфанд, гл.
1, $4, в.5; Я5,7; гл. П, 416, пп.3,4. Ефимов и Розендорн, гл. 1Н, Я4 — 7, 91 гл. 1Х, Я 4,5. 1734е. Пусль ь) (х) — квадратичная функция, заданная в вещественном векторном пространстве, причем 17(х))0 при х=а и Я(х)(0 при х=Ь. Доказзгь, что: 1) векторы а и Ь линейно независимы; 2) в двумерном пространстве с базисом а, Ь существуют два вектора хл, хя, для которых Я (хл) = Я (хя)= 0; 1тая ! $5. ЛИНЕЙные, БИЛИНЕйные, КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 27! 3) векторы хм х, лзнейно независимы; 4) векторы х,, х, не принадлежат ядру билинейной функции, соответстяующей данной квадратичной функции сс (х). 1735Ф.
Пусть СС(х) — квадратичная функция и Я(а)=0 для вектора а, це принадлежащего ядру соответствующей ей билинейной функции. Локазатгь что функция Я(х) принимает все значения из поля, над которым построено линейное пространство. 1736". Локазатск для того, чтобы квздратичная функция, заданная на вещественном векторном пространстве, была знакопостоянной, необходимо и достатояно, чтобы множество ее нулей содержалось в ядре соответствусосцей билинейной функции. 1737. Найти условия, необходимые и достаточные для я я того, чтобы квадратичная форма ~Х~~ахс+2 ~Х', Ьхсх была 1=-1 С. С=с положительно определенной. 1738Ф. Локазать, что: 1) для того чтобы ненулевая квадратичная функшся, заданная в конечпомерном пространстве пад произвольным полем, распадалась в произведение двух линейных функций, необходимо, чтобы ранг квадратичной формы, сооветстзующей этой функпии, был равен 1 или 2; 2) в случае поля комплексных чисел равенство ранга квадратичной функпии 1 или 2 является достаточным условием ее распадения в произведение двух линейных функшсй; 3) для распадения квадратичной функпии, заданной в пространстве над полем вещественных чисел, в произведение двух линейных функций, необходимо и достаточно, чтобы ранг этой квадрзтичной функции был равен 1 или 2, а индексы инерции в случае функции ранга 2 были равны 1.
1739Ф. Локазать, что: 1) для существования базиса, в котором квадратичная форма, заданная в конечномерном векторном вещественном пространстве, не содержит членов с квадрзтами координат, необходимо и достаточно„ чтобы оба индекса инерции этой квадратичной формы были отличны от нуля; 2) для существования ортонормального базиса, з котором квадратичная форма, заданная в конечпомерном евклядовом векторном просгранстве, пе содерскит членов с квадратами координат, необходимо и досгаточно, чтобы в каком-нибудь ГЛ.
Х. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [! 740 ортонормальном базисе след матрицы этой квадратичной формы был равен нулю. 1740*. Доказать, что если квадратичная функция, заданная в и-мерном пространстве, тождественно обращается в нуль и на подпространстве рззмерности 77) —, то ядро соответст- 2' вующеи ей билинейной функции илдеет размерность больше нуля. 1741*. Доказать, что если р и д — индексы инерции невы- рожденной квадратичная функции, заланноп в вещественном и-мерном пространстве, то существует линейное полпространство, размерность которого равна меныпему из индексов инерции, на котором квалратичная функция тождественно обращается в нуль, и не существует подпространства большей рззмерностр, облалающего этим же свойством. 1742.
Для каждой из следующих квадрзтичных форм, заданных относительно ортонормального базиса, найти такоя ортонорддальный базис, в котором эта квадратичная форма имеет канонический вил; найти канонический вид формы в этом базисе: 1) 4хдхд+ 4хдха+ 4хдх4+ 4хдха+ 4хдх4+ 4хах4+ Зхд', 2) 2х хз+ 2хдха — 2х,х4 — 2хаха+ 2хах4+ 2хах~ 3) 2х,х, — бхдха — бх,х4+ 2хах4; 4) 5хд+ 5х'+ 5хд+ 5хд — 10хдхд+ 2хдхз+ бхдх4+ + бхаха+ 2хах4 10хзх4. ф 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
