1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В пространстве !г даны два подпространства: с базисом.а,=(1, О, О, 01, аз=(2, 1, О, О! и !га с базисом Ь,=(З, 2, 1, О(, Ьч=(4, 3, 2, 1(. Показать, что пространство !г есть прямая сумма подпространств !гг и !гз, н представить вектор х=(1, 2, 3, 5( в виде суммы двух векторов у и в, из которых первый принздлежиг !гт, а второй !',, 1602*. Найти базис суммы и пересечения подпрострзнсгв А и В векторного прострзнсгва !г, имеющих соответственно бззисы ап ..., ар и Ь„..., Ь . 1603.
Найти базис суммы и пересечения подпространств Уг и Рм имеющих соответственно базисы ат=(1, 1, О, О(, ая = (О, 1, 1, О(, па= (О, О, 1, 1( и Ьд = (1, О, 1, О(, Ьз = =(О, 2, 1, !(, Ьа=-(1, 2, 1, 2(. 1604. Нанти базис суммы и пересечения подпространств !'1 и !гм имеющих соответсгвенно базисы ат=(1, 2, О, !(, аз= = (1 1, 1 О( и Ьт = (1, О, 1, О(, Ь, = 11, 3 О, !(. 1605. Нанти базис суммы и пересечения подпространств четырехмерного пространства, одно Вз которых задано своим базисом аг ==(1, 2, О, 111, аа= (1, 1, 1, О(, а другое — системой уравнений Зх,— х,— Зх,=О, х,— Зх,=-О, 1606в.
В черырехмерном пространстве даны две системы векторов. У векторов первой системы две координаты равны +1, а две другие — 1. У векторов второ!! системы две последние координаты равны +1, Найти базис суммы и пересечения линейных оболочек этих систем векторов. 1607. Подпрострзнство Ь'~ четырехмерного пространства У задано своил1 базисом ат =-(1, 1, 1, 1(, ая= (О, 1, 1, !(, а подпространство !', — системой уравнений х,+2х,+4х — Зх =О, ( Зхг + 5х, + 6хз — 4ха —— О. ! Доказать, что Ъ'= !гг Д+ !гя, и представить вектор х= ( 1, 2, 3, 4( в виде суммы двух векторов у и в так, что у ее 1:,, г ~ !гя, и найти это представление.
1608. Лана прямая хг= 81, х,=41, ха= в 31, хг= — — — 3! и гиперплоскость 2хт — 2ха †+ ха= О. Предстзвить вектор х= (1, 2, 3, 4( в виде суммы двух векторов у и г так, чтобы вектор у принадлежал двиной прямой, а вектор з— данной гиперплоскости. 252 Гл. х. мпогомеРные простРлнствл [ 1009 1609*. Локазать, что если ал= — (ал„, ..., ал„(, ..., ал = .= (ал;, ..., ал„( — базис подпространства [го векторного пространства [г и то подпространство Ъ'о совпадает с пространством решений следующей системы л — 70 независимых уравнений: аи ... а>лалх Л алл ...
аеьалл,л ан ... альал„ ал, ... аььаьл„л ,х, ... хлха, =О = О,. ам ... аллаха, Х, ... ХЬХЛ,9 алл ... аляаа„ х, ...ххх„ 1610*. Локазать, что две линейно независимые системы векторов а,=(нзп ..., ал ( ..., ах=(ал„, ..., ал„(, [л,=([лы, ..., б,„), ..., 19 =([99;, ..., [9 „1 определяют одно и то же й-мерное подпространство тогда и ~олько тогда, когда все детерминанты 70-го порядка, составленные из столбцов матрицы пропорциональны детермиаантам матрицы составленным из столбцов с теми же номерами. 9 2. Точечные аффинные пространства Александров, гл. Х!Ч, Ц 1 — 4. Ефимов и Розендорн, гл. 111, Я ! — 3, 7. Во всех зада ~ах этого параграфа систелла координат пред- полагается аффинной.
1611. Локазатль что если АВ=С1Э, то: 1) АС=ВР, 2) четыре точки А, В, С, В лежат или на одной прямой, или в одной (двуллерной) плоскости. !8!8! ф 8. ТОЧЕЧНЫЕ АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 253 1612. Найти параметрические и общие уравнения плоскости, проходящей через три точки ( — 1, 1, О, 1, 5), (2, — 1, 3,4, О), (1,2,7,6, !), 1613. Найти параметрические уравнения плоскости по общим ее уравнениям 5хт+ Охя — 2ха+ 7х4+ 4х — 3 = 0,~ 2хт+Зхя ха +4х4+2ха — 6=0) 1614. Даны две прямые: первая прямая определяется точкой (1, О, — 2, 1) и вектором (1, 2, — 1, — 31, а вторая— точкой (О, 1, 1, — 1) и вектором (2, 3, — 2, — 4).
Найти плоскость минимальной размерности, содержащую обе прямые. 1615. Написать пзраметрические и общие уравнения плоскости минимальной размерности, проходящей через две прямые х =1+!, х =2+!, ха=3+1, ха=4+! х,=О, ха — ха+1=0, х,— З=О.
1616. Определить взаимное расположение прямой х,+2хя+Зха+ х, — 3=0, хт+ 4хя + 5хз 4- 2ха — 2 = О, 2хт + Охя+ 8ха+ Зха — 7 = 0 и гиперплоскости 5х, + 7х,+ 9х, + 2хл — 20 =0, лежащих в четырехмерном пространстве. 1617. В четырехмерном пространстве дана плоскость бхт+ 9ха+ 2ха — 20=0, ха=0 и прямая х, + 4хя+ 5ха+ 2х, — 2 = О, хт+2х,+Зха+ ха — 3=0, 2хт+ 9х,+ 8х, + Зхя — 7=0. Определить взаимное располо8кение прямой и плоскости. 1618'". Дана прямая х,= !+1, ха=2+2!, ха —— 3+3!, ха —— 4+48 и плоскость хг+ха+ ! = О, ха — х4 — 1 =О.
Показать, что прямая и плоскость не пересекаются, и написать Гл. х. мноГомеРные пРОствлнстВА [ 1619 уравнение плоскости минимальной рззмерности, проходящев " через данную плоскость параллельно данноИ прямоИ. 1619"'. Лана прямая ха=1+21, ха=2+Зг, ха=3+41, А4 — 4+ 5т и плоскость тт †.ея = О, ха †.е„— 1 = О. Показать, ' что прямая и плоскость не пересекаются, н написать уравне- '( ния параллельных гяперплоскостеИ, проходящих через данную ( прямую и данную плоскость.
1 1620*. Локазать, что если плоскость и, имеет размер- ! ность г, а плоскость и,— размерность з, то существует пло- 1 скость л, размерность которой не превосходит г+а+1 1 я которая содержит плоскости и, и пе В частности, дока зать, что две прямые содержатся в плоскости, размерность ( которой меньше или равна 3, прямая и двумерная плоскость— в плоскости, размерность которой меньше илн равна 4; дзе „''" двумерные плоскости — в плоскости, раамерность котороИ,;.
меньше или раппа 5. 1621. В кзждом из следующих случаев установить взаимное расположение плоскостеИ и н р, если плоскость а определяется точкой А и векторами ам ам а плоскость р— точкой В и векторами Ь,, Ь;1 1622з. В пятимерном пространстве плоскость сь определяется точкой А и векторами ат и а,; плоскость р — точкоа В и векторами Ь, и Ь,.
[[ак связано взаимное расположение плоскостей а и р с линейной зависимостью между векторами а,, ая, Ь,, Ь„АВУ 1) А=(0, О, в=(о, о, 2) А=(0,'О,  —.(1, 1, 3) А=(О,О, в=--(о, о, 4) А.=(О, '", В= — (О,[, 5) А=(0, О, в=(о, о, 6) А=(0, О, В=(2Р1, О, О, 0), ат — — (1, О, О, о, О(, ая = (О, 1, О, О, О(, О, О, 1), Ь,=(О, О, 1, О, О(, Ь,=(О, О, О, 1, О(; 0,0,0),а =(1,0,0,0,0(,а =-(0,1,0,0,0(, 1, 1, 0), Ь = (О, О, 1, О, О(, Ь = (0„0, О, 1, 0(; О, О, О), а,=-(1, О, О, О, О(, ая=(0, 1, О, О, 01, О, [,О),Ь,=(О,О, [,О,О(,Ья=(1,1,[,О,О1; О, О, 0), а1 = (1, О, О, О, 0), аз= (О, 1, О, О, О(, 1, 0,.0), Ь,=(0, О, 1, О, О(, Ьа=(1, 1, 1, О, О(; О, О, 0), а,=(1, О, О, О, О(, аз=(0, 1, О, О, О(, 1, О, О), Ь, = (1, 1, О, О, 0(, Ь, = (1, — 1, О, О, 0(; О, О, 0), а,= (1, О, О, О, О(, аз=(0, 1, О, О, 0), О, О, 0), Ь =- (1, 1, О, О, О(, Ь,= (1, — 1,0, О, 0(, ' Ь 2, ТОЧЕЧНЫЕ АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 255 !6281 1623Ф.
В пятимерном пространстве двумерные плоскости определяются системами уравнений ь ~~', помг+Ь! —— О, /=1, 2, 3; 1=1 ~~~ а1гх1+Ь|=0, /=4, б, 6. Определить взаимное расположение этих плоскостей с по- мощью рангов г и Й матрип а12 а13 а14 СЧЗ ЯЗЗ 4547 1154 -"15 а31 яЗЗ 1174 1137 1142 Я43 1144 1145 В52 ВЗЗ 4154 1165 1162 1163 В64 Я65 ям А ~51 а41 а51 Л61 а15 Ь1 Ь Ь а,З Ь4 а56 ЬЗ а65 Ь, Л11 И12 Я13 014 а21 Рм а27 а а31 аа а33 а34 1141 В42 Л~З И14 а51 а52 а52 а54 а61 и42 в63 1164 1624*.
Пусть плоскость Н1 определяется точкой А, и подпространством 1'„ а плоскосгь НЗ вЂ” точкой А, и подпространством 152. Локазать, что плоскости Зт, и 252 пересекаются тогда и только тогда, когда вектор А,АЗ принадлежит сумме пощ1ространств Рт+ РЗ 1626"'. Локазать, что если плоскость 25 не имеет общих точек с гиперплоскостью и, то с5 и н параллельны. 16268. Лля того чтобы две плоскости п1 и НЗ, не имеющие общих точек, были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы обе они содержались в плоскости и размерности г + 1, где г — наибольшая из размерностей плоскостей 1 2' 1627Ф. Локазать, что через две непересекающиеся плоскости можно провести параллельные гиперплоскости.
1628Ф. Пусть пт и НЗ вЂ” непересекающиеся плоскости конечномерного пространства. Найти плоскость и минимальной размерности, содержащую плоскость н1 и параллельную плоскости на. 256 ГЛ. Х. МНО!'ОМЕРНЪ|Е ПРОСТРАНСТВА ! 1629 1629. Локазать, что диагонали й-мерного параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополаи, 1630":. 1) Най1п отношение, в котором гиперплоскость и, проходящая через копны л ребер и-мерного параллелепипеда, выходящих из одной вершины О, делит диагонзль ОО параллелепипеда, выходящую из той же вершины.
2) Локазать, что точка пересечения гиперплоскосги и и прямой 00 является пентром (п — 1)-мерного симплексз, получающегося при пересечении гиперплоскости п с (и — 1)- мерными гранями параллелепипеда, содержащими вершину О. 1631е. Локазать, по если через копны и ребер л-мерного параллелепипеда, выходящих из одной вершины О, провести (и — 1)-мерную плоскость и, а затем через все вершины параллелепипеда провести (л — 1)-мерные плоскости, параллельные плоскости и, го эти плоскости вместе с и разобьют диа1онзль параллелепипеда, выходя1пую из вершины О, на л равных частей.
1632е. 1) Локазать, что все прямые, соединяющие пентры граней симплекса с пентрами противоположных им граней, проходят через одну точку — пенгр симплекса. 2) Найти отношение, в котором пенгр симплекса делит направленный отрезок с началом в пентре 12-мерной грани и конном в пентре противоположной (и — И вЂ” 1)-мерной грани. ! 3 3. Евклидовы пространства А л е к с а и д р о в, гл. Х Х!Н. Г е л ь ф а и л, гл.
1, 44 2, 3. Е ф и м о в и Р о э е и д о р и, гл. НИ!, Я 1! — 13. 1. Вевторные евьлидовы пространства Во всех задачах этого параграфа базис предполагается ортонормальным. 1633. Относительно ортонормального базиса даны три вектора: 11, 2, 2, 11, 11, 1, — 5, 3), 13, 2, 8, — 71. Найти ортонормальный базис подпространства, натянутого нз эти векторы, и дополнить его до ортонормального базиса всего пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
