1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Локазать, что точки гг, В и В лежат на одной прямой. 1499з. На проективной плоскости введена проективная система координат А,А,А,Е. Пусть Ет и Е,— точки пересечения прямых А,Е и А,Е со сгоронами А,Аа и АаА,. Составить уравнение линии С второго порядка, для которой базисный треугольник АтАяАа будет автополярным, а полярой единичной точки Е будет прямая Е,Гя Какие из точек А, Ая, Аа явлюотся внутренними точками линии С, а какие внешними? 1500. При каком необходимом и достаточном условии две точки (ха:ха:ха) и (у,:уя:уа) полярно сопряжены 8* 228 ГЛ.!Х.

ПРОЕКТИВИАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1! 501 относительно нераспадзющейся линии второго порядка апх[+ а,зх,'+ аазхз+ 2аюхзхз+ 2азтхзх[ + 2а,зхтхз = 0? 1501. При каком необходимом и достаточном условии две пРЯмые [и,: из: и,[ и [о, Рвз: оз[ полЯРно сопРЯжены относительно нерзспадающейся линии второго порядка атгх,'+ аззхз+ аззхз+ 2аззхзхз + 2азтхзхт + 2атзхтхз = О? 1502. Найти координаты полюса прямой и,х,+и,х,+и,х,=О относительно нераспадающейся линии второго порядка агах[+ аззхз+ аззхз + 2аззхзхз+ 2азтхзхт + 2аззхтхз = О. 1503з. Локазать, что если в опальную линию второго порядка вписать треугольник и в его вершинах провести касательные к этой линии, то точка пересечения прямых, соединяюпгих вершины описзнного треугольника с точками касания противоположных сторон, есть полюс прямой, на которой лежат три точки пересечения сторон вписанного треугольника с касательными в противополозкных вершинах.

1504"'. Локазать, что если АТАЕАз — автополярный треугольник для действительной овальной линии второго порядка, то одна из его вершин является внутренней точкой этой линии, а две другие — внешними. 1505в. Локазагть что уравнение линии второго порядка относительно проективной системы координат АтЛ,АзЕ имеет вид х,' + х,' — х,= О тогда и только тогда, когда треугольник А,А,Аз автополярный, точка Аз внутренняя, а точки А, и А, — внешние для этой линии и единичная точка Е совпадает с одной из четырех точек, в которых пересекаются касательные к линии, проведенные из точек Ат и Ам 1506'"". Написагь уравнение овальной линии второго порядка, касающейся двух сторон АТЛз и А,Лз базисного треугольника АдА,Аз в всршинах Лт=(1:О:О) и А, =(О: 1: О), зная, что единичная точка Е=(1: 1: 1) является полюсом единичной прямой а=[1: 1: 1[ относительно этой линии.

1507'. Треугольник АВС описан около овальной линии второго порядка. Локаззть, что если точка Л( полярно сопряжена с точкой А относительно этой линии, то прямые Л4В и ЛС также полярно сопряжены относительно той же линии. !515 1 55. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 229 1508*. Пусть А и  — полярно сопряженные точки относительно нераспадающейся линии С второго порядка. Пусть прямая, пересека1ошая линию С в точках Р и О, полярно сопряжена с прямой АВ.

Локааать, что прямые АЯ и ВР пересекаются в точке, лекгащей на линии С. 1500. Относительно проективной системы координат задана нераспадающаяся линия второго порядка: аттх, '+ аяехяЯ+ азахз + 2аяэхахз+ 2азтхахт+ 2а,,х„х, = О. При каком необходимом и достаточном условии треугольник с веРшинами (хт: хя: ха ), 1У11У51У5), (г11«51аа) ЯвлЯетсЯ автополярным относительно данной линни? 1510*. Локааать, что если два треугольника являются автополярными при данном поляригете, то шесть их вершин лежат на одной и той же линии второго порядка. 1511*. Локазат1ь что любые два треугольника, вписанные в действительную нераспадаюшуюся линию второго порядка, являются автополярнымн при некотором поляритете.

1512*. Локавать, что если в нераспадаю1нуюся линию второго порядка вписан шестиугольник АВСА'В'С' так, что прямые АА', ВВ', СС' проходят через одну точку, то эта точка является полюсом прямой, на которой лежат точки пересечения соответственных сторон треугольников АВС и А'В'С'. 15134. Доказать, что если полный четырехугольник вписан в нераспада1ощуюся линию второго порядка, то его диагональный треугольник является авгополярным для рассматриваемой линии. 1514"'. Локаватгч что шесть вершин двух автополярных треугольников относительно лянии второго порядка принадлежат некоторой линии второго порядка. ф б.

Проективное пространство 1. Проективные координаты в проекпшвном рогтранстве. Гармонизм Александров, гл. ХХ111, 5 1; 52, пп. 1,2. Моденов, гл. ХМ, Я 197 — 200, Постников. гл. 4, 9 2, пп. ! — 4. 1515"'. В проективно-аффинном пространстве введена аффинная система координат Охуа и проективпая система координат АТА5АаААЕ, где А,, Аа, Аа — несобственные точки осей Ох, Оу, О»; А4 совпадает с точкой О и Š— точка, 2ЭО ГЛ.!Х.

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 1б16 имею1дая в аффинноИ системе координат Охуг координаты 1, 1, 1. Выразить аффиггиые координаты х, у, а собственноа точки М чеРез ее пРоективные кооРдинаты хб: х,1ха:х (однородные координаты). 1516. В проекп1вно-аффинном прос1ранстве заданы своими однородными координатами две точки: А=(1: О: — '1: 2), Е=(1: — 1: О; Найти несобственную точку прямой АВ. 1517. В проек1ивно-аффинном пространстве ааданы две плоскосп1 своими однородными координатами ]2: — 1: О: Ц и (6.0.1: — 3]. Найти несобственную точку прямой, по которой пересекаются эти плоскости. 1518в.

В проективнп-аффинном пространстве введена проективная система координат А,А,АбА,Е, где все точки А,, А„ Аа, А4, Е собственные. 01носнтельно аффинной системы координат с началом координат А,, осями А,АГ, А,А„ А4Аа н единичной точкой Е стРоигсЯ точка М,=(хм хя,хб). Относительно аффинной системы координа~ с началом координат Аь осями А,А4, А144, А,А4 и единичной точкой Е' строится точка М,=(х„ ха, х,). Относительно аффиннои системы координат с началом координат А,, осами АаАь АаЛа, А,А4 н единп И1ой точкой Е стРоитсЯ точка М, = = (х„ хб, х,).

Относительно аффинной системы координат с началом коордю1ат в точке А,, осами АаА„АаАа, АаА4 н единичной точкой е строигся точка м, (х„ха, х4). Доказать, что прямые А,МТ, А,М„А,Ма, А,М, проходят через одну точку М, и найп1 ее проективные координаты, 1519в. В проективно-аффинном пространстве введена аффинная система координат, относительно которой заданы УРавнениЯ гРансй базисного тетРавдРа АТА АаА4.. А,х+ Езу+ Ста+ 134 = — О (АаАбА4) Аах+ Е4У+ Сяа+ Вя = О (АТАаА4) Аах+ В У+Сза+ 714=.0 (А1АяА4) Абх+ Еьу+ Сба+ йб — — О (А,АаАа) и едишичная точка Е=-(х,, у,, га) проектнвной системы координат А1АбАаА4Е.

на1нн проективные координагы точки М, если даны ее аффинные координаты х, 15 г. З 5. ПРОЕКТИВПОЕ ПРОСТРАНСТВО !И21 1б20з. Доказать, что если в проективно-евклидовом пространстве введена проективпая система координат А,А,А»Л,Е, где все точки Лт, Аа, Аа, А», Š— собственные, то проективные координаты х,:хз:х,: х» собственной точка М пропорциональны отношениям расстояний 4(1, да, 4(з, »24 от точки М до грзней А,АзА», А,А,А„, АТА2Ам А»А2А„ базисного тетраэдра к Расстоаниам е„ ез, еа, е4 от единичной точки Е до тек же граней: »!! Л» ) Х! — —, Ахз= —, 41 е» Л» ) хз= —, )х»=— ее ' е» (тетраэдрические координап» точки). 1521». В проек!ивно-аффиином пространстве введена проективная системз координат А,А,АаА»Е, где все точкв Ав А, Ам А», Š— собственные.

Доказзть, что проективные координаты и,: и,: и,: и» собственной плоскости итх,+паха+ + изхз+ и»х» = 0 пропорциональны отношениям расстояний б„бз, бз, Ь» от вершин Ап Аз, Аз, А» базисного тетраэдра А,А,АзА4 до рассма!риваемой плоскости к расстояниям е,, е.

е., е» от вершин Ат, А,, А,, А» до единичной плоскости е=(1:1:1:1]: )и =— б 1— е! ' ) !»а= ба "4 (тетрзэдрические координаты плоскости). 1522"'. Относительно проеьтивной системы координат А,А А,А»Е в проективном прострзнстве задан новый базисный тетраэдр А;А;А;А; и новая единичная точка Е': А;=(а„: агп ! а„: а41), А;=(а„: аз,: азз !'42) А,', = (а,,: азт: паз: а»2), А» = (ат»: а24. аз»: аы) Е'=(Ь,: Ь,: Ь,: Ь4). 1) Выразить старые координап» х,: хз: х,: х, произвольной точки М проективного пространства через ее новые координаты х;: х:: х» .

'х». 2) Выразить х,':х.',:х,':х,' через х,:х,:хз'.х». 232 Гл. 1х. ПРОективнля ГгоыетРия 1 1223 1523. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (2: 0: 1: — 3) и пересекающей две прямые: одну, проходящую через гочки (1: — 1: 0: 4) и ( — 2: 0: — 4: 3), и другую, заданную двумя плоскостями [2: б: — 3: О! и [3: — 2: 2:![. 1524. Составить параметрические уравнения прямой, лежащей в плоскости хт — 2хз+Зх4=0 и пересекающей две прямые, из которых одна задана двумя точкал1и А=(2: 3: 0: — 4), В==(0: 3: — 4: 0), а другая — двумя плоскостями и = = [2: 0: — 3; О[, о-= [1: б: 4: 3[. 1525. Относительно проективной системы координат А1А2АаА4Г в проективном пространстве плоскость лт задзнз уравнением а,х, + а,х, + а,ха+ алх = О.

Как расположена эта плоскость относительно базисного тет- раэдра А,А,А,А4, если: 1) ал — — 0; 2) а,=аз=0; 3) а,= 2 3 = а =.а .=-.Ог 1526 . Относительно проективпой системы координгп А,А,А,А4В в проективном прострзнстве заданы две пло- скости сл и [): а,хл+а,х,+азха+а,х, = 0(сл), Ь,х,+Ь,х,+Ь,х,+Ь,х, = 0(р). Доказать, что: 1) плащ<ости а и [) совпадают тогда и только тогда, когда соответствующие коэффипиенты уравнений этих пло- скостей пропорпиональны: ил==ЬЬ1, а,= — ЬЬ2, аз=ЬЬз, а4=ЬЬ„Ь вЂ”" О; 2) плоскости а и р пересекаются по прямой, лежащей в плоскости х4 —— О, тогда и только тогда, когда существует число Ь ~ 0 такое, что от= — ЬЬ1, ая —— - аЬ2, аа = ЛЬз, а4 =,е ЬЬ4; 3) плоскости сл и р пересекаются по прямой, пересекающей ребро хз — — О, х4 = 0 базисного тетраэдра, тогда и только тогда, когда существует число Ь те 0 такое, что ал — — ЬЬ„ аз = ЬЬ2 и а, -А: ЬЬз или а, ~ ЬЬ4.

1527*. Относительно проективной системы координзт А1А2АзА4В в проективном пространстве заданы две точки А = (ал: аа: аз: а4) и В = (Ьл . 'Ья: Ьз: 54). 233 % 5, пРОективное пгостганство 1530 1 Доказать, что: 1) эти точки совпадают тогда и только тогда, когда существует число Ь 4= 0 такое, что ат = ЬЬ„аа = ЬЬ4, аз = ЬЬ„а4 = ЬЬ4 2) прямая АВ проходит через вершину А,=(0:0:0:1) базисного тетраэдра Л4Л,А,Л4 тогда и только тогда, когда существует число Ь ~ 0 такое, что ат= — ЬЬь аз=ЬЬ„аз=ЬЬ„а4~ЬЬ4; 3) прямая ЛВ пересекается с ребром Л,Л, базисного тетраэдра Л,А,А,А4 тогда и только тогда, когда существует число Ь ф= 0 такое, что ад в — ЬЬ4, аз = ЬЬз и аз эь ЬЬ, или а, Ф ЬЬ4. 1623.

Г!ри каком необходимом и достато шом условии две прямые в проективном пространстве имеют общую точку, если: 1) одна прямая проходит через точки А =-(а,: аз: аа; а4), В = (Ьт: Ьз: Ьз: Ь4), а другая — через точки С= (ст: с,: с,: с4) и В = (а 4 . Нз . ~~4 . А4), 2) однз прямая является линнея пересечения двух пло- скостей 44 = [пт юга: пз: и41 и = [ет г ва г в4 Рв4), а другая — линией пересечения двух плоскостеп ге=-[п44:ша:гвз:ш41 Р =[Рт'-Рт:Рз:Р4)' 3) одна прямая проходит через точки А = †(а,: а,: аз'. а,), В =(Ь,: Ь,: Ь,: Ь4), а дружная является линией пересечения двух плоскостеи и =- [и,: и,: иа .и41 и= [ог: оа: "з о4[г 1629.

Характеристики

Список файлов решённой задачи