1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Найти: 1) образ точки (хт.' хз: хэ); 2) прообраз прямой (и;:ия:иэ); 3) прообраз точки (х,':хз:х,'). переходят соответственно в прямые х'+Зу'+2=-0, х' — Зу'+4=0 и этом преобразова азование множеств ивно-аффинной пло ляюгся собсгвснны точка этого проск х — 4у+З=О 2!! 3 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ыая ! 13943. Найти все проективные преобразования, при кото.рых базисные точки А,, А„АЗ инвариантны. Какой геометрический смысл имеют эти преобразования в случае, если проективная плоскость реализована связкой прямых и плоскостей трехмерного аффинного прострзнства? 1395. Найти проективное преобразование, при котором базисные точки А,, А,, Аз переходя~ соответственно в точки Ам А„ Ад, а единичная точка Е инвариантна.
1396. Найти проективное преобразование, при котором вершины базисного треугольника Ад=(1: О: О), АЗ = (О: 1: О), А = (О: О: !) переходят соответственно в точки Е, = (О: 1: 1), Е, =(1: 0: 1), Е, = (1; 1: 0), а единичная точка Е инвариантна. 1397. Найти все проективные преобразования, при которых вершины базисного треугольника Ад — — (1:0:0), А, = (О: 1: 0), А, = (О: 0: 1) переходят соответственно в точки Е,=(О:1:1), ЕЗ=(1:О: 1),Е,=(1:1:О). 1398.
Найти проективное преобразование проективной плоскости, при котором базисные точки Аи АЗ, А, проективной системы координат инвариантны, а единичная точка Е переходит в точку Е = (е12ея:33). 13993. 1) Найти проективные преобразовании проективноаффинной плоскости, при которых все точки несобственной прямой хз — — 0 инвариантны.
2) Какое преобразование на множестве собственных точек проективно-аффинной плоскости порождает это проективное преобразование? 1400*. !) Найти все проективные преобразования проективно-аффинной плоскости в системе однородных координат, при которых несобственная прямая Аз=О инвариантна. 2) Как преобраауется при этол! множество собственных точек плоскости? 1401. Найти проективное преобрааование проективной плоскости, при котором образами точек А,=(1; 0: 0), А, =(О; 1: 0), АЗ= (О: 0: 1), Е=(1: 1: 1) являются точки А;=(адд.
адд: пад), АЗ=(а12: а22: а32), АЗ (пда п23 п33) Е ( 1 ~2 03) 1402. Как запишется проективное преобразование проективной плоскости, если точка Ад=(1: 0: 0) является инвариантной точкой, прямая АЗАЗ является инвариантной прямой, 212 Гл. [х. ПРоективнля ГеолдетРия [ [403 причем точка Аа=(0:0:1) является образом точки А,= =(О:1: О)? 1403*. Проективное преобразование проективной пло- ' скости называется гиперболической гомологией,если оно имеет прямую инвариантных точек (ось гомологии) и инвариантную точку (центр гомологии), ие лежащую на этой прямой. 1) Как запишется гиперболическая гомология с центром А,=(1: 0: 0) и осью АяАа, Ая=(0: 1: 0), Аа ††(О: 0: 1)? 2) Как преобразуются собственные точки проективно-аффинной плоскости при гиперболической гомологии, если Ад — — — (1: 0: 0) — несобственная точка проективно-аффинной плоскости, лежащая на оси Ох аффинной системы координат Оху, а ось АяАа гомологии совпадает с осью Оу? 3) Как преобразуются собственные точки проективно-аффинной плоскости, если в качестве центра гомологии принять начало координат аффинной системы координат Оху, а в качестве оси гомологии — несобственную прямую? 1404в.
1) )доказать, что гиперболическая гомология однозначно определяе[ся заданием ее оси, центра, точки М, отличной от центра, не лежащей на оси гомологии и ее образа М', лежащего на прямой, соединяющей центр гомологии с точ- кой М, причем М отличен от центра гомологии и не лежит на ее оси. 2) Найти гиперболическую гомологию с центром Ад= =(1:0: О), осью АяАа, А,=(0: 1: О), Аа=(0; 0; 1), при которой точка Е=(1: 1: 1) переходит в Е' =(а: 1:1) (а Ф 1).
140бз. Гиперболическая гомология называется гармонической, если точка М и ее образ М' при этой гомологии гармонически рааделяют пару точек Ад и Р, где А, — центр гомологии, а Р— точка пересечения прямой АдМ с осью гомологии АяАа. 1) Доказать, что гармоническая гомология является инволюционным преобразованием.
Обратно: если гиперболическая ' гомология является инволюционным преобразованием, то она, является гармонической. 2) Записать гармоническую гомологию, принимая ее центр А, за верн[пну (1: 0: 0) базисного треугольника, а ось гомологии за сторону А,Аа базисного треугольника проективной системы координат на проективной плоскости. 3) Как преобразуются собственные точки при гармонической гомологии проективно-аффинной плоскости, если ее ', центр А, =(1; 0; 0) — несобственная точка оси Ох, а ось гомологии — ось Оу аффинной системы координат Оху? 2!3 % 3. пРОектиВные пРеОБРАВОВАния 141з 1 4) Как преобразуются собственные точки проективно-аффинной плоскости при гармонической гомологии, если ее центром является начало координат аффинной системы координат Р Оху, а ее осью — несобственная прямзя? 1406".
Какой геометрический смысл имеет гармоническая гомология, если проективная плоскость реализована как связка прямых и плоскостей трехмерного аффинного пространства? 1407*. Доказать, что всякое инволюционное преобразование проективной плоскости является гармойической гомологией или тождественным преобразовзнием. 1408з.
Доказать, что произведение трех гармонических гомологий, центры которых совпадают с вершинами, а оси — со сторонами треугольника, есть тождественное преобразование. 1409з. Проективное преобразование проективной плоскости называется параболической гомологией„ если оно имеет прямую инвариантных точек (ось гомологии) и пучок инвариантных прямых, центр которого (центр гомологии) лежит на прямой инвариантных точек. 1) Как запишется параболическая гомология с центром А,=(1:О:О) и осюо А,А,, А,=(0:1:О)? 2) Как запишется параболическая гомология с центром . Ад — — (1:О:О), осью АдА,, А,=(О:1;О), при которой точка Е=(1; 1: 1) переходят в точку Е'=Я: 1: 1) (а ф: 1)? 3) Как преобразуются собственные точки проективно-аффинной плоскости, если центр гомологии есть несобственная точка оси Ох аффинцой системы координат Оху, а ось гомологии — несобственная прямая? 1410"'.
Какой геометрический смысл имеет параболическая гомология, если проективная плоскость реализована как связка прямых и плоскостей трехмерного аффинного пространства? 1411*. 1) Доказать, что произведение двух гзрмонических гомологий есть параболическая гомология. 2) Обратно: всякая параболическая гомология может быть представлена как произведение двух гармонических гомологий.
1412*. Доказать, что проективное преобразование ,= „х,+ х+а . ) ха= аз хд+ аззхз+ а зхз, Хх, = аз,х, + аззхз + аззхз при котором инвзризнтными точками являются все точки прямой х,= О и только эти точки, является параболической гомологией. Найти ее центр. ГЛ.
1Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Г 1413 Х« «111Х1+ «112Х2+ «113ХЗ Г'хз = азтхт+ аззхз+ аззхз ««Хз = ««зтХ1+ «122Х2 + ««ззхз. Пусть а,1 — Л а«2 )((Л) = ам а„— Л «113 ««23 азз — Л вЂ” характеристический полином матрицы Г а11 «112 а«34 А=-~ам аз ам азз аз, этого преобразования. Доказатзь что: 1) координаты хт:х,:хз инвариантных точек этого преобразования определяются из системы уравнений («гы — Л) Х1+ агзхз+ аы.13= О, азцхт+(аы — Л) ха+ аззхз = О, азтхт+ аззхз+ (азз — Л) х = О, где Л вЂ” корень характеристического полинома; 2) координаты а,:из:аз инвариантных прямых находится из системы (а„— Л) и,+а„и,+аз,и,=О, атзит+(азз — Л) из+ аззиз= О, аззиг+ аззиз+ (азз — Л) аз — — О, де Л вЂ” корень того же характеристического полинома; 3) если Л вЂ” простой корень характеристического полиюма, то соответствующие ему инвариантные точка и прямая, тпределяемые из систем (1) и (2), не инцидентны.
141ов. Дано проективное преобразование ах; = а,тхт+ а„хз+ а,зхз, Г«хз= а„х, + аз,хз+ аззхз '«ХЗ «131Х1 + «132хз + «132хз' 1 1413*. Доказать, что произведение гиперболической гомо-! логии на параболическую гомологию с той же осью есть гипер- 4 болическая гомология. 1414*. Дано проективное преобразование 215 14!г 1 Э 3. ПРОВКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Пусть ап — Л ам ага Х(Л)= а,1 а — Л а азг азз азз — Л ~ †характеристическ полипом матрппы А= а. ам а, этого преобразования. Нанти канонический вид этого преобразования в зависимости от корней Л„ Л„ Лз характеристического полинома и ранга матрипы А — ЛЕ, если Л вЂ” кратный корень характеристического полинома.
Рассмотреть следующие случаи: 1) Л,, Лз, Лз — действительные и простые корни; 2) Лг — деиствительный корень, Лз и Лз — комплексные сопряженные корни: Лз,з=сг г рг (а и р — действительные числа и 1) ~ 0); еб) Лг=ЛЯ=З~Л2, К6(А — зЕ)=2; 4) Лг=Л,= — з:~= Лз, Кя(А — зЕ)=-1; б) Лг=Л,=Лз=з, Кд(А — зЕ)=2; 6) Лг=Л2 — — Лз-— — з, Кд(А — зЕ)=1; 7) Лг=Л,=Л2 — — з, Кп(А — зЕ)=(г. 1416э. Найти инвариантные точки и инвариантные прямые нроективного преобразования, заданного в канонической снстелге координат, в зависимости от канонического вида этого преобразования (см. предыдущую задачу). 2. Корреляции.
Полярилгеги А л е к с а н д р о в, гл. ХХП, $ 5. 1417э. Корреляпиеи называется отображение множества всех точек проективной плоскости на множество всех прямых проективной плоскоспг, определяемое соотношениями Лиг = аыхг+ ашхз+ гггзхэ Лиз гг2гхг+ 1122х2 + а2зхз Лггз= ггзгхг+аз,хз+ а,„х„ ГЛ. 1Х. ПРОЕКТИВИАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ !4!з где (х,: х,: хз) — произвольная точка, а [и,: и,: из] — соот- ветствующая ей прямая проективной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
