1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 32
Текст из файла (страница 32)
2 !З2 ГЛ. ЧП1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА (1241 Координаты напр авля1ощего вектора а =- (ат, а„аз) оси врзщення определяются из системы уравнений (а11+ 1) а, + а,за, + атзаз = О, а„а, + (а,, + 1) аз+ а,заз — — О, лагат+ аззаз+ (а аз+ 1) аз = 0 и неравенства ! ! ан ат О азз аз )О, о а если векторы а1=(1, 0„0) и а=(а;, а,, аз) не коллинеарны и 1р ф и. Если векторы ат и д коллинеарны, то следует воспользоваться неравенством аз а, )О. Канонический вид преобразования: х' = ха соз 1р — у* з!п 1р, у' =хззйп1р+у*соз1р, Э Плоскость симметрии и ось вращения проходят через единственную неподвижную точку данного преобразования, определяемую ив системы уравнений (азз — 1) х + атзу+ атзя+ Ьт — О, азтх+ (азз — 1)У+ аззз+ Ьз = О, аз,х+ аз у+ (азз — 1) л+ Ьз= О 2) Если след матрицы А, ат,+азз+авз=1, то преобразование (1) является произведением симметрии о~носительно плоскости н пеРепоса, опРеделЯемого вектоРом т(=(Ы1, Ыв 1тз), компланарным этой плоскости.
Вектор с( находится из равенства и=Ь вЂ” — 'а, (а, Ь) (а, а) $ 'д. изометРические ИРеОБРАзоВАИР!я 183 !242 ! где координаты а„аэ, аэ вектора а определяются из системы (2). Канонический вид преобразования: х = — х*, уа у' =у*+!)„где р=!42(, Плоскость симметрии определяется любым из следующих трех уравнений: (пи — !) х+а„у+а„а+62 — 4(т=о, 4221-2 + (п22 — 1)у+ оэаг+62 — 442=0, оэтх+паэу+(оэа !)г+Ьа — А42=0. 1242*. Выяснить геометрический смысл и пай~и канонический внд следующих изометрических преобразований пространства: 16 12 !5 12 9 20 ) =25 +1бу+25 + У =25х+25У вЂ” 2— „г — 4, 3 4 = — -- х+ — у+ б; 5 4 3 3 4 2) х =-- — х+ — У вЂ” 1, у'= — х — — у+3, г'= — г+2 5 5 ' 5 2 2 1 !! 10 2 3) х 3 х+ 3 у+ г+1, у'=--х — — у — — — г — 2, 2 5 14 + у 15 15 "" 15 11 2 10 2 !4 5 ) =15 +15у+-1-ба+7, у'=!бх+!5У 15г+4, 2 1 2 х+ У+ г+ 6' 3 3 3 2 2 1 11 1О 2 б) х'= — — х+ — у+ — г+1,у'= — — х+ — у+ — г+2 3 3 3 ' 15 15 15 2 5 14 г'=- х+-у — — г+3 !5 15 15 3 4 4 3 6) х'= — х+ — у+1, у'= — х — — у — 2, г'=г+3.
5 5 ' 5 5 6 2 3, 2 3 6 7) х' =---х — — у — — г+ 7 у' = — -х+ — у — — г+ 14, 7 7 7 ' 7 7 3 6 2 г'= — — х — — у — — г — 7 7 7." 7 гта! 1 $ 3. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ !55 1243*. Выяснить геометрический смысл и найтв канонический вид следующего изометрического преобразования пространства: х' = х сов ф +у з!и ф, у'=хз!игр — усозгр, з'= — я+с. 1244*. Найти матрицу преобразования симметрии относительно прямой с направляющим вектором 12, 2, 1), проходящей через начало координат.
1245"'. Найти матрицу преобразования поворота ориентированного пространства на угол — вокруг оси с направляю- 2 щим вектором !2, 2, 1), проходящей через начало координат. 1246*. Найти матрицу преобразования поворота ориентированного пространства на угол — вокруг оси с нвправлшо- 3 щим вектором 11, 1, О), проходящей через начало координат. 1247. Найти матрицу преобразования симметрии пространства относительно плоскости 2в — 2у+Е=О. 1248*.
Най~и изометрическое преобразование, являющееся произведением поворота на угол — и переноса вдоль оси 2 вращения на вектор с координатой — 9 по отношению к оси вращения, зная, что ось вращения проходит через точку (О, О, 9) и имеет направляющий вектор 12, 2, 1). 1249*. Найти изометрическое преобразование, являю|цееся произведением симметрии относительно плоскости 2х — у— — ба+ 15=0 и переноса, определяемого вектором 14, 3, 1), компланарным этой плоскости. 1250". Найти изометрическое преобразование, являющееся 7 произведением поворота на угол агссоз — — вокруг оси с направляющим вектором 11, 1, — 71, проходящей через точку ( 10 2 5! — — — — и симметрии относительно плоскости проз з з) ходящей через ту же точку и перпендикулярной к оси врзщения.
1261. Найти изометрическое преобразование, оставляющее неподвижными три точки (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, О, 1). 136 Гл. Рп!. пгеОБРАзОВАР!ия плОскОсти и пРОстРАистВА [ 1222 1252Р. !.!айги изометрическое преобразование, переводящее точки (О, О, 0), (1, О, 0), (1, 1, 0) соответственно в точки (1, О, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1): 1) сохраняющее ориентацию пространства; 2) изменяющее ориентацию пространства. Найти канонический вид этих преобразований. 1253*. Даны два вектора: а = (8, 4, ! 1, Ь = 16, — 6, 3!. Найти матрицу преобразования поворота пространства вокруг оси, перпендикулярной к векторам а и Ь, переводящего вектор а в вектор Ь.
1254*. В ориентированном пространстве дэны два векторз, а и е, причем вектор е перпендикулярен к вектору а и равен по длине 1. Найти вектор а', получающийся .из вектора а при повороте пространства на угол !р вокруг оси с направляющим вектором е. 1255*. Написать формулы преобразования поворота ориентированного пространства на угол !р вокруг оси с едишщным направляющим вектором е, проходящей через точку О. 5 4. Инверсии П о с т и и к о в, гл. 7„4 3. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. 1. Инверсии тосиости 1256. Пусть О в фиксированная точка плоскости и о— фиксированное действительное число, о!личное от нуля.
Инверсией с полюсом О и степенью о назывзется преобразование множества всех точек плоскости, за исключением точки О, при котором каждой точке М, отличной от О, ставится в соответстпие точка М', лежащая на прямой ОМ, для которой ОМ ОМ'=и. Инверсия с полюсом О и степенью о обознзчается через (О, и). Написать формулы, связывающие координаты х, у точки М с координатами х', у' точки М', являющейся образом точки М при инверсии (О, и) в прямоугольной системе координат с началом в точке О. !87 1264 ! $4.
ИНВЕРСИИ 1267. Составить уравнение образа окружности ха+уз+ 2ах+ 2Ьу+ с= О при инверсии, полюсом ко~арой является начало координат, а степень равна 41. 1268в. Доказать, что центр окружности С, не проходящей через полюс О инверсии (О, а), переходит в центр ее образа С' тогда и только тогда, когда окружность С' совпадает с окружностью С. 1269в. Окружность С, заданная уравнением ха+у'+ 2ах+ 2Ьу+ с = О, не проходит через начало координат. Пусть С' — образ этой окружности при инверсии (О, а). 1) Найти центр и радиус окружности С'. 2) Показать, что полюс инверсии и центры окружностей С и С' лежат на одной прямой.
126(ь Составить уравнение образа прямой Ах+ Ву+ С= О при инверсии (О, а), где Π— начало координат. 1261в. Локазать, что всякая окружность, проходящая через две соответствующие друг другу точки при инверсии (О, о), инвариантна относительно этой инверсии. 1262в. Окружность С проходит через полюс инверсии (О, о), Ее образ С' при этой инверсии — прямая, перпендикулярная к прямой, проходящей череа точку О и центр окружности С.
Локазатть что на множестве всех точек окружности С, за исключением точки О, данная инверсия совпадает с перспективным отображением окружности С на прямую С' с пентром перспективы О. 1263*. Локааать, что при инверсии сохрзняются углы между двумя пересекающимися окружностями (в частности, между окружностью н прямой и между двумя прямыми). 1264. Окружность С зздана уравнением' ха+уз+ 2ах+ 2Ьу= О. При инверсии (О, а) с полюсом в начале координат эта окружность переходит в прямую С', 1) Найти расстояние 4( от начала координат до прямой С'.
2) Найти вектор, нормальный к прямой С'. Ю Гл шп, пРВОВРАзОВАния плОскОсти и пРОстРАнстВА 1 Гааз 3) Доказатгь что прямая, проходящая через начало координат О и через пентр окружности С, перпендикулярна к прямоп С'. 126БР. Пусть С' — прямая, являющаяся образом окружности С ма+уз+ 2ал-+ 26у = О при инверсии (О, а) с полюсом в начале координат.
При каком условии прямая С' кзсается окружности С? 1266. Пусть А' и В' — образы точек А и В при инверсии (О, а). Выразить длину отрезка А'В' через длины отрезков АВ, ОА, ОВ и о. 1267*. Доказать, что если полюс О ннверсии (О, и) лежит вне окружности С, то множество точек, лежащих внутри окружности С, отображается при инверсии (О, о) на множество точек, лежащих внутри окружности С', являющепся образом С; множество точек, лежаптих вне окружности С, отображается на множество точек, лежащих вне окружности С'. Если же полюс О инверсии лежит внутри окружности С, то множество точек, лежапгих внутри окружности С, отображается на множество точек, лежащих вне окружности С', а множество точек, лежащих вне окружности С, отображается на множество точек, лежащих внутри окружнОсти С .
1268. Рассмотрим инверсию (О, гз). Доказатть что каждая точка окружности с пентром О и радиусом г (окружность инверсии) является неподвижной при инверсии (О, г'). Каждая точка, лежащая внутри этой окружности,-переходит в точку, лежащую вне окружности (и наоборот). 1269*. Доказать, что: 1) любая окружность, ортогональная к окружности с пентром О и радиусом г, при инверсии (О, гз) переходит всебя; 2) любая окружность, отличная ог окружности инверсии и переходящая в себя при инверсии (О, г'), ортогональна окружности инверсии. 1270*. Прп каком условии окружность С пересекает свой образ С' при инверсии (О, гз)? 1271в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
