1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1076. Написать уравнение плоскости, проходящей через ' прямую « — 2 у — 3 г — 2 2 — ! О и касающейся эллипсоида «2 уг гг !6 + 12 + 4 1077. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую « — !5 у г — !! О 2 — 1 и касающейся гиперболического параболоида «г уз — — — = 2г. 9 4 1078. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности 2хг+ 5уг+ 2«г — 2ху+ буг — 4х — у — 2г = О, проходящей через прямую 4х — бу = О, г — 1 = О.
1079. Найти касательную плоскость к поверхности 4хг+ буг+ 4гг+ 4хг — 8у — 4г+ 3 =- О, параллельную плоскосгн х+2у+2=0. 1080. Найти касагельную плоскость к двуполостному гиперболоиду «' Рг гг аг+ Ьг сг отсекающую на осях Ох и Оу отрезки, соответственно рав- ные а и Ь, 1ааг 1 %а. кАсАтельнАя плОскОсть 1081. Найти касательную плоскость к однополостному кг уг гл гиперболоиду — + — — — = 1, отсекаюшую на осях Ох и а' аг гг Оу отрезки, соответственно равные а и Р, и найти прямые, по которым эта плоскость пересекает гиперболоид.
1082. Написать уравнение касательной плоскости к эллнпкл уг тическому параболоиду — + — -=2г, отсекающей. на осях Ох Р Ч и Оу отреаки, соответственно равные р и д. 1083в. Лан гиперболический параболоид кл 2 З и плоскость 2х+Зу — г=О. Написать уравнение плоскости, параллельной данной и пересекающей параболоид по паре прямых; найти эти прямые. 1084. Найти точку пересечения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида ха+уг — га= 1, по которым его пересекает плоскость, параллельная плоскости х+у — г=О, и определить угол между этими образующими. 1086.
Найти точку пересечения прямолинейных образующих гиперболического параболоида х' — уг=2г, по которым его пересекает плоскость, параллельная плоскости х — у+к+1=О, я определить угол между этими обрааующими. 1086. Найти угол ~р между прямолинейными образующими однополостного гиперболоида гг ха+уз 4 проходящими через точку (1, 4, 8), беря на этих образующих лучи, направленные от данной точки к горловому эллипсу. 1087*. Лан однополостный гиперболоид к' у' г' 4 9 1б 153 гл.
чп, повьихностн втогого погядка [ 1Оза Через его образующую х — 2 у а О 3 4 и ~очку (О, 3, О) проведена плоскость. Найти вторую прямую линии пересечения этой плоскости с гиперболоидом. 1088*. Доказать, что ортогональные проекции прямолинейных образующих однополостного гиперболоида „а уа ая — + — — — =1 а +Ья и гиперболического параболоида аа уя — — — =2з Р з на плоскости координат касаются сечений этих поверхностей координатными плоскостями (для гиперболического параболоида рассматриваются только проекции на плоскости Оуз и Охг).
1089. Найти прямолинейные образующие поверхности х'+уз+ за+ 2ху — 2хг — ух+ 4х + Зу — ба+ 4 = О, проходящие через точку ( — 1, — 1, 1). 1090а. Дан гиперболический параболоид ф уя — — — — = 2а. 16 9 Через его образующую х у а 4 3 О и точку (1, 1, 1) проведена плоскость. Найти вторую прямую линии пересечения параболоида с этой плоскостью. 1091*. Доказать, что если уравнение а,ха+ а„Уа+ латая+ 2аяаУа+ 2аа,ах+ 2атяхУ+ + 2аах+ 2аау+ 2аах+ а = 0 определяет параболоид, то уравнение 2а,х+ 2аяу+ 2ааа+ а = О является уравнением касательной плоскости к этому параболоиду. 1092. Доказать, что направляющие векторы прямолинейных образующих поверхности второго порядка, проходящих 1!00 1 4 а.
кАСАтБЛьнАЯ ПЯОСКОСть через точку Л, принадлежат конусу асимптотических направ' лений и касательной плоскости к поверхности в точке Л. 1093". 1) Найти координаты направляющих векторов прямолинейных образующих однополостного гиперболоида ля уд дд! — + -- — — —.=1, а'+ьд сд проходящих через точку (ха, уа, «0) гиперболоида. 2) Рассмотреть частный случай, когда точка принадлежала горловому эллипсу поверхности. 1094. Найти направляющие векторы прямолинейных обра- »2 уд зуюших гиперболического параболоида — — — =2«, прохо- Р Ч дЯших чеРез точкУ (хм Уэ «0) этого паРаболоида.
10960. Найти геометрическое место точек, лежащих на гиперболическом параболоиде хя уд — — — -= 2», Р Ч через каждую из которых проходят две взаимно перпендикулярные образующие. 1096в. Доказать, что нормали к невырожденной линейчатой поверхности второго порядка, проведенные в точках прямолинейной образующей, составляют гиперболический параболоид. 1097*.
Доказать, что конус, образующие которого параллельны нормалям к поверхности второго порядка в точках ее плоского сечения, есть конус второго порядка. 1098а. Написать уравнение поверхности, состоящей из прямых, пересекающих три прямые: 1 х=--, у=»; у= — 1, «=2«; у=1, »= — 2х.
1099*. При каком необходимом и достаточном условии плоскость Ах+Ву+С»+0=0 касается невырожденной поверхности второго порядка аых'+ аа,УЯ+ ааа«0+ 2адаУ«+ 2азд«х+ 2аг хУ+ + 2адх+ 2аау+ 2аа»+ а = О? 11000. Доказать, что любая плоскость пересекает однополостный гиперболоид, гиперболический параболонд и конус второго порядка. 166 ГЛ. УП. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1 1101 1101е.
При каком необходимом н достаточном условия плоскость Ах + Ву+ Сл + 1) = О пересекает каждую нз следующих поверхностей: ле уе а2 2) --,-+ -,- — —,= — 1; 3) -- — + -У вЂ” =2г (Р> О, ~У> О). Р Ч 1102". При каком необходимом и достаточном условия плоскость Ах + Ву+ Сл+ () = О касается каждой из следующих поверхностей: се у2 а2 2) -- + — — — -=1; аа Ь' с' 3) — -+ — — — = — 1; ад Ье се 4) ~--+ У =2л; Р Ч 5) -- — — с — = — 2г. Р Ч 1103е. Доказать, что плоскость, касательная к асимпто. тическому конусу центральной поверхности второго порядка, пересекает поверхность по параллельным прямым, симметричным относительно прямой, по которой происходит касание плоскости с конусом.
ф 6. Центр. Диаметральные плоскости; плоскости симметрии и оси симметрии Александров, гл. Х1Х, $5; гл. ХХ, 441 — 4, 6. Моде нов, гл. Х11, 44 155, 156, 159, 163 — 165. 1104. Написать уравнение поверхности второго порядка, проходящей через точку (О, О, 1), имеющей центр в точке (О, О, — 1) и пересекающей плоскость Оху по линии Зх' — 4ху — 3=0, я=О.
н!о ! 4 а. цвнтг. дилмвтилльныв плоскости !б! 1105. Дан однополостный гиперболоид ве ув ев 4 ' 9 !б и плоскость 6х+4у — Зя — 12=0. Определить направление хорд, которым сопряжена диаметральная плоскость, параллельная данной плоскости. 1106. Написать уравнение диаметральной плоскости гиперболического параболоида ! зв ув — — — =2г б 9 проходящей через прямую х=у, г= 1 и найти направление тех хорд, которым сопряжена эта плоскость.
1107. Дан эллиптический параболоид. ° хв ув — =2з 8 + 18 и две точки (3, О, 5) и (О, 4, 7). Написать уравнение диаметральной плоскости параболоида, проходящей через данные точки, и определить направление сопряженных ей хорд. 1108в. Дан параболоид вращения хз+ уз 2рз и круглый цилиндр (х — а)з+зя=г' Нзписать уравнение плоскости, которая была бы диаметрзльной плоскостью как для параболоидз, так я для цилиндра. 1109в. Написать уравнение плоскости, пересекающей однополостный гиперболоид хя ув зн — -г- — — — = 1 2 ' 3 5 по линии, центр которой находится в точке (6, 6, 5).
1110в. Доказать, что если три некомпланарные хорды поверхности второго порядка проходят через одну точку и делятся в ней пополам, то эта точка является центром поверхности. 6 П. С. Молевое, А, С. Перхоменно !62 ГЛ. ЧИ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 11Н 1111"'. Локаза1ь, что есл11 за ось Оз принять произвольную прямую, не имеющую асимптотического направлеш!я поверхности второго порядка, а за плоскость Оху — диамегральную плоскость, сопряженную направлению этой прямой, то в уравнении поверхности будут отсутствовать члены с произ-.
ведениями координат хг и уз. 1112*. Локазать, что плоскость пересекает эллиптический или гиперболический параболоид по линии второго порядка, имеющей единственный центр тогда и только тогда, когда плоскость сечения не параллельна особому направлению. 1113*. Доказать, что плоское сечение центральной поверхности второго порядка имеет единственный центр тогда и только тогда, когда плоскость, проходящая черев центр поверхности и параллельная плоскости сечения, пересекает асимптотический конус поверхности по двум различным прямым (действительным или мнимым). 1114.
Доказать, что касательные плоскости к поверхности второго порядка в концах ее диаметра параллельны между собой. 1115з. Как запише Гся уравнение однополостного гнперболо-. идз, если за начало координат принять точку поверхности, за оси Ох и Оу — проходящие через нее прямолинейные образующие, а за ось Оз — проходящий через нее диаметр. 1116з.
Локазать, что каждая плоскость, параллельная особому направлению эллиптического или гиперболического параболоида, является диаметральной плоскостью, сопряженной к однозначно определенному неособому направлению. 11!7з. Локазать, что диаметральные плоскости, сопряженные к неособым направлениям„ параллельны тогда и только тогда, когда плоскость, параллельная этим направлениям, параллельна особому направлению. 1118*. Локазать, что диаметральная плоскость, сопряженная неасимптотическому направлению, пересекает асимптотический конус поверхности по двум различным образующим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
