1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 27
Текст из файла (страница 27)
инвлгилнты !49 1047*. С помощью инвариантов 1 а11+ а22+ адд 1 а11 йзз ) + ( йдз йм ~ + ~ ап азз ~ йзз а1 йм й а, аз а аи а,д йи ам ам ам. йз аз а,з а,з ам 1 !з= ам йгд ж~~ ад1 йзз азз найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы поверхность второго порядка, заданная общим уравнением апхз+ аззУ'+ аззгз+ 2аыхУ + 2йззУг + 2аз,ах+ + 2атх+ 2а,у+ 2азг+ а = О, была: 1) эллипсоидом; 2) мнимым эллипсоидом; 3) мнимым конусом; 4) однополостным гиперболоидом; 5) двуполостным гиперболоидом; 6) конусом; 7) эллиптическим параболоидом; 8) гиперболическим параболоиддм. 1048:". Доказать, что: 1) следуюшие функнин: !а„адз аз~ !ам йьд аз~ !ап а,д а,1 !аз= азд ам аз + азд азз йд + ам азз аз, ад а, а ад а, а а, а, а !з !а11 аз~+ )ам аз~+ )адз йз( коэффипиентов многочлена второй степени с тремя переменными а„х'+ а„у'+ аздг'+ 2а„ху+ 2аззуг + 2а„гх+ + 2атх+ 2азу+ 2адг+ а являются инвариантами однородного ортогонального преобразования переменных; 2) 722 ЯвлЯетсЯ ннваРиантом неодноРодного оРтогонального преобразования 'переменных, если а„а„азз а, а„ай ам а, ад, адз азд ад ад ад й, а ~ ам аи азз !д= азз ал а.,д =О; аз1 йзд а,з =О, 3) 1," является инвариантом неоднородного ортогонального преобразования переменных, если !з=! =О и 150 Гл, ч!г.
пОВеРхнОсти ВТОРОГО ПОРядка 1 !929 Функции 1,* и 7,* называ2отся семиипвариантами многочлена второй степени с тремя переменными относительно ортогонального преобрааования переменных. 1049*. С помощью инвариантов 7,, 1„ 72, 7„ 72, !„ 'найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы поверхность второго порядка, заданная общим уравнением, была: 1) эллиптическим цилиндром; 2) мнимым эллиптическим цилиндром; 3) парой мнимых пересекающихся плоскостей; 4) гиперболическим цилиндром; 5) парой действительных пересекаюгцихся плоскостей; 6) параболическим цилиндром; 7) парой действительных параллельных плоскостей; 8) парой мнимых параллельных плоскостей; 9) парой совпадающих плоскостей.
1050в. Доказать, что если 72 — — !2=0, то приведенное уравнение поверхности второго порядка имеет вид 1) Л,х'2+Л,у' + — '=О, если 79~0; 2 здесь Лг и Ля — отличные от нуля корни характеристического уравнения; 2) 71х"-1-2 1~ — — '-у'=О, если 7,=0, 1,"~О; 1 3) 1,х'2+ — "=О, если 72=0, 1,*=0, 71~0.
! 1051. Доказаттч что следующие уравнения определяют поверхности, распадающиеся на пару плоскостей, и найти эти плоскости: 1) уя+ 2ху+ 4ха+ 2уа — 4х — 2у= 0; 2) хя+ 4уа+ 9хя — 4ху+ бхай — 12уг— — х+2у — За — 6=0; 3) Зхя — 4уя+ Заа+ 4ху+! Оха— — 4уа + бх — 20у — 14 а — 24 = 0; 4) 4хя+9уя+аа — 12ху — бух+ + 4ах+ 4х — бу+ 2а — 5 = О, Система координат аффинная. 1052. Определить вид поверхности, пользуясь приведением левой части ее уравнения к сумме квадратов: 1) 4хя+буя+4гя+4ха — 8у — 4а+3=0; 2) хя+ буя+ ая+ 2ху+ бха+ 2уа — 2х+ бу — 10х= — О; 1058 1 й м тип РЕРАсположение пОВЯРхнОсти, инВАРиАнты 151 3) ха+уз — Ззя — 2ху — бхг — буа+ 2х+ 2у+ 4а = О; 4) ха — 2уа+за+4ху — Зхз— — 4уг — 14х — 4у+ 14г + 16 = О; 5) 2х'+ Ра+ 2за — 2ху — 2уа+ х — 4у — За+ 2 = О; 6) ха — 2уа+за+4ху — 10хе+4уа+х+у — а=О; 7) 2ха+уя+2за — 2ху — 2уз+4х — 2у=О; 8) хя — 2уя+ ая+ 4ху — 10хз+ 4уз+ + 2х+ 4у — 1ОŠ— 1 = О; 9) ха+у'+ 4за+ 2ху+ 4хг+ 4уз — 6з+ 1 = О; 10) 4ху+2х+4у — ба — З=О; 11) ху+ ха+уз+ 2х+ 2у — 2з = О.
Система координат аффинная. 1053в. Найти наибольший угол ф между образующими конуса аа+ 2ху+ 2хе+ 2уг = О, а также углы а, р, 7, которые составляет его ось с осями координат. 1054. Выразить с помощью инвариантов условия, необходимые и достаточные для того, чтобы общее уравнение второй степени определяло параболоид вращения, и найти, его параметр. 1055в. С помощью инвариантов выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы общее уравнение второй степени определяло гиперболический параболоид с равными параметрами главных сечений, и найти эти параметры. 1056*.
1) С помощью инвариантов найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы общее уравнение второй степени с тремя неизвестными определяло однополостный или двуполостный гиперболоиды с равными полуосями. 2) Пользуясь инвариантами, написать канонические уравнения этих гиперболоидов. 1057в.
При каком необходимом и достаточном условии два гиперболоида имеют общий асимптотический конус? 1058*. Дана поверхность второго порядка ха+уз+ за+ 2аху + 2ахе + 2ауз = 1. 1) Доказать, что при всех значениях параметра а эта поверхность является поверхностью вращения; найти напрзвляюший вектор ее оси вращения.
2) Для каких значений параметра а поверхность будет эллипсоидом? 1бг Гл. Уп. повеРхности ВТОРОГО погядка [ !999 х=О; у=о. 1066*. 1) Составить уравнение поверхности второго порядка, пересекающей координатные плоскости по гиперболам аа Ьа га уз= — — х — О, ха= — —, у — О, ху=- —, 2) Определить вид этой поверхности. 3) Привести ее уравнение к каноническому .виду при а=Ь=с=!. 1067*.
1) Составить уравнение поверхности второго порядкз, пересекающей плоскость Оху по паре прямых, а плоскости Оха и Оуа по окружностям радиуса г, касаю- 10609. Доказать, что если общее уравнение второй степени га(х, у, з)=О определяет гиперболоид (однополостный или двуполостный), то уравнение г4(х, у, я)= — — опреде- ~4 га ляет его асимптотический конус. 1060*. Определить Ь так, чтобы поверхность ха — 2ху+ + Ьаа=О была конусом вращения, и найти ось вращения.
10619. Докааать, что для того, чтобы в конус второго порядка можно было вписать трехгранный угол, ребра которого попарно перпендикулярны, необходимо и достаточно', чтобы (4=0. Доказать также, что в этом случае всякая плоскость, проходяацая через вершину конуса и перпендикулярная к любой его образующей, пересекает конус по двум взаимно перпендикулярным прямым. 1062*. Пусть уравнение второй степени Г(х, у, а)=О определяет гиперболоид.
Найти условия, необходимые и досгаточные для того, чтобы точка (ха, уа, «9) лежала в области, ограниченной гиперболоидом и его асимптотическим конусом. 1063*. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка (ха, уа, аа) лежала внутри эллиптического пилиндра, определяемого уравнением второй степени Г<х, у, )=О. 10649. Составить уравнение конуса второго порядка, пересекающего плоскость Оуа по окружности уз+за=2гу, х=О, а плоскость Охз по параболе а9=-2рх, у=О.
10659. Составить уравнение конуса второго порядка, на котором лежат Окружности уа+ ха — 2Ьу = О, ха+ аа — 2ах = О, 1070] З 4. ТИП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ИНВАРИАНТЫ ]53 и невырожденная квадратичная форма аттх +аиУ +Узза + 2аязУг+ 2ааягх+2аихУ. Доказать, что следующие функции коэффициентов данного многочлена и квадратичной формы; а,з а,я а,э а, ап а,я ам аи азз аи аяз а аи аи аи аи аз аэ аи аи аэ 1 ==- з а, а, аэ а ап а11 а11 ам аи аяз аз1 аи азз ап ап азз аи аи азз аэз аи а аз ап аи аи ~ ап ап аэз аээ аи эьз + ая, аи аээ азя азз аи аи аи ап аи аи + ап ам азз ап аээ ам аэя азя аи ап аээ азэ ~ ап ап азз ап аи азз +~ аяэ аэя аяэ аз1 азя аи ~Ь1 азэ азэ ! ап азэ азз ам аи "яз + азэ аи аээ 1— ап ап а11 ап аи аяз аи аи азз — являются инвариантами невырожденного неоднородного линейного преобразования переменных х, у, г.
щимся оси Ог в начале координат и расположенным и положительных полуплоскостях. 2) Привести полученное уравнение к каноническому виду. 1066*. Составить уравнение параболоида, проходящего через две прямые х=О, г=2 и у=0, г= — 2 и через две точки (0,1,— 1) и(1,— 1,0). 1069э. Найти геометрическое место оснований перпендикулярон, опушенных из центра эллипсоида на плоскости, проходящие через концы трех попарно перпендикулярных диаметрои эллипсоида. 1070"'. 1) Дан многочлен апхэ+ аяяУ'+ аззгз+ 2аязУг+ 2аигх+ + 2аэяху+ 2а,х+ 2аэу+ 2а г+ а 154 ГЛ. ЧДД. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 1070 2) Функции а, О2 аз а аи О 12 азд адз Озд ам а, О адз ад заз а, аз, аз аз а аи О12 кдз О21 1"22 азз азд аз 2 ам а, аз О ни О12 О12 ди ам азз йм азз аз. ад аз О, 1'12 аз О адз аи Изз 2'"22 азз азз О аз а, а, аз а аи 412 ызз азд азз азз аз Ом йм йзз аз а, О О а аи адз аи а, Кзд "12 Ь2З '12 йзд ам йзз аз О аз О а йи йм йм О ! аи здз адз Им зм зм азд зм ззз +Лу" +Л «" +-4 — =О, если 12~0; +Л,у' -н 2 01 — --' «' =О, если 12=0, 14~0; 2 +Л,у"+ — '-=О, если 10 — — О, 14 — — О, 12~0; 12 з' 11 .+.
2 1~ — — 'у'=О, если 1,=О, 1,=О, 1,=О, 1„'~О; + - "- = О, если 12 = О, 14 = О, 12 = О, 12 = О, 1д ~ О, Лдх' Л,х' Л,х' являются инвариантами невырожденного однородного линейного преобразования переменных х, у, «. 3) Если 14=12=0, то 12 является инвариантом невырожденного неоднородного линейного преобразования переменных х, у, «. Если 1з =14=1, =1, *=О, то 12 является инвариантом невырожденного неоднородного линейного преобразования переменных х, у, «.
4) Приведенные уравнения поверхностей второго порядка, заданных общим уравнением аих'+ а,зУ'+ аз,«'+ 2а„хУ+ 2а,зУ«+ + 2азд«х+ 2а,х+ 2азу+ 2аз«+ а = 0 относительно аффинной системы координат с метрическими коэффиниентами дд; записываются в следующем виде: 155 $ а. кАсАтельнАя плОскОсть 1014 1 где Хтч !аз, )и — отличные от нУлЯ коРни хаРактеРистического уравнения ан — 1Ыаа ааз аь.аз — АД а оаз хД 0 ам — !"Ым а аз г4."за ааа - Луга аа — 3уаа аз а АЫза ф 5. Касательнан плоскость.
Прямолинейные образующие Александров, гл. ХНП1, 4 б; гл. Х!Х, 45 3, 4. Моден ов, гл. Х1, ф !36, гл. Х!1, 44 !60, !61. Постников, гл. 5, 4 3, пп. 4, 5. 1071. Составить уравнение касательной плоскости к каждой из следующих поверхностей в лежащей на поверхности точке (хеуо хо): ха уз за 1) .3 + ьа-+-Ф-=-1; х' у' 4) — -+ — =2а; Р 9 Р ха уа зо б) †.
— + ,- — †,-=0 (при условии, что точка (хо, уо, х ) аз Ьа оа не совпадает с вершиной конуса). 1072. 'Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы нераспадаюшаяся поверхность второго порядка апх'+ аязу'+ аззхз+ 2аазуа+ 2азахх+! + 2а,аху+ 2а,х+ 2а,у+ 2азх+ а =-0 касалась плоскости Оху в начале координат.
1073*. Доказать, что касательная плоскость к поверхности второго порядка пересекает поверхность по паре прямых !действительных, мнимых или совпадающих). 1074*. Доказать, что любая плоскость, проходящая через прямолинейную образующую однополостного гиперболоида или гиперболического параболоида 1не параллельная особому направлению), касается поверхности. !56 ГЛ. РП. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ! 5075 1076. Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду «г уг гг + !в+ 32 18 5 проходящей через точку (12, — 3, — 1) и параллельной оси Ог.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
