1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 22
Текст из файла (страница 22)
827*. Доказать, что если две равносторонние гиперболы пересекаются в четырех точках, то каждая из этих точек есть точка пересечения высот треугольника, образованного тремя другими точками. ф 6. Касательные к линиям второго порядка Александров, гл.
ХЪгП, 44. А[ оде нов, гл. Ъ'Ш, 44 110, 118, 123; гл. Х!, 4 147. 828. Составить уравнения касательных к эллипсу аа уа — + - 1, 32 18 проведенных из точки (12, — 3). 829. Написать уравнения касательных к гиперболе уа х' — 4 — — 1, проведенных иа точки (1, 4). 830; Написать уравнения касательных к параболеуа=4х, 81 проведенных из точки ( — 1, 3). 831. Дано уравнение касательной х — Зу+ 9=0 к пара- боле уз =2р.е. Составить уравнение параболы. 832. Найти кратчаип4ее расстояние параболы уа=64х от прямой 4х+Зу+46=0. 833. Написать уравнения касательных к эллипсу Аа уа —.
+ — = 1, параллельных прямой с+у — 1=0. 18 9 834". Найти условие, необходимое и достаточное для ла уа того, чтобы к гиперболе — — .—, = 1 можно было провести оа аа касательные, параллельные пряь[оп у = [г.е. 120 ГЛ. УГ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ ааа 836. Найти касательную к параболе у'= 2рх, параллельную прямой у=-йх. 836. Написать уравнение касательной к параболеут= — 2рх, отсекающей на осях коорлинат равные отрезки. 837. Найти геометрвческое место середин отрезков касателыптх к параболе у'=2рх, заключенных между осями коорлинат.
838в. Написать уравнения касательных к эллипсу Зх' + йу'= 46, расстояния которых от пентра эллипса равны 3. 839. Написать уравнения касательной к гиперболе ху=С в точке (ха,уа), лежащей на гиперболе. 840. Найги угол между касательными к двум равносторонним гиперболам в их общей точке, если оси олной гиперболы служа~ асинптогами другой. 841". Доказать, что отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания пополам.
842"'. 1(оказать, что все треугольники, образованные асиьшгогами гиперболы и произвольной касательной к ней, имеют одну и ту же площадь ю Выразить эту площадь через полуоси гиперболы. 843. Гипербола, оси которой совпадают с осями координат, касается прямой х — у — 2 = 0 в точке М = (4, 2). Составить уравнение этой гиперболы. 844.
Составить уравнение г1шерболы, зная уравнения ее х асимптот у = -[- и уравнение одной из ее касательных, 2 бх — бу — 8=0. 845а. Найти условия, необходимые и достаточные для ха ут того, чтобы к гиперболе — — = 1 из точки (хв,у,): ат 1) можно было провесги две касагельные; 2) можно было провести олпу касательную; 3) нельзя было провести ни олной касатеЛьной. 846в.
При каком необходимом и достаточном условии касательные, проведенные из точки (х„ув) к гиперболе хя ут —, — — = 1, касаются различных ее ветвей. Ьа 847*. Написать уравнение касательной к гиперболе, проявленной из точки (ха, у,), лежащей на ее аспмптоте Ь у=- х и отличной ог пентра гиперболы. а 858 ] $5. кАОАтельные к линиям ВТОРОГО пОРядкА 121 8488.
Найти условия, необходимые и дос~аточные для того, чтобы прямая Ах+Ву+С О касалась: хя у' 1) эллипса 8+ ~я=]] хя уя 2) гиперболы — — — =1. дя 52 3) параболы у'= 2рх; 4) гиперболы ху=?г. 849,. Эллнпс, имеющий фокусы в точках ! — 3, О), !3, О), касается прямой х+у — 5 -О. Составить уравнение эллипса. ха уя . 850*. !]ан эллипс — + —,-= — 1 и прямая Ах+ Ву+С= О.
д' ье Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая пересекала эллипс, касалась его, проходила вне эллипса. 851*. Найти общие касательные к двум эллипсам: уя ха уя — + — =1 и — + — =1. 6 4 4 5 862*. Определигь общие касательные к параболеу8=4х х' уя и к эллипсу — + — = 1. 8 2 853*. Нзйти геометрическое место точек, из которых можно провести взаимно перпендикулярные касательные: х2 уй х' уя 1) к эллипсу —, + — = 1; 2) к гиперболе — — — = 1 аа ая ду 82 3) к параболе уз= 2рх. 8548. Эллипс при движении по плоскости касается двух вааимно перпендикулярных прямых. Какую линию описывает пентр эллипса? 8558. Найти геометрическое место точек, из которых к действительной нераспадающейся линии второго порядка можно провести равные касательные.
856*. Доказать, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на его осях. 867. Найти уравнения сторон квадрата, описанного около эллипса хя уа — + — = 1. 6 3 858". ).!аписать уравнение параболы, касающейся оси Ох в точке (3, О), а оси Оу в точке (О, 2). !22 [ 559 ГЛ. Ч1.
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 869*. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку [1, 1), каса1оп[ейся оси Ох в точке [3, 0) и имеющей ось Оу своей асим1потой. 860*. Написать уравнение гиперболы, имеющей асимптотами прямые х — 1=0, 2х — у+1=0 и касающейся прямой 4х+у+ б = О. 861". Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы прямая Ах+Ву+С=-0 касалась нераспада1ощейся линии второго порядка, заданной общим уравнением а,тха+2а аху+ааауа+ 2а х+2а. у+ а=-О. 862*. Найти геометрическое место точек, произведение расстояний которых ло боковых сторон равнобедренного треутольника равно квадрату расстояния до его основания.
863в. Показать, что произведение расстояний от фокуса линии второго порядка до двух параллельных касательных к ней равно квадрагу малой полуоси в случае эллипса и квадрату мнимой полуоси в случае гиперболы. 8649. Доказать, чго произведение расстояний от фокусов линии второго порядка до любой касательной к ней равно квадраау малой полуоси в случае эллипса и квадрату мнимой полуоси в случае гиперболы. 866в. Доказать, что: 1) нормаль к эллипсу в произвольной его точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы эллипса; 2) касательнзя к гиперболе в произвольной ее точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы гиперболы; 3) нормаль к параболе делит пополам угол, образованный лучом, выходящим из этой точки и проходюцим через фокус параболы, и лучом диаметра параболы, выходящим из этой точки и направленным в сторону вогнутости параболы.
866"'. Найгн геометрическое место точек„ симметричных фокусу линии второго порядка относительно касательных к этой линии. 867"'. Найти геометрическое место проекпий фокуса линии второго порядка на всевозможные касательные к ней. 868"'. Доказать, что: 1) касательные в точках пересечения софокусных эллипсз и гиперболы взаимно перпендикулярны; 123 % б. ЦЕНТР, ДИАМЕТРЫ, АСИ7ЯПТОТЫ бтб ] 2) касательные в точках пересечения парабол с об~дни фокусом и противоположно направленными осями взаимно перпендикулярны. 869е.
Доказать, что прямая, соединяющая точки прикосновения касательных к линии второго порядка, проведенных иа произвольной точки ее директрисы, проходит через фокус, соответствующий этой директрисе. 870е. На эллипсе ла уб —;+ р=! (~) 5) найти точку, нормаль в которнй находится на наибольшем расстоянии 6 от венгра эллипса. Найти это расстояние.
871а. Локазать, что прямая, соединяющая фокус Г параболы с точкой пересечения касательных к параболе в двух произвольных ее точках Л47 и Л47 делит пополам угол 7!47!'Ля. 872еь Нанти множество точек, каждая из которых является проекпией фокуса эллипса из все прямые, которые: 1) касаются эллипса; 2) пересекают эллипс; 3) не имеют с эллипсом общих точек. 873е. Найти множество точек, являющихся проекпиями фокуса гиперболы на все прямые, которые: 1) касаются гиперболы; 2) пересекают гиперболу; 3) не имеют с гиперболой общих точек, 874е.
Найти множество точек, каждая из которых является проекпиеп фокуса параболы на все прямые, которые: 1) касаются параболы; 2) пересекают параболу; 3) не имегот с параболой общих точек. 9 6. Центр, диаметры, асимптоты линий второго порядка Д л е к с а и д р о в, гл. ХЧП, 55 1, 3, 5 — 9, 11, Моде нов, гл. 17!П, 55 144 — 146, 148, 159. Постников, гл.
6, 5 1, пи. 4 — 3. 875. Найти асимптоты следующих гипербол: 1) 3ха+Тху+4уе+бх+2у — 6=-О; 2) 2хе+бху — 12х — 18у+5=0. 124 гл. ш. линии втогого повидал 1вта 876. Найти соотношения, связывающие угловые коэффи- пиенты лт и 7гя двух сопряженных диаметров: ля уя 1) эллипса — + — = 1 ая 1я хя уя 2) гиперболы — — — =1 ая Ья у 3) гиперболы ху=С. 877. Написать уравнение диаметра эллипса хя у' — + — =1, 16 12 проходящего через середину хорды, отсекаемой эллипсом нз прямой Зх+2у — 6=0. 878. Написать уравнения двух сопряженных диаметров хя уя гиперболы — — — = 1, один из которых проход~гт через 16 12 точку (2, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
