1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 20
Текст из файла (страница 20)
10) Во что переходят окружности Ср и окружности, проходящие через точки 0 и А при инверсии (О, ~ ОА ~ ). 728з. Пусть ид и и, — левые части уравнений неконцентрических окружпосдей: ид — — (х — ад)'+ (у — ад)з — г, '= О, и,=(х — а,)а+(у — сса)' — г,'= О. 1) Доказать, что уравнение Лдид+Л,и,=О, где Лд и Л,— числа, не равные нулю одновременно, определяет окружность, если Л, + Ла ~ О, и прямую, если Лд+ Лз — — О.
Уравнение Л,и, + Ласса = О называется уравнением пучка окружностей, определяемого двумя данными окружностями ссд=О, и,=О. 108 Гл. т!. линии ВТОРОГО ГГОРядкл ! Гса 2) Найти пегпР С окРУжности пУчка Л,пт+ азиз= О (),т+ ),з ~ О). 3) Доказать, что пентры всех окружностей пучка лежаг на одной прямой. 4) Найти уравнение прямой 1, входяшей в пучок окружностей )гтпт+!Гана=О. 5) Доказать, что прямая 1, принадлежащая гучку )ти, + +)зиз.=О, является радикальной осью двух любых окрукностей этого пучкз. 6) Доказать, что если две окружности пучка пересекаются в точкзх А и В, то любая окружность пучка проходи~ через точки А и В, и обратно: любая окружносгь, проходящая через точки А и В, принадлежит этому пучку. Такой пучок называется эллп1ыическим, а точки А и В называются базисными -Гочками эллиптического пучка.
7) Д(тказат1ь что если две окружности пучка касаются в точке А, то любые две окружности пучка касаются друг друта в этой ~очке. Такой пучок называегся параболнч.ским. 3) Докззать, что если две окружности пучка не пересекаются, то не пересекаются и никакие две окружности пучка. Такой пучок называется гиперболическим. 9) Доказать, что пучок окружностей является эллиптическим согда и только тогда, когда он не содержиг ни одной пулевой окружности.
Пучок является параболическим ~огда и только ~огда, когда он содержит только одну нулевую окружность. Пучок окружнос1ей является гиперболическим тогда и только Гогда, когда он содержиг две нулевые окружности. Нулевые окружности гиперболического пучка называются его предельными точками или точками Понселе. 9 2. Эллипс, гипербола, парабола а) Ллексаидров, гл. т"!! гл. тг!П, Э 1, и. 3. М о де в о в, гл.
ЧП1, Я !02 — !09, 112 — !17, 120 — 122, 125. П о с т н к к о в, гл. 5, Э 1. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагаегся прямоугольной. 729. Составить уравнение линии второго порядка, оси которой совпадают с осями координат, зная, что она проходит через точки (2, 2), (3, !). '! См. также задачи 3!5 †3. 740 1 4 я, эллипс, ГипеРБОлА, пАРАБОлА 730. Написать уравнение эллипса, описанного около равностороннего треугольникз, две вершины которого находятся в точках (а, О) и ( — а, 0) и совпадают с вершинами эллигса, принадлежащими одной оси.
731. ! !вписать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1, 2), асимпготами которой служат прямые 1 у= г---х. 2 732. 1(оказать, что длина отрезкз, соединяющего ценгр эллипса с произвольной его точкой, заключена между длинами полуосей чгого эллипса. 733ж. Локаза7ь, что если ОА и О — отрезки взаимно перпендикулярных прямых, соединяющих центр эллипса О 1 1 с двумя его точками А и В, то .; ! есть величина по- !ОА~ !ОВ!Я сгоянная.
734. Найти длину стороны равностороннего треугольника, вписанного в параболу ув= 2рх так, чго одна нз вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. 735. Написать уравнение эллипса, пересека7ощего ось Ох в точках (1, 0) и (9, 0) и касающегося оси Оу в точке (О, 3), зная, чго его осп параллельны осям координат. 736. !!аписать уравнение эллипса, оси когорого параллельны осям координат, касающегося осей Ох и Оу соогвегс~венно в точках (о, 0) н (О, 3). 737. Сосгавигь уравнение параболы, зная, что вершина ее имеет координаты (а, Ь), параметр равен р и направление оси симметрии совпздает: !) с положигельным направлением оси Ох; 2) с отрицагельпым направлением оси Ох; 3) с положигельнь7м направлением оси Оу; 4) с отрицательным направлением оси Оу.
738. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1, 0), асимптотами которой явля7отся прямые х= О, у= 1. 739в. Написать уравнение равносторонней гиперболы, для которой ось Ох служиг асимптотой, а точка (1, 1) — вершиной. 740. Вычислигь длины сторон равнобедренного треугольника АВС, вписанного в равностороннюю гиперболу с полуосями, равными а, зная, чго вершина А совпадаег с вершиной 2п гиперболы и что угол при этой вершине равен —. 3 НО [ 74! ГЛ Р!.
ЛИНИИ ВТОГ'ОГО ПОРЯДКА 741. Написать уравпепие эллипса с вершипами (О, 6) и (О,— 2), зная, ч«о па оси Ох этот эллипс высекает хорду длипы 6 742. Написа«ь уравнение липши второго порядка, для которой ось Ох являе«ся осью симметрии, оа Оу — касательной в вершине, зная, что линии проходи! через две точки (2, 3) и (6, — 3). 743.
Локазат«ч что проиаведение расстояний любой точки гиперболы до двух ааышгог одно и то «ке для всех точек гиперболы. 744"'. [.!айт«4 геометрическое место це«пров окружностей, отсекзющих иа осях Ох и Оу хорды, соответственно равные 2а и 2[«. 745"'. Лве противоположные вершины параллелограмма иаходшся па гиперболе, а стороны параллелограмма параллельиы асимпготам гиперболы. Локазап, что прямая, соедишпощая дае другие противоположные вершины параллелогрзмма, проходит через центр гиперболы.
746з. Найти папбольп«ий радиус кругз, лежащего внутри параболы уз==2рх и касающегося параболы в ее вершине. 747"'". Локазать, что четыре точки пересечения двух парабол, оси которых вззпмпо перпендикулярны, лежат па одной окружности. 748"'. Через фиксированпую точку Ла оси параболы проводятся всевозможные хорды. Локазагь, что произведение расстояний ог концов хорды до оси параболы не зависит ог папраглепия хорды.
749. Написа«ь уравпеире параболы, вершина которой находится в точке (2, 6), а ось параллельна оси Оу, злая, что иа оси Ох эта парабола высекает хорду длины 6. 760. Написать уравнение равносторонней гиперболы, одна из вершин которой находи«ся в точке (2, 2), действительпая ось пзраллельпа оси Оу при условии, что па оси Ох гипербола высекает хорду длипы 8. 761'"'. Написать уравнение эллипса, для которого прямые х +у. — 1 = 0 и х — у + 1 = 0 суть соогветствеппо большая и малая оси и длины полуосей которого а=2, [«= 1.
752'"'. Нзписать уравнение параболы, осью которой служит прямая х+у+ ! = 0 и которая проходит через точки (О, 0), (0, 1), 758 . 1!вписать уравнение гиперболы, зная ее ось 2х — у+ 2=0, асимпгогу у=0 и точку (1, 1). ты ! 4 а. ФОкусы и диРектРисы линии ВТОРОГО пОРядкА 1!1 754Ф. Написать уравнение гиперболы, зная, что ее асиаштоты параллельны осям координат и что гипербола проходит через точки (О, 0), (2, 1), (1, 2). 755.
Найти геометрическое место точек, произведение расстояний которых до двух противоположных сторон прямоугольника равно произвелени7о их расстояний до двух других противоположных сторон его. 756"'. Нзйти геометрическое место основании перпенликуляров, опущенных из ценгра эллипса на его хорды, соедигюющие копны перпендикулярных диаметров.
757в. Найти геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, боковые стороны которых проходят через фиксированные точки Р и Г7, а основания параллельны фиксирванпой прямой Ы прп условни, что прямые Р77 и Г! не параллельны. 758. Докззать, что если две линии второго порядкз, оси которых пзраллельны, пересекзются в четырех Лейсгвительных точках, то эти гочки лежат на одной окружности. 9 3. Фокусы и директрисы линий второго порилка.
Уравнение линии второго порядка в полярных координатах Во всех залачах этого параграфа система коорлина7 прел- полагается прямоугольной. 1. Фокусы, директрисы, эксцентрггсплгеэс 759. Найти фокусы Р„Р, и соответствующие пм директрисы следующих линиИ: 2) — — 2у'+8=0; 3) у= -хз. х' 3 4 ' 4 ха уя 4 +20 760.
Найти фокус и директрису параболы Зх'+ 12х+ 16у — 12 = О. 761. Найти фокус Р и директрису с( параболы у=ах'. 762. Нанти фокусы и директрисы рзвносторонпеи гиперболы 2ху=а'. 763. Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами (7, 0) и ( — 7, 0), проходящих через точку ( — 2, 12). 764. Написать уравнение линии второго порялка, з~7ая ее фокус (2, 0), соответствующую ему директрису х=- 8 и 112 гл. ш. линии втогого пояядка [ 765 1 экснен>риситет е= —.
Найти в>орой фокус и вторую дирск>- 2' рису линщк 765. Написать уравнение линии второго порядка, фокус ко горой находится в точке (2, О), соогвегсгву>ощая ему директриса имеет ура н>ение х=б, зная, ч>о линия п[оходит через точку (1О, 6). Найти второй фокус и вторую директрису э>ой линии. 766. Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находи гся в точке (2, О), соо гветс>вующая ему дирак~риса имеет уравнение х=б, зная, что линия проходит через точку.
( — 4, 8), 707. Найм> длину хорды линии вгорого порядка, проходя.ней через ее фокус и перпендикулярной к фокзльной оси: хт Кя 1) эллипса —; + — — = 1, ая Ф хя 2) пшерболы — — —,=-1; ая Ья 3) параболы у'=2рлс 768. Найти ожюшенне, в котором венгр линии второго порядка делит отрезок ее фокальной оси, заключшгный между фокусом и соо гветствующей директрисой. 769. Вычпсл>пь эксцентриситет равносторонней гиперболы.
770. Пусть две гиперболы имеют общие зсимптоты. Локавать, что: 1) если эти гиперболы лежат в одной н той же паре вертикальных углов, образованных пх асимптогами, то их экспенгрпситегы равны между собой; 2) если эти гиперболы лежат в рззных парзх вер>пкальных углов, образованных их асили готамп, то произведение их экспенгриси>етов больше или равно 2, причем это произведение равно 2 только для рзвносторонних гипербол.
771. Определить экспентриситег эллипса, если расстояние между фокусами есть среднее арифметическое длин осей. 772. Найти экснентрзсигег эллипса, зная, что стороны вписанного в него квадрата проходят через фокусы эллипса. 773. Найти эксненгрзситет эллипса, зная, что в него можно вписать равносторонний треуголышк, одна пв вершин которого совпадает с вершиной эллипса, принадлежащей фокальной осн, а противолежащая ей сторона проходит через фокус эллипса. тзз1 ь з. фокусы н днивктяисы линни втогого погядкл 113 774.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
