1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 17
Текст из файла (страница 17)
606. Найти расстояние ~1 между двумя плоскостями: Ах+ Ву + Сз + Р = О, Ах + Ву + Сг + 0а = О. 607. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости Ах+Ву+Сг+Р=О и отстоящих от нее на расстояние д. 606. Составить уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов между двумя плоскостями: 7х+у — 6= 0, Зх+ 5у — 4а+ 1 = 0. 90 Гл ш плОскОсть и пРямля В пРОстРАнстВе 1 бба 609". Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между двумя плоскостями х — » — 5=0, Зх+ бу — 4»+ 1 = О, в котором лежит начало координат. 6!Ов. Написать уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла, образованного плоскостью 2х — Зу+ + 6» — 6=0 с плоскоспю Оу».
611в. Внутри треугольника, высекаемого на плоскости Оху плоскостями х+4у+8»+8=0, х — 2у+2»+2=0, Зх+4У+12=0, найти точку, равноудаленную от этих плоскостей. 612. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью 11х — 1Оу — 2» — 57 = О. 618*. )(оказат9ь что три плоскости х — 2у+2»+ 3=0 2х+2у+» — 6=0, 5х+ 14у — 2» — 21=0 образуют призму. Составить уравнения оси круглого цилиндра, вписанного в эту призму, и найти его радиус г. 614*. Грани тетраэдра заданы уравнениями 8х+ 4у + +» — 16=0, 2х — 2у+»+5=0, х+у+»+5=0, 4х+ +Зу=О. Написать уравнение плоскости, делящей пополам внутренний двугранный угол между первой и второй плоскостями.
615*. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр с вершинами (1, 2, 3), ( — 2, 8, 9), (5, О, 7), (3, 4, 2), 616в. Составить уравненвя прямой, проходящей через 1 точку (1, О, 0), отстоящей от оси 0» на расстояние —, и 'г 5 2 образующей с осью О» угол агссоз —. 3' 617. Найти расстояние от точки (1, 3, 5) до прямой 2х+у+» — 1 =0„ Зх+у+ 2» — 3.= О. 618. Найти расстояние от точки (1, 2, 5) до прямой х=1, у=1 — 21,- »=3+1. 619. Написать уравнения и найти длину Ь высоты треугольника, образованного линиями пересечения плоскости 9х + 12у + 20» — 60 = О с плоскостями координат, проведенной из вершины, лежащей на оси О».
аи ! 4 а. ввктояныв хд~лвнвння пяямои н плоскости 9! 620. Найти расстояние между двумя прямыми: 1) х=З+1, у= ! — 1, и х= — 1, у=2+ Зй 2) х+ Зу — з+ 1 = О, и 2х — Зу+з — 4=0 х+у+ — 9=0, 2х — у — я=О. 621. Найти расстояние между двумя параллельными пря- мыми: х — 2 у+1 д х — 7 у — ! г — 3 и 3 4 2 3 4 2 622.
Найти расстояние между диагональю куба и непересекающей ее диагональю грани, если ребро куба равно 1. 9 8. Векторные уравнения прямой и плоскости Постав к ов, гл. 3, 4 1, и. 2; 4 2, пп. 1, 5; 4 3, и. 3. 623. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М„=(гя) и коллинеарной вектору а. 624. Составить уравнение плоскости, проходя!цен через точку Мя ††(гя) и компланарной векторам а и Ь.
62б. Составить параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точку Ма=(га) и прямую г=гд+а1, не содержащую точки М,. 626. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Мя=(га) и перпендикулярной к вектору а. 627*. Составить уравнение плоскости„ проходяпдей через точку Ма=(га) и перпендикулярной к прямой пересечения двУх плоскостеи (г, пд)=В„ (г, пд)=д7я. 828е, Найти точку пересечения прямой г= га+ а! с плоскостью г=гд+ Ьи+со.
629*. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две прямые г=гд+ад1, г=гя+ад1: 1) скрещивались; .2) были компланарны; 3) пересекались; 4) были параллельны; 5) совпадали. 630"'. Найти ортогональную проекпию точки М,.=(гя) на прямую г=гд+а1. 631'". 1-!айти точку, симметричную точке Мя=(гя) относительно прямой г=гд+а1.
э2 Гл !Р, плоскость и пРямАя В пРостРАнстве ! бая 632*. Найти ортогональную проекпию точки Мв=(гв) на плоскость (г, и)+Р=О. 633еч Найти точкУ, симметРичнУю точке Мв=(гв) относительно плоскости (г, и) +Р= О, 634в. Найти оРтогональнУю пРоекпию точки Ма ††(га) на плоскость г=гт+сса+оЬ. 635*. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три плоскости (г, ва)+РА=О, Ь=1, 2, 3, имели единственную общую точку.
636*. Найти радиус-вектор г точки пересечения трех плоскостей (г, ма)+ РА=О, lг= 1, 2, 3. 637 ". Дана прямая г=га+ а1 и плоскость (г, и)+ Р=О. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямаю 1) пересекала плоскость; 2) была параллельна ей; 3) лежала в плоскости. 638. Через прямую г= гя+ а$ провести плоскость, перпендикулярную к плоскости (г, м)+Р= О. 639. Через прямую г=гт+ ат1 провести плоскость, коллннеарную прямой г=гя+ая~, при условии, что [ат, аа] ~0. 640в.
Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым г=гт+ад1, г=гя+ая1 при условии, что [а„ая] ~0. 641*. Составить уравнения перпендикуляра, опушенного из точки Мв=(га) на прямую г=гд+аХ. 642в. Найти условии, необходимые и достаточные для того, чтобы три плоскости (г, ма)+РА=О, Ь=1, 2, 3, образовывали призму. 643в. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три плоскости (г, и„)+ РА ††О, Ь= 1, 2, 3, имели единственную общую прямую.
644в. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы четыре плоскости (г, ва)+ РА — — О, Ь = 1, 2, 3, 4, образовывали тетраэдр. 645в. Вершины треугольника Лт, Л,, М, находятся в точках М,=-(г,), Л,=(г,), М,=(га). Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая г=га+ат пересекала плоскость треугольника в его внутренней точке. 646в. Даны две плоскости (г, и!)+Рт=О, (г, и,)+Р,=О. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали. 647*. Найти расстояние от кочки Ма=(га) до плоскости (ю, и)+Р=О.
$ Э. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 655 1 648в. Найти расстояние от точки А(о=(Го) до прямой Г=Г,+а1. 649 а. Найти расстояние ао между двумя прямыми Г = Гт+ ат1, Г=Го+аос ПРи условии, что; 1) [ат, ао) ФО (прямые скрещиваются или пересекаются); 2) [ат, ая)=О (прямые параллельны или совпадают). 660а. Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости (Г, а) + В = О, пересекающей прямую Г = Го+ ас и перпендикулярной к этой прямой, при условии, что (а, а) чь О. 661*. Локазать, что: 1) уравнение всякой прямой с направляющим вектором а может быть записано в виде [а, Г[=Ь, где (а, Ь)=0; 2) уравнение [а, Г)=Ь при условии а~О, (а, Ь)=0 определяет прямую с направляющим вектором а, проходящую чеРез точкУ с РадиУсом-вектоРом Го —— [Ь, а1 (а, а)' 9 9.
Метрические задачи на прямую и плоскость в аффинных координатах 662а. Найти расстояние ао от точки (хм уо) до плоскости Ах+Ву+Сг+г)=0, зная метрические коэффициенты йк базиса е„е„еа. 663а. Найти углы между двумя плоскостями, Атх+ Вту+ Стг+ ()т = О, А,х + В,у+ С,г+ йа = О, зная метрические коэффициенты Ак базиса ег, е,, еа. 664а.
Найти необходимое и достаточное условие перпен- дикулярности двух плоскостей, А,х+ Вгу+ Стг+ Вг = О, А,х+ В,у+ С,г+ Во = О, зная метрические коэффициенты я) базиса е„ем еа. 666"'. Найти угол ор, образуемйй прямой г — го у — уо г — го а Ь с с плоскостью Ах+Ву+Сг+с)=0, зная метрические коэффициенты 86 базиса ет, е„еа. 94 ГЛ !Ч ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 666 666*. Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой г — хп у — уп г — г, а Ь с и плоскости Ах+Ву+Сг+В=О, зная метрические коэффициенты лп базиса ет, е,, еа. 667*..Найти объем о ориентированного тетраэдра АВСО, заданного свОими вершинами: А=(х,', ут, гт), В=-(ха, уг, гя), С=(ха уа га) О=(хп ум гп) знаЯ метРические коэффициенты ип базиса, ет, еа, еэ ГЛАВА Ч ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 0 1.
Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве Александров, гл. П1, 1 2; гл. т'11!, $ 1, пп. 1, 2. М оде и он, гл. И1, $ 9о — 98. Постников, гл. 1, $ 3, п. 7; гл. 2, 1 1, и. 2. 1. Преобразование аф4инных координат на плоскости 658. Написать- формулы перехода от одной системы координат к другой, если началом первой системы является вершина А параллелограмма АВСО, а базисом — векторы АО, АВ; началом второй системы является вершина С, а базисом— векторы СВ, Сй. 669.
Даны две системы координат: Оху и О'х'у'. Относительно первой системы начало второй системы находится в точке О'=( — 4, 2), ось О'х' пересекает ось Ох в точке А=(2, О), а ось О'у' пересекает ось Оу в точке В= (О, 8). Принимая за базисные векторы второй системы векторы О'А и О'В, выразить координаты произвольной точки относительно первой системы через ее координаты во второй системе. 660. Даны две системы координат: Оху и О'х'у'. Координаты х и у произвольной точки относительно первой системы выражаются через ее координаты х' н у относительно второй системы следуюшими формулами: х=2х' — бу'+ 3, у = — х'+ 2у' — 2. Найти координаты начала второй системы и единичных векторов ее осей относительно первой системы.
661. Дан параллелограмм ОАСВ. Рассмотрим две системы координат, принимая за начало обеих систем вершину параллелограмма О, за единичные векторы осей Ох и Оу первой 96 Гл. ж пРеОБРАВОВАние кООРдинат [ 662 системы соответственно стороны параллелограмма ОА и ОВ, а за единичные векторы осей Ох' и Оу' второй системы соответственно векторы ОК и Оь (К и Š— середины сторон АС и ВС). Найти координаты вершнн параллелограмма во второй системе. 662. В треугольнике ОАВ проведены медианы АР и ВЕ, пересекающиеся в точке О'. Выразить координаты х и у произвольной точки относительно системы с началом в точке О и базнсными векторами ОА и ОВ через ее координаты х', у' в системе с началом О' н базисными векторами О'А и О'В.
663. В трапеции АВСР основание АР вдвое больше основания ВС; Π— точка пересечения ее боковых сторон, О'— точка пересечения диагоналей. Выразить координаты х и у произвольной точки относительно системы с началом в точке О и базисом ОВ, ОС через ее координаты в системе с началом О' и базисом О'В, О'С. 664"'. Найти формулы перехода от аффинной системы координат Оху, у которой ( ет( = ( ея(= 1, е„ е,=а, к такой прямоугольной системе Ох'у', положительными направлениями осей которой являются биссектрисы первого и второго координатных углов аффннной системы, а длины базисных векторов также равны 1. 666в. Найти формулы перехода от одной аффинной системы координат Оху с координатным углом а к другой аффинной системе координат Ох'у', если одноименные оси этих систем взаимно перпендикулярны, а разноименные образуют острые углы, причем (ет(=~ ея~=)е;)=~ ея'(=1.
666". Базисы ед, ея и ет, е' двух аффинных систем координат с общим началом связаны соотношениями (еь е") = = Ьа„т. е. (е е')=(е, е')=1, (е, е')=(е, е')=О. Найти формулы преобразования координат, если ~ет(=(ея(, е„е,=а. 667в. Относительно аффннной системы координат даны уравнения двух пересекающихся прямых Атх+Вту+СТ=О, Аях+В,у+Ся — — О и точка Е=(ха,уа), не лежащая ни на одной из этих прямых. Принимая эти прямые соответственно за ось ординат и за ось абсцисс, а точку Е за единичную $1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
