1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ао гл.ш. пгямля нл плоскости 1 ззз 383. Определить взаимное расположение пар прямых: 1) 2х+Зу — 1=0; 4х+бу — 7=0; 2) х=б+41, у= — 2 — 21; х=1 — 21, у=7+1; 3) Зх+Оу+6=0; х=2+ЗЕ, у= 384. Зная уравнения двух сторон параллелограмма х— — Зу=О и 2х+5у+6=0 и одну из его вершин С=(4, — 1), составить уравнения двух других сторон параллелограмма. 38б. Даны вершины треугольника: А=( — 1, 2), В=(З, — 1) и С=(0, 4). Написать уравнение прямой, проходяшей через вершину,А и параллельной стороне ВС. 386. Через точку М=(2, 5) провести прямую, равноудаленную от точек Р = ( — 1, 2) и 1;! = (5, 4).
387. Даны середины М,=(2, 3), М,=( — 1, 2) и Мз = =(4, 5) сторон треугольника. Составить уравнения сторон. 388. Составить уравнение прямой, параллельной двум параллельным прямым х+у — 1=-0, х+у — 13=0 и равноудаленной от них. 389. Составить уравнения прямых, равноудаленных от трех точек (1, 2), (3, 0), ( — 4, — 5). 390. Доказаттс для того, чтобы прямая Ах+Ву+С=О была параллельна прямой М,Мз, проходяшей через точки Мг=(хт, ут) и М,=(х,, у,)„необходимо и достаточно, чтобы Ах, + Ву, + С = Ах, + Ву, + С чь О.
391. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х — у — 1 = О,х — 2у — !О = О и точка пересечения его диагоналеи М.=(З, — 1). Написать уравнения двух других сторон параллелограмма. 392. Даны две смежные стороны параллелограмма А,х+Вту+С,=О, Аях+В,у+С,=О и точка пересечения его диагоналей М=(хз, уз). Написать уравнения двух других его сторон. 393."' Составить уравнения сторон пзраллелограмма АВСР, зная, что его диагонали пересекаются н точке М=(1, 6), а стороны АВ, ВС, СР и РА проходят соответственно через точки Р =(3, 0), Я =(6, 6), К =(5, 9), В=( — 5, 4).
394. Даны уравнения сторон параллелограмма АВСР: Зх+ 4у — 12 = 0 (АВ), 5х — 12у — 6 = 0 (АР) и середина !3! Е= — ! — 2, ) стороны ВС. Нзити уравнения двух других сто- 6) рон параллелограмма. а 3. ВЗАим!10е РАспОлОжение тРех пРямых 61 400 1 395. Дано уравнение Зх+4У вЂ” 12= — 0 стороны АВ параллелограмма АВСР, уравнение х+ 12у — 12 —. 0 диагонали 131 АС и середина Е=( — 2, — ) стороны ВС. Найти уравнения 6) сторон ВС, СР и АР.
9 3. Взаимное расположение трех прямых на плоскости. Пучок прямых Александров, гл. Н, 6 5. Моден ов, гл. Н, 44 60, 61. Постн и коз, гл. 3, 6 1, и. 3. Во всех задачах этого параграфа, кроме двух последних, система координат предполагается аффинной. В задачах 402 и 403 система координат предполагается прямоугольной. 396". Найти условия, необходимые и доста~очные для того, чтобы трн прямые Атх+ В,у+ С,= О, А,х+ Вау + + Се=О, Аах+Вау+Са — — 0 образовывали треугольник.
3970. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы трн прямые А,х+ Вду+С1=0, Аах+ Веу + +Се=О, Азх+ВаУ+Са — 0 имели единственнУю обн1Ую точку. 398. Найти взаимное расположение трех прямых в каждом из следуюших случаев: 1) х+2у+З=О, 2х+Зу+ 5= — О, х — у+7=0; 2) 2х+5у — 4=0, 7х+ у — 20=0, Зх+ 2у — 8=0.
3) х — у — 2=0, Зх+5у+4=0, Ох — бу+1=0; 4) 2х+Зу — 1=О, 4х+бу+5=0, 10х+15у — 7=0. 3990. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, СА и АВ соответственно в точках Р, ь) н й. Показать, что прямые АР, В1е и Сй проходят через одну точку. 4000. Стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС разделены точками Р, Я, й в отношениях: Вр 0.1 АФ ==Л, =.. ==р, = = Н. РС ОА ЙВ При каких необходимых и достаточных условиях: 1) прямые АР, ВС4 н Сй проходят через одну точку; 2) прямые АР, В6„1 и Сй параллельны. 62 [ 401 ГЛ. 1П.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ 401*. Стороны треугольника заданы уравнениями Атх+ + ВТУ+ Ст = О, А,х+ ВзУ+ С, = О, Азх + !ВзУ + Сз — — О. Нзписать уравнение его медиан!а, проведенной из точки пересечения первой и второй сторон. 402*.
Стороны треугольника заданы уравнениями А,х + + ВдУ+С1=0, Азх+В,У+С,=О, Азх+ВзУ+Сз=О. Составить уравнение высоты треугольника, опушенной из точки пересечения первых двух сторон на третью его сторону. 4030. Стороны треугольника заданы уравнениями А,х + + В у+С!=О Азх+Взу+Сз=О Азх+Взу+Сз=О. Написать уравнения биссектрис внутреннего угла треугольника, образовзнного первой и второй прямыми. й 4. Расположение точек относительно прямой Александров, гл.
Н, 46. Моде нов, гл. Н, $ 62. Постников, гл. 3, 4 1, п. 4. Во всех задачах этого параграфз система координат предполагается аффинной. 404. Даны две прямые 2х+Зу — 5=0, х — у — 1=0 и пять точек Р=(3, 1), О =(2, 2), [?=( — 2, 1), В=(1, — 1), Т=(4, О). Обозначая через АМВ тот из четырех углов, образованных данными прямыми, в котором лежит точка Р, а через СМ[7 — угол, ему вертикальный, установить, в каких углах лежат остальные четыре точки. 405. Две параллельные прямые 2х — бу + 6=0 и 2х— — 5у — 7=0 делят плоскость на три области: полосу, заключенную между этими прямыми, и две области вне этой полосы. Устанонить, каким областям принадлежат точки А=(2, 1), В = (3, 2), С=(1, 1), В=(2, 8), Е=(7, 1), В=( — 4, 6). 406. Даны две точки А=( — 3, 1) н В=(5, 4) и прямая х — 2у+ 1=0.
Установить, пересекает ли данная прямая отрезок АВ или его продолжение за точку А или за точку В. 407*. Даны две точки М,=(х„у,), Мз=(хз, у,) н.прямая Ах+Ву+С=О, причем Ахт+Вут+С=~Ахз+Вуз+ + С~ О. В каком отношении точка пересечения данной прямой с пРЯмой М,Мз делит напРавленный отРезок МТМз? 408. Даны четыре точки: А=(5, 3), В=(1, 2), С=(З, 0), В=(2, 4). Установить, принадлежнг ли точка М пересечения прямых АВ и Сь[ отрезкам АВ и СР или их продолжениям. еы1 а а.
головне перпяндикхлярности двкх прямых 63 409". При каком необходимом и достаточном условии точка (хе, уе) лежит между двумя параллельными прямыми Ах+Ву+С=О, Ах+Ву+Р=О? . 410. Даны три прямые: Ах+Ву+С=О, Ах+Ву+ + Р= О, Ах+ Ву+ Е= О. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы вторая прямая лежала в полосе, образованной первой и третьей прямыми. 411е. Дан треугольник АВС: А=(3, 1), В=( — 2, 4), С=(1, 0) и прямая х-7у+6=0. Установить, пересекает ли прямая стороны треугольника или их продолжения. 412з, Стороны треугольника АВС заданы уравнениями 2х — у+2=0 (АВ), х+у — 4=0 (ВС), 2х+у=О (СА). Определить положение ~очек И= (3, 1), Н= (7, — 6), Р = (3, 2) относительно данного треугольника.
413з. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка (хе, уе) лежала внутри треугольникз, образованного прямыми Атх+ Вту+Сд — — О, А,х+ Вау + +Се 0 Аах+Вау+Сз=О. 414з. Даны пересекающиеся прямые А,х+В,у+Сд — — О, Аах+Взу+Са=О и точка Ме — — (х„у,), не принадлежащая ни одной из данных прямых.
Найти направления сторон того из четырех углов, образованных данными прямыми, в котором лежит данная точка М. 416*. Стороны треугольника АВС ззданы уравнениями Зх — у+4=0 (АВ), 2х — у+1=0 (ВС), х — 2у=О (СА). Определить положение прямой 2х — у+3=0 относительно данного треугольника. ф 6. Условие перпендикулярности двух прямых Александров, гл. Ч, Я 7, 9. Моде ив в, гл. У, ЗЗ 65, 66, Постников, гл.
3,'З 1, п. 5. Во всех задачах этого параграфа система координат является прямоугольной. 416. Ланы вершины треугольника А=(4, 6), В=( — 4, 0) и С=( — 1, — 4). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. 417. Ланы две вершины треугольника А =-( — 6, 2), В = (2, — 2) и точка Н=(1, 2) пересечении его высот. Вычислить координаты третьей вершины С. ГЛ.
ПЬ ПРЯМАЯ ЫА ПЛОСКОСТИ [ 4!В 418. Даны две стороны треугольннка х+Зу — 1= О, Зх+бу — 6=0 и точка пересечения его высот (О, О). Найти третью сторону 1реугольннкд. 419. Зная вершину А=(3, — 4) треугольника АВС и урав- нения двух его высот 7х — 2у — 1 =0 и 2х — 7у — 6=0, написать уравнение стороны ВС. 420. В треугольнике АВС известны: сторона АВ, задан- ная уравнением 4х +у — 12=.=0, высота Вгт', заданная урав- нением бх — 4у — 15=0, и высота Агт', заданная уравнением 2х+ 2у — 9=0.
Найти вершину С этого треугольника. 421. Найти общую вершину М двух равнобедренных треугольников АМВ и СМ[7, зная концы их оснований А=(0, 0), В=(0, 1), С=( — 2, 1), В=(1, !). 422. Дано уравнение стороны прямоугольника 2х+Зу— — 6=0 и точка пересечения его диагоналей (5, 7).
Напи- сать уравнения остальных сторон прямоугольника, зная, что одна из них проходит через точку ( — 2, 1). 423. Найги проекцию точки ( — 5, 6) на прямую 7х — 13у — 105 = О, 424. Найти точку, симметричную точке М=( — 2, 9) от- носительно прямой 2х — Зу + 18 = О.. 425. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин (1, 7) н уравнения 2х+ Зу-10=0, х — 2у+ + 3=0 перпендикуляров„восставленных в серединах сто- рон, выходящих из этой вершины. 426*. Написать уравнения прямых, проходящих соответ- ственно через точки (15, 10) и (10, 5), зная, что прямая х+ 2у = 0 делит пополам угл!я, образуемые искомыми прямыми. 427*.
Вершина треугольника находится в точке ( — 2, 9), 'а биссектрисами двух его углов служат прямые 2х — Зу+ + 18=0, у+2=0. Написагь уравнение стороны треуголь- ника, противолежащей данной вершине. 428*. Написать уравнения сторон равнобедренной трапеции, зная середины ее оснований (1, 1), (2, 8) и точки (4, — 3), ( — 15, 14) на ее боковых сторонах. 429*. Дано уравнение стороны ромба х + Зу — 8=0 и уравнение его дна~опали 2х+у+ 4 =О.
Написать урав- нения остальных сторон ромба, зная, что точка ( — 9, — 1) лежит на сгороне, параллельной данной. 437 1 х О. УГЛЫ МЕЖДУ ДВУМЯ'ПРЯМЫМИ й 6. Углы между двумя прямыми Угол от одной прямой до другой Александров, гл. Ч, $ 9. Модевов, гл. Ч, Ц65, 66. Постников, гл. 3, $ 1, и. 5. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. 430*.
1(оказатеп если три прямые, образующие треугольник, занумерованы, числами 1, 2, 3, то три угла — угол от первой прямой до второй, угол от второй прямой до третьей и угол от третьей прямой до первой †являют одновременно либо внутренними углами треугольника, либо внешними его углами. 431 "'. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями Зх — у+6=0, х — у+4=0, х+2у=О. 432. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая 2х+Зу=О; его вершина находится в точке (2, 6); 3 тангенс угла при основании равен — . Написать уравнения 2 ' боковых сторон треугольника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
