1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Установить, какие из точек В, С, Р и Е лежат в одном двугранном угле с точкой А, какие в смежных с ним углах и какие в угле, к нему вертикальном. 558. Даны две параллельные плоскости Зх+4у+2а— — 10=0, Зх+4у+2а+5=0 и точки А=(1, 1, 1), В = (2, О, 0), С=(5, 6, 1), Р=( — 4, О, 1).Определить положение данных точек относительно данных плоскостей. 559. Даны две точки А=( — 3, 1, 5) и В=(5, 4, 2) и плоскость 2х — 4у + а + 14 =О. Установить, пересекает ли данная плоскость отрезок АВ, его продолжение за точку А или за точку В? 560*. Даны две точки Мт=(хт, ут, лт), Лв=(хв„ уе, ле) и плоскость Ах+Ву+Сл+Р=О. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная плоскость пересекала: 1) прямую ЛТМя; 2) отрезок МТМ, в его внутРенней точке; 3) пРодолжение отРезка МТМе за точкУ Мй 4) продолжение отрезка ЛтЛ за точку Ма.
561*. Даны две точки Лт=(хт, уд, ат), Л,=(х„ув, ла) и плоскость Ах+ Ву+ Сг+ Р= О, причем Ахт+ Вут + + Сат+ Р ~ Ахв+ Вув+ Свя+ Р Ф О. В каком отношении точка М пересечения прямой М,Мя с данной плоскостью делит направленный отрезок МТЛв. 562. Даны две параллельные плоскости Ах+ Ву+ +Си+ Р=О, Ах+Ву+Сл+Е=О (РчьЕ) и точка М = (хе,уе, зб). Через точку М проводится произвольная прямая, пересекающая данные плоскости соответственно в точках Р РЯ и Я, Найти отношение— Р4 Бто ! % а. ЙеРпендикулярность прямых и плОскОстеЙ 83 563*.
При каком необходимом и достаточном условии точка (ха, уе, га) лежит между двумя параллельными плоскостями Ах + Ву+ С«+ Р = О, Ах+ Ву + Сг + Е = О. 564*. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка (ха, уа, га) лежала внутри тетраэдра, образованного плоскостями А х+В у+Сг+ Р;=О, 1=1, 2, 3, 4. 565*. Грани тетраэдра заданы уравнениями Агх+Всу+ +С,г+Р,=О, 1=-1, 2, 3, 4. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка (ха, уа, «а) и вершина тетраэдра, противолежангая грани А,х+В;у+С,г+Р;=О, лежали по равные стороны от этой грани. 566а. Найти направлявшие векторы ребер трехгранного угла, образованного плоскостями Атх+ Вду+С,г+ Р, = О, Аах+ Ва У+ бег+ Ра — О, Аах+ Вау+ Саг+ Ра= 0 и содержащего внутри себя точку (ха, уа, га).
9 5. Перпендикулярность прямых и плоскостей Александров, гл. Ч, 4 !9; гл. Х, 44 8, 9. Моден он, гл. Ъ'!, Ц 88, 89. Постников, гл. 3, 4 2, н. б; 4 3, н. 3. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. 567. Написать уравнение плоскости, зная, что точка (2, 6, — 4) служит основанием перпендикуляра, опушенного из начала координат на эту плоскость. 566.
Ланы две точки: А =(3, — 2, 1), В=(6, О, 5). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В н перпендикулярной к прямой АВ. 569. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (1„ 2, 3) и (4, 5, 7) и перпендикулярной к плоскости х — у+2« — 4=0. 570.
Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости х+Зу+5« — 10=0 и проходящей через линию пересечения данной плоскости с плоскостью Оху. 88 ГЛ. ДЧ. ПЛОСКОСТЬ Н ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ! ОТ! 671. В пучке, определяемом плоскостями 2х +у — 3» + + 2=0 и 5х+бу — 4»+3=0, найти две перпендикулярные друг к другу плоскости, из которых одна проходит через точку (4, — 3, 1). 672. В пучке, определяемом плоскостями Зх+у — 2»вЂ” — 6=0 и х — 2у+5» — 1=0, найти плоскости, перпендикулярные к этим плоскостям. 573.
Написать уравнение плоскости, проходящей через прях вЂ У вЂ” Уо » †мую — = — = — и перпендикулярной к плоскости а Ь с А х + Ву + С» + Р = О. 574. Написать параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (хо, уо, »о) на плоскость Ах+Ву+ +С»+Р=О. 675. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (хд, уд, »д) и перпендикулярной к прямой х=хо+а1, у=уо+Ы»=»о+сй 576"'. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из »о У Уо » »о тОчки (хд, чд, »д) нд п17ЯмУю а Ь с 577.
Написать уравнения и найти длину а7 перпендикуляра, опущенного из точки ( — 3, 13, 7) на прямую х — 1 у — 2» — 3 3 — 4 1 578. Найти ортогональную проекцию точки (1, 3, 5) на прямую 2х+у +» — 1 = О, Зх +у+ 2» — 3 = О. 5794' Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (хд, уд, »,) и перпендикулярной к прямой Адх+ В,у+ Сд»+ Рд= О, Аох+ Вар+Со»+ Р,=О. 580. Найти ортогональную проекцию точки (1, 2, — 3) на плоскость бх — у+3» — 41=0.
581. Нзйти основание перпендикуляра, опупденного из х — 1 у — 2 а — 3 точки (9, 6, 4) на прямую 4 4 О 3 682. Найти точку, симметричную точке (1, 2, 3) относительно плоскости 2х — Зу+5» — 68=0. 683. Найти точку, симметричную точке (1, 2, 3) относительно прямой л — 8 у — Н а — 4 1 3 — ! ив ! $6. уГлы между пРямыми и плоскостями 87 л — 1 у — 2 « — 3 л — 1 у «+1 8 4 1 ' 2 — 2 1 и найти расстояние И между этими прямыми; 2) найти точки пересечения общего перпендикуляра к данным прямым с этими прямыми. 586.
Провести через точку пересечения плоскости х+ +у+« — 1=0 с прямой у=1, «+1=0 прямую, лежап!ую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой. 587. Ланы три плоскости: 2х+Зу — 4«+5=0, 2х — «+ + 3=0, х+у — «=0. Через линию пересечения двух первых плоскостей провести плоскость так, чтобы линия ее пересечения с третьей плоскостью была перпендикулярна к линии пересечения первой и второй плоскостей.
688*. Даны две плоскости: 2х+ Зу+ 4«+ 6 = О, 2х -у+« — 6 О. (1) (2) Найти плоскость (3) так, чтобы плоскость (2) делила пополам двугранные углы между плоскостями (1) и (3), 589в. К непересекающимся диагоналям граней куба, имеющих общее ребро, провести общий перпендикуляр. В каком отношении точки пересечения диагоналей с их общим перпендикуляром делят эти диагонали? й 6. Углы между прямыми и между плоскостями.
Угол между прямой и плоскостью Александров, гл. )г, 4 1О; гл. Х, 4 9. Моден о в, гл. Ъ'1, 44 88 — 90. Постников, гл. 3,42, п.б:43, и. 3. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. 590. '1ерез ось О«провести плоскость, образующую с плоскостью 2х+у — '!/ 5 « — 7=0 угол —. 3' 584. Составить уравнения проекции прямой х = 3+ 55 у = = — 1+1, «=4+4 на плоскость 2х — 2у+3« — 5=0. 585*. 1) Написать уравнения об!цего перпендикуляра к двум прямым: 33 ГЛ.
1Р. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ! 991 591. Через точку (1, 2, 3) провести плоскость, перпендикулярную к плоскости бх — 2у+ 5» — 10=0 и образующую с плоскостью х — 4у — 8»+12=0 угол —. 4' 592. Через линию пересечения плоскостей х+5у+»=О и х — »+ 4 = 0 провести плоскость, образующую угол — 4— с плоскостью х — 4у — 8»-!-12=0. 693. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую »+7 у — 6 г — 2 3 1 и образующей угол — с прямой х — у+»=О, х у+ + 2»=0.
694*. Найти тот угол между плоскостями 8х+4у+»+ + 1=0, 2х — 2у+»+ 1=0, в котором лежит точка (1, 1, 1). 696*. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы точка (ха, уя, »9) лежала в остром угле, образуемом двумя пересекающимися и не взаимно перпендикулярными плоскостями Адх+ В,у + Сд»+ О = О, Аях+В,у+С,»+ В9=0. 5969. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы все трн внутренних угла призмы, образованной плоскостями Аьх+ Вьу+ СА»+ 09 = О, )д = 1, 2, 3, были острыми.
597. Найти косинусы углов между прямыми Зх+у — »+1=0, х — у+1=0, и Зх — у -!- » = О 2х+ 2у — 5»+! = О. л у-1-! г — 1 698. Через прямую — = — = — провести такую 1 — ! О плоскость, чтобы острый угол между ее линиями пересечения с плоскостями Ох» и Оу» был равен —. 3' 699. Найти угол между прямой х+у — »=О, 2х — Зу+ +»=0 и плоскостью Зх+5у — 4»+2=0, 89 $ х РАсстОяния 600е. Показать, что три плоскости 11х + 10у + 2г =О, Зх+4у=О, 10х+11у+г+6=0 образуют призму, и нанти ее внутренний двугранный угол, образованный первой и второй плоскостями. 601е. Зная направляющие векторы ребер трехгранного угла 11, — 3, 41, 16, — 7, 21, 12, 5, — 36), найти направляющие косинусы луча, проходящего внутри этого трехгранного угла и обрааующего с его гранями равные углы.
602е. Трехгранный угол задан плоскостями х — у — 4а+ + 13=0, Зх+у — 4л+7=0, Зх — 5у — 4л+19=0 и его внутренней точкой (1, 3, 5). Наиаи направляющие косинусы луча, выходящего из вершины этого трехгранного угла и образующего с его ребрами равные между собой острые углы. Установить, проходит ли этот луч внутри или вне трехгранного угла. 0 7. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя прямыми Алекса н дров, гл.
Х, ЗЗ 8, 1О. М о де и о в, гл. У1, 44 86, 87, 93, 94. П о с т н н к о в, гл. 3, 4 2, и. 8; 5 3, п. 3. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. 603. Ланы вершины тетраэдра А=(О, О, 2), В=(З, О, 5), С=(1, 1, О) и .0=(4, 1, 2). Вычислить длину высоты, опущенной из вершины )2 на грань АВС 604. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости 2х+у — 4а+5=0 и отстоящей от точки (1, 2, О) на расстояние Р 21. 605. Написать уравнение плоскости, отсекающеи на осях координат отрезки, пропорциональные числам 1, 2, 3, и отстоящей от точки (3, 5, 7) на расстояние 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
