1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Система координат аффинная. 492. Лана точка А=(1, 2, 3). 1) Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки А на координатные плащ<ости. 2) Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из точки А на оси координат.
3) Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку А и перпендикулярных к осям координат. Система координат прямоугольная. 493. В пространстве дана прямая — = - — =5. Найти нал д 2 3 правляющий вектор этой прямой. Система координат аффинная. 494. 1) Составить уравнения прямой, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, соответственно равные 2 и 3. 2) Написать уравнение плоскости, проходящей через эту прямую и параллельной оси Ою Система координат аффинная. 495.
Написать уравнения прямой, лежащей в плоскости Оул„ параллельной оси Оу и отсекающей на оси Ол отрезок, равный 3. Система координат аффинная. зов 1 о 1. составление уРАВнеиии пРямых и плоскостеп 73 496. 1) Написать уравнения плоскостей, проходящих через ось О«и 'делящих пополам двугранные углы, образованные координатными плоскостями Ох«и Оу«. 2) Написать уравнения биссектрисы угла между положительными направлениями осей Ох и Оу.
Система координат прямоугольная. 497. Представить прямую— «о У вЂ” Уо « — «о как лил Ь с нию пересечения плоскостей, параллельных осям Ох и Оу. Система координзт аффинная. 498. Найти ортогональные проекции прямой = — = — на координатные плоскости Оу«, О«х, Оху. У Уо ««о Ь с Система координат прямоугольная. 499. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями (О, ут, «,), (ло, О, «,). Вычислить координаты точки пересечения этой же прямой с третьей координатной плоскостью. Система координат аффинная. 500в. Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости У+2«=О и пересекающей прямые х=1 — 1, у=1, «=41 и х=2 — Ь, у=4+25 «=1, Система координат аффинная. 501в.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку (3, — 1, — 4), пересекающей ось Оу и коллинеарной плоскости у+2«=0. Система координат аффинная. 502. Составить параметрические уравнения и общее уравнение плоскости, проходящей через точку (2, 3, — 5) и пзраллельной векторам ( — 5, 6, 41 и 12, — 1„0). Система координат аффинная. 608. Написать общее уравнение плоскости по ее пзраметрическим уравнениям «=2+Зи — 4о, у=4 — о, «=2+За. Система координат аффинная.
604*. В плоскости, проходящей через три точки А = =(2, 1, 3), В=(2, 4, О), С=( — 3, О, 4)„выбрана аффинная система координат с началом в точке А и базисными векторами АВ и АС. Найти: 1) пространственные координаты точки А4, имеющей в плоскостной системе координаты и=5, о=З; 2) плоскостные координаты и и о точки пересечения данной плоскости с осью О«. Система координат аффинная. 605*.
В плоскости 2х+Зу — 4«+ 12=0 выбрана аффинная система координат, начало которой находится в точке С пересечения этой плоскости с осью О«, а концы базисных 74 Гл. [ж плОскОсть и пРямАя В пРОстРАнстВе [ 506 векторов соответственно в точках А и В пересечения плоскости с осями Ох и Оу. 1) Найти пространственные координаты х, у, л точки Е этой плоскости, плоскостные координаты которой и= 1, о= 1. 2) Написать в плоскостной системе координат уравнения прямых АВ, ВС и СА.
3) Написать в плоскостной системе координат уравнение прямой пересечения данной плоскости с плоскостью бх + + Зл — 8=0. Система координат аффинная. 506. В тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью 2х+ Зу — ба+ 10 = О, вписан куб так, что одна из его вершин лежит в начале координат, три ребра, выходящих из этой вершины, направлены по осям координат, а вершина, противоположная началу координат, лежит в данной плоскости.
Определить длину ребра куба. Система координат прямоугольная. 507. Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, соответственно равные 5 и — 7, и проходящей через точку (1, 1, 2). Система координат аффинная. 508. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1, 2, 3), параллельной прямой х=у = л и отсекающей на осях Ох и Оу равные отрезки. Система координат аффинная.
509. Найти объем тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью, проходящей через точку (3, 5, — 7) и отсекающей на осях координат равные отрезки. Система координат прямоугольная, 510. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и равноудаленной от точек (2, 7, 3) и ( — 1, 1, О), Система координат аффинная. 511. Ланы вершины тетраэдра: А=(2, 1, О), В=(1, 3, 5), С=(6, 3, 4), Р=(0, — 7, 8).
Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую АВ и равноудаленной от вершин С и Р. Система координат аффи~н[ая. 512ч. Лапы четыре вершины тетраэдра". А=(3, 5, — 1), В=(7, 5, 3), С=(9, — 1, 5), Р=(5, 3, — 3). Написать уравнения плоскостей, равноудаленных от всех вершин тетраэдра. Система координат аффинпая.
513. Составить уравнение плоскосги, проходящей через прямую х= 2+ ЗС у = — 1+ 6[, а =-4г и коллинеарной прямой х =- — 1+ 2[, у = — 3[, г = — Е Система координат аффинпая. ага ! $ е сОстАВление уРАВненип пРямых и плоскостеп 73 514.
Составить уравнение плоскости, проходяшей через точку ( — 2, 3, 0) и через прямую х=1, у=2+1, г=2 — 1. Система координат аффинная. 515в. Ланы три прямые: х=З+1, у= — 1+21, а=41; х = — 2+ 31, у = — 1, г =- 4 — 1; х — Зу+а= О, х+у — а+4=0. Написать уравнения прямой, пересекаюшей первые две из данных прямых и параллельной третьей прямой.
Система координаг аффинная. 516в. Написать уравнения прямой, проходягцей через точку (1, 2, 3) и пересекающей прямые х у+! г — 2 х у+2 г И 2 — 2 1 4 О 3 Система координат аффинная. 517*. Показать, что прямые х= 1+ 21, у= 21, и х=11+81,у=6+41, а=2+! Пересекаются, и нзписать уравнения биссектрисы - тупого угла между ними. Система координат прямоугольная. б18. Написать уравнения биссектрисы тупого угла между прямой х — 2у — 5=0, 1 у — 4г+ 14=0 и ее ортогональной проекцией на плоскость х+у+1=О.
Система координат прямоугольная. б19*. Через прямую 2х=у=2г провести плоскость р так, чтобы данная прямая была биссектрисой угла, образуемого линиями пересечения плоскости р с плоскостями у= О и х+у=О. Система координат прямоугольная. 520.
Составить уравнения проекции прямой х — 2 у — 1 г 3 — 2 ! из точки (1, 2, !) на плоскость у — 2г+ 4 = — О. Система координат аффинная. 76 Гл. !ч. плОскость и пРямАя В пРОстРАнстВе 152! 521. Вершина равнобедренного треугольника находится в точке (3, 4, 6); концы его основания лежат на осях Ох и Оу, а плоскость треугольника параллельна оси Ох.
Найти угол при вершине треугольника и написать уравнение его плоскости. Система координат прямоугольная. 522е. Найти геометрическое место точек, делящих в одном и том же отношении огрезки с концами на двух скрещивзюшихся прямых. 528"'..71оказать, что шесть плоскостей, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра АВСР и через середину противоположно~о ему ребра, пересекзются в одной точке. 2 2. Взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости Л ли к сандрин, гл. Х, 4 1, и. 4; 44 3, 6. Моденов, гл.
Н1, 44 76, 79,80. Постников, гл. 3, 4 2, и. 3; 4 3, и. 2. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается аффинной. 524. Нзйти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскость Ах+Ву+Сз+Р=О; 1) была параллельна плоскости Оху; 2) пересекала плоскость Оху; 3) совпадала с плоскостью Оху. 626. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскость Ах+Ву+Сз+Р=О: 1) пересекала ось Ояй 2) была параллельна ей; 3) проходила через ось Ох.
526. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая — = — = †: 1) пересекала х — хе У вЂ” Ье х — хе. а Ь с плоскость Оху; 2) была параллельна ей; 3) лежала в этой плоскости. 527. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая Атх+Вту+Стх+Рт=О; А,х+В,у+ + С,з+ Р,=О: 1) пересекала плоскость Оху; 2) была параллельна ей; 3) лежалз в этой плоскости. 528. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая ' = ~' = — '. 1) скрещивалась а Ь с с осью Ох; 2) пересекала ось Ох! 3) была параллельна ей; 4) совпадала с осью Ох. азт 1 $ д Взаимное Расположение пРямых и плОскОстеЙ 77 529.
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая Адх+Вду+Сдг+Вд=О, Аах+В,у+Саг+. + В,=О: 1) скрещивалась с осью Ог; 2) пересекала ось Ог; 3) была ей параллельна; 4) совпадала с осью Ог. б30. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают: 1) 2х+Зу+4г — 12=0, Зх — Оу+1=0; 2) Зх — 2у — Зг+ 5=0, 9х — бу — 9г — 5=0; 3) 2х — у — г — 3=0, 1Ох — 5у — бг — 15=0. б31". Ланы две плоскости Адх+ Вду+С г+ В = О, Аах+Вау+Сдг+Вя=О. С помощью рангов г и )д' матриц (Ад Вд Сд) (Ад Вд Сд Рдд выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскости: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали. б32. Установить, какие из следудощих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают: 1) х=1+и+з, х=З+2и, у=2+и, у=2 — 2и+4з, а=3+и †; г=1+ и+Зз; 2) х=1+и+з, х=1+4и,' у=-2+и, у=Зи+з, «= 3+и — з; г=4+ 2и+ 2з; 3) х=1+и+з, х= — 1+2и+з, у=2+и, у=и+2з, в=3+и — з; г=1+Зз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
