1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 10
Текст из файла (страница 10)
317. Даны две точки: АТ=( — а, О), Аа=(а, О). Найти геометрическое место точек пересечения прямых, проходяшнх через точки А, и А„ и отсекаюших на оси ординат отрезки, произведение которых равно Ь', б Ь УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ 5! зяб ] 318э. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым.
Точка М делит этот отрезок на два отрезка, длины которых а,и Ь. Найти линию, описываемую точкой М. при движении отрезка. 319. Дана окружность ха+уз=па. Во что обратится эта окружность, если, не меняя збсцисс ее точек, уменьшить их ординаты в Ь разг 320. Даны две окружности с центром в начале координат О и радиусами а и Ь, причем а) Ь. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий эти окружности соответственно в точках А и В. Через точки А и В проводятся прямые, перпендикулярные соответственно к осям Ох и Оу и пересекающиеся в точке М.
Найти линию, описываемую точкой М при вращении' луча. 321э. Даны две точки Гт и Г„на расстоянии 2с друг от друга. Найти геометрическое место точек, абсолютная величина равности расс~ояний которых до точек Ь, и Гз равна 2а при условии, что с) а. 322*. Даны точка Ь; прямая Н и положительное число е~ ]. Найти геометрическое месго точек, отношение расстояний которых от точки Ь' к расстоянию до прямой и' равно е. 323". Найти геометрическое место точек, равноудаленных от точки Р и прямой г], отстоящей от точки Ь' на расстояние р. 324. Даны две точки, Ат=( — а, О), Аз=(а, О), Найти геометрическое место точек пересечения прямых, отсекающих на оси ординат отрезки, произведение которых равно — Ьз.
326. Вокруг точки О вращается луч с постоянной угловой скоростью ю. По этому лучу движется точка М с постоянной скоростью о. Составить уравнение линии, описываемой точкой М, в полярных координатах, если в нзчальный момент движения луч совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а точка М вЂ” с началом координат О. 326*. Даны две точки Рт и Ьа на расстоянии 2с друг от друга. Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до точек Рд ига равно са принимая за начало координат середину отрезка Р'~Еа, а за ось абсцисс пРЯмУю РТЬ'б. ПеРейти к соответствУющей системе полярных координат. Гл и. ЕРАВнення линиЙ и повеРхностеп ! аят 327.
В прямоугольных треугольниках, образованных осями координат и пересекающими их прямыми, 'лежащих в первой и третьей четвертях и имеющих одну и ту же площадь л) О, опускаются перпендикуляры из начала координат на гипотенузу. Найти геометрическое место оснований этих перпендикуляров. 328*. На окружности радиуса а взяты две диаметрально противоположные точки О и К и в точке К к окружности проведена касательная. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий окружность и касательную соответственно в точках А и В. На этом луче от точки О откладывается отрезок ОМ = — АВ.
Написать уравнение линии, описываемой точкой М при вращении луча, в полярных и прямоугольных координатах, принимая за начало координат точку О, а за положительное направление оси Ох направление ОК. 329ч. Ланы точка О и прямая 1 на расстоянии а от точки О. Вокруг точки О вращается луч. Пусть прямая, содержащая этот луч, пересекает прямую 1 в переменной точке В. На прямой ОВ о.г точки В в направлении луча откладывается отрезок ВМ, ! ВМ ) = — Ь. Найти уравнение линии, описываемой точкой М при вращении луча, в обобщенных полярных и прямоугольных координатах, принимая за начало координат точку О, х за положительное направление оси Ох луч ОА, где А — основание перпендикуляра из точки О на прямую 1.
ЗЗОв. На окружности взяты две диаметрально противоположные точки О и А, причем ~ ОА ~=а. Вокруг точки О вращается луч. Пусть  — переменная точка пересечения прямой, содержащей этот луч, с окружностью. На прямой ОВ от точки В в направлении луча откладывается отрезок ВМ длины Ь. Написать в обобщенных полярных и прямоугольных координатах уравнение линии, описываемой точкой М при вращении луча, принимая за начало координат точку О и за положительное направление оси Ох направление ОА. 331.
Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опушенных из неподвижной точки на касательные к окружности. 332*. Лана окружность радиуса а и на ней две диаметрально противоположные точки О и А. Вокруг точки О вращается луч. Пусть прямая, содержащая этот луч, пересекает окружность в переменной точке В. На этой прямой от точки В зза 1 з е уРАВнения линии нА плоскости в направлении луча откладывается отрезок ВМ, равный диаметру окружности.
Написать в обобщенных полярных и прямоугольных координатах уравнение линии, описываемой точкой М при вращении луча, принимая за нзчало координат точку О, а за положительное нзправление оси Ох луч ОА. 333з. Дана точка О и прямая 1. Пусть А — основание перпендикулярз, опушенного из точки О на прямую 1, причем ) ОА (=а. Вокруг точки О вращается луч и на прямой, содер.жащей этот луч, от точки В ее пересечения с прямой 7 откладывается отрезок ВМ=АВ, причем точка М берется на продолжении отрезка ОВ за точку В для всех положений луча по одну сторону от ОА и на отрезке ОВ для всех положений луча по другую сторону от ОА. Написать урзвнение линии, описывземой точкой М при вращении луча, в обобщенных полярных и прямоугольных координатах, принимая за начало координат точку О, а за положителыюе направление оси Ох луч ОА.
334. Отрезок постоянной длины 2а скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Найти линию, описываемую при этом движении отрезка основанием перпендикуляра, опушенного из точки пересечения прямых на отрезок (в обобщенных полярных и прямоугольных координатах). 335з.
Дана окружность с центром О и радиусом а и две перпендикулярные прямые Ох и Оу. Г!о окружности перемещается точка А и из нее опускзются перпендикуляры АВ на Ож, АС на Оу и АМ на ВС. Написать параметрические уравнения линии, описываемой точкой М при перемещении точки А по окружности, принимая за параметр угол 1, образуемый лучом ОА с осью Ох. Написать уравнение этой линии в декартовых координатах. 336.
На окружности взяты две диаметрально противоположные точки О и Ки вточкеКкокружностипроведенакасательная. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий окружность и касательную соответственно в точках А и В. Через точку А проведена прямая, параллельная касзтельной, а через точку  — прямая, параллельная диаметру ОК. Написать параметрические уравнения линии, описываемой точкой М пересечения этих прямых, принимая за начало координат точку О, за 54 Гл. И.
УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ [ 337 положительное направление осн Ох направление ОК и за параметр угол ~р, образуемый лучом ОА с лучом ОК. Написзть полученное уравнение в декартовых координатах. 337е. По оси Ох без скольжения катится окружность радиуса а. Составить параметрические уравнения линий, описываемой той точкой М катящейся окружности, которая в начальный момент находилась в начале координат, принимая за параметр 1 угол от радиуса СМ окружности, идущего в точку М, до радиуса СА, идущего в точку А касания. 338е.
Круг радиуса г катится по кругу радиуса )т, оставаясь вне его. Найти параметрические уравнения линии, описываемой точкой катящегося круга, принимая за начало координат центр неподвижного круга, а зз параметр угол 1 между положительным направлением оси абсцисс и радиусом неподвижного круга, идущим в точку касания обоих кругов. В начальном положении точка касания кругов лежит на оси абсцисс.
339*. Круг радиуса г катится по кругу радиуса )т, оставаясь внутри него. Написать параметрические уравнения линии, описываемой точкой катящегося круга. Выбор системы координат и обозначений такой же, как и в предыдущей вадаче. 340. Показать, что: 1) при Й=4г гипоциклоида обращается в астроиду; 2) при Й=2г гипоциклоида обращается в диаметр неподвижного круга. 3) при гг=г эпициклоида обращается в кардиоиду. 341*.
По окружности ха+уз=га катится прямая, начальное положение которой х=г. Написать параметрические уравнения линии, описываемой точкой М катящейся прямой, принимзя за параметр угол 1, обрззуемый с осью Ох радиусом, идущим в точку касания. В начальный момент движения точка занимает положение (г, О). 3 2. Уравнения поверхностей и линий в пространстве Во всех задачах итого параграфа система координат предполагается прямоугольной. -342.
Написать уравнения: 1) плоскостей координат Оуе, Оех, Оху; 2) плоскостей, проходящих через точку (а, Ь, с) и параллельных плоскостям координат Оуг, Огх, Оху; 3) плоскостей, делящих пополам двугранные углы между координатными плоскостями Охг и Оуж заа1 Э 2. пОВеРхнОсти и линии В пРОстРАнстВе Ьб 343. Написать уравнение плоскости, зная длину р перпендикуляра, опущенного на эту плоскость иэ начала коорди-' нат, и углы а, р, 7 этого перпендикуляра с осями координат. 344. Написать уравнение поверхности шара радиуса !т: 1) с пентром в начале координат; 2) с центром в точке (а, Ь, с). 346.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
