1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Даны два вектора: а=13, 5), Ь=11, 4). Нанти вектор Ь', перпендикулярный к вектору Ь, равный ему по длине и направленный так, чтобы упорядоченные пары векторов а, Ь и а, Ь' имели противоположную ориентацию. 168. Даны три вектора: а, Ь, Ь'. Векторы Ь и Ь' перпендикулярны друг к другу и образуют с вектором а острые углы. Установить, имеют ли пары а, Ь и а, Ь' одинаковую или противоположную ориентацию. 1598.
Ланы две упорядоченные пары лучей а» ая и ат ая. Лучи этих пар, имеющие один и тот же номер, образуют острый угол, а лучи с рваными номерами перпендикулярны друг к другу. Установить, имеют ли эти пэры лучей одинаковую или противоположную ориентацию.
1608. Найти кординаты вектора а'=1х', у'), являюптегося ортогональиой проекцией вектора а= (х, у) на прямую, наклоненную к оси Ох под углом ~р. 161. Вектор а,' имеет длину 717 и наклонен к базисному вектору ет под углом 97;, вектор а, имеет длину Ия и наклонен к ед под углом гра. Найти координаты векторз а = = йт+ля. 162. Вектор ат образует с базисным вектором ет угол грг и имеет длину И,; вектор ая образует с вектором ат угол и имеет длину да. Найти кординаты вектора а = ='От+Из.
1638. Дан вектор а=)х, у). Найти вектор а'=(х', у'), получающийся поворотом вектора а на угол ~р. 164. Даны две точки А=(2, 1) и В=15, 5). Найти конец вектора АС, получающегося из вектора АВ поворотом на бп угол —. 6' 165. Даны две соседние вершины квадрата А=( — 3, 2) и В=(2, 4). Найти две другие вершины. 166. Даны две противоположные вершины квадрзта А = ( — 3, 2), В=(5, — 4). Найти две другие его вершины С и В.
167. Вершина равнобедренного треугольника находится в точке А =(2, 1), а один из концов его основания в точке В= (7, — 4). Найти другой его конец С, зная, что угол при 3 вершине А равен агссоз — и что треугольник АВС имеет 5 положительную ориентацию, ГЛ.Д. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ! Гав 168ь. Конпы основания равнобедренного треугольника находятся в точках А=( — 4, 2), В=(4, — 4). Найти координаты вершины С этого треугольника, зная, что углы при его основании равны агс1е ь/ и что треугольник АВС имеет положительную ориентапию.
169». Дан пентр В(ха, уь) правильного п-угольника АдАв...А„и его вершина Ад=(хд, у,). Найти остальные его верщины при условии, что упорядоченная пара векторов ВАд, УАв имеет положительную ориентапию. 170. )(аны две вершины треугольника А =(1, 2), 1 В=(3, 4) и тангенсы его внутренних углов 1Я А = — — , 2' 1 1иВ= —. Найти третью вершину С треугольника при усло- 3' вин, что треугольник АВС имеет положительную ориентацию.
2. Площадь треугольника 171ь. Стороны ВС, СА и АВ треугольника АВС точками Р, ьг, К разделены в отношениях ВР С1г АР РС 72А КВ Найти отношение площади ориентированного треугольника РЦК к плоидадн ориенгированного треугольника АВС. 172в. Пусть Р, (;1, й — точки пересечения биссектрис внугренннх углов А, В, С треугольника АВС со сторонами !ВС( = а, 1СА ~= о, !АВ) = е. Найти отношение плошади ориентированного треугольника РСгй к плошади ориентированного треугольника АВС. 173в. Пусть Р, Я, й — основания перпендикуляров, опущенных из вершин А, В, С треугольника АВС на противолежащие им стороны. Г!айти огношение площади ориенпы рованного треугольника Р1гй к плошади ориентированного треугольника АВС, зная его внутренние углы А, В, С.
Г!ри каком условии треугольники АВС и РСК имеют одинаковую ориентапию 7 174. Пусть Р, О, К вЂ” ~очки касания окружности, вписанной в треугольник АВС, со сторонами ВС, СА, АВ. Найти отношение плошади ориентированного треугольника Р(ГК к плошади ориенгированного треугольника АВС, зная длины его сторон а, (д, с. 31 1аа 1 $ а ОРиентАция НРОстРАнствА ф 9. Ориентация пространства. Векторное н смешанное произведение Александров, гл. 1Х, 44 1, 3, 4. М оде но в, гл. 1Ч, 44 4! — 43.
П о с т и н к о в, гл. 1, 4 4; 4 6, и. б. Во всех задачах этого параграфа, где встречаются координаты, система координат предполагзегся пряьго> гольной. 175. Даны два вектора а=10, 1, 1) и Ь=»1, 1, 0). Найти вектор с длины 1, перпендикулярный к векгору а, образующий с вектором Ь угол — и направленный так, чтобы 4 упорядоченная тройка векторов а, Ь, с имела положительную ориентацию. 176. Даны два вектора а=»1, 1, 1) и Ь=»1, О, О». Найти вектор с длины 1, перпендикулярный к вектору а, образующий с вектором Ь угол — и направленный так, чтобы 3 упорядоченная тройка векторов а, Ь, с имела положительную ориентацию. 177. Ланы три вектора: а =»8, 4, 1), Ь =»2, 2, 1), с=»1, 1, 1».
Найти вектор 41 длины 1, образующий с векторами а и Ь рваные углы, перпендикулярный к вектору с н направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, Ь, 41 имели одинаковую ориентацию. 178. Даны три вектора: а=»8, 4, 1), Ь=»2, — 2, 1), с=(1, 1, 1).
Найти вектор 41 длины 1, компланарный векторам а и Ь, перпендикулярный к вектору с н направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а,д,с имели противоположную ориентацию. 179. Из начала координат выходит луч, образующий с положительными направлениями осей Ох и Оу углы, соответственно равные — и —, а с положительным направлением 4 3' оси Оа тупой угол. Найти углы, образуемые с положительными направлениями осей Ох, Оу, Оа лучом, выходящим из начала координат, лежащим в плоскости Оуа, перпендикулярным к данному лучу и направленным так, чтобы положительный луч оси Ох, данный луч и искомый луч составляли упорядоченную тройку положительной ориентации.
180'. Ланы три вектора: ОА = »8, 4, 1), ОВ= »2, — 2, 1), ОС= 14, О, 3), отложенные от одной точки О. Найти напра- 32 Гл. е вектоРнАя АлГеБРА 1 1а1 вляющие косинусы луча, выходящего из точки О и образующего с ребрами ОА, ОВ, ОС трехгранного угла ОАВС равные острые углы. Установить, лежит лн этот луч внутри или вне трехгранного угла ОАВС. 181'". Лзны три луча ОА, ОВ, ОС, не лежащие в одной плоскости. Внутри углов АОВ, ВОС и СОА взяты соответственно лучи ОВ, ОЕ н 0~.
Установить, будут ли упорядоченные тройки лучей ОА, ОВ, ОС и ОО, ОЕ', ОВ иметь одинаковую или про гивоположную ориентацию. 182". Ланы две упорядоченные тройки лучей а„пя, аа и а', на, аз, в которых лучи с одинаковыми номерами образуют острый угол, а лучи с разными номерами перпендикулярны друг к другу. Устзновить, имеют ли эти тройки лучей одинаковую или противоположную ориентацию. 183.
Лзны два вектора: а=111, 10, 2) и 6=14, О, 3), Найти вектор с длины 1, перпендикулярный к векторам а и Ь и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов а, Ь, с имела положительную ориентацию. 184. Ланы три вектора: а= 18, 4, 1), Ь= 12, — 2, 1), с= 14, О, 3). Найти чегвертый вектор 41 длины 1, перпендикулярный к векторам а и Ь и направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, Ь, г) имели одинаковую ориентацию. 186. Ланы два лучз.
Первый луч составляет с осями и п 2л координат углы —, --., —, а второй — равные между собой 4' 3' 3' тупые углы. Найти направляющие косинусы третьего луча, перпендикулярного к двум данным лучам и образующего с ними тройку положительной ориентации. 186. Из начала координат выходят два луча, ОМТ и ОМя, образующие с осями координат углы сгт, рт ут в сгя, ря, гя. Найти направляющие косинусы луча ОМ, выходящего из начала координат, перпендикулярного к обоим данным лучам и направленного так, чтобы тройка лучей ОМТ, ОМ„ОМ имела положительную ориентацию.
187'". Одна из вершин параллелепипеда АВСЙА'В'С'О' находится в точке А=(1, 2, 3), а концы выходящих из нее ребер — в точках В=(9, 6, 4), О= (3, О, 4), А' = (5, 2, 6). Найти угол <р между диагональю АСг и плоскостью грани АВСО этого параллелепипеда. ив 1 5 9. ОРИЕНТАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА 188:". Пусть А', В', С', Р' — точки пересечения медиан граней ВСР, СРА, АВР и АВС тстраэдра АВСР.
Найти отношение объема ориентированного тетраэдра А'В'С'Р' к объему ориентированного тетраэдра АВСР. 189. Вычислить площадь треугольникз, вершины которого находятся в точках А =( — 1, О, — 1), В=(О, 2, — 3), С =(4, 4, 1). 190. Вычислить объем пзраллелепипеда АВСРА'В'С'Р', зная его вершину А=(1, 2, 3) и концы выходяидих из нее ребер В=(9, 6, 4), Р=(3, О, 4), А' =(5, 2, 6). 191 *. Вычислить объем параллелепипеда, зная длины ]ОА]=а, [ОВ]=Ь, ]ОС[=с трех его ребер, выходящих из одной его вершины О, и углы ~ ВОС=и, ~ СОА=р, ~ АОВ=у между ними. 192о. Три вектора а, Ь, с связаны соотношениями а=[Ь, с], Ь=[с, а], с=[а, Ь].
Найти длины этих векторов и углы между ними. 193*. Доказатеь что если три вектора а, Ь; с не коллинеарны, то из равенств [а, Ь]=[Ь, с]=[с, а] вытекает соотношение а+Ь+с=0 и обратно. 194. Локазать„что если [а, Ь]+[Ь, с]+[с, а]=0, то векторы а, Ь, с компланарны. 196о. Локазатаь что если векторы [а, Ь], [Ь, с], [с, а] компланарпы, то они коллинеарны. 196*. Нз одной точки проведены три некомпланарных вектора а, Ь, с. Локазать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору [а, Ь] + + [Ь, с]+[с, а].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
