1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Найти точки ее пересечения с биссектрисами координатных углов. 62. Найти центр М и радиус г окружности, описанной около треугольника с вершинами ( — 2, — 2), (2, 6), (5, — 3), 63. Зная две противоположные вершины ромба А= (8, — '3) и С=(10, 11), найти две другие его вершины при условии, что длина стороны ромба равна 10. 64. Найти центр окружности, проходящей через точку ( — 4, 2) и касающейся оси Ох в точке (2, О). 66.
Найти центр и радиус окружности, проходящей через точку (2, — 1) и касающейся обеих осей координат. 66. Найти центр и радиус окружности, проходящей через точки (6, О) и (24, О) и касающейся оси Оу. 67. Дан прямоугольный треугольник АОВ: О=(0, О), А=(4, О), В=(0, 3). Найти центр М и радиус г окружности, касаюгдейся оси Ох, проходящей через точку В и име[ощей центр на прялюй АВ. 2.
Расстояние лгежду двумя точкалш в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы 68. Ланы четыре точки А=(1, 2, 3), В=(5, 2, 3), С= (2, 5, 3), О=(1, 2, — 1). Найти центр и радиус сферы, проходящей через эти тОчки. гэ ! 4 ь ялсстоянни мвждх двхмя точклмн !9 69*. На плоскостях координат найти точки, которые вместе с началом координат служили бы вершинами правил!.- ного тетраэдра с ребром, равным единице, лежащего в первом октанте. 70.
Найти точку А4, отстоящую от точки А=( — 4, О, 1) на расстояние 9, зная направляющие косинусы вектора ОА4: /з /з /а. 71. Вершины треугольника находятся в точках А=(2, — 1, 3), В=(4, О, 1), С=( — 1О, 5, 3). Найти направляющие косинусы биссектрисы угла АВС. 72. Луч обрззует с осями Ол и Оу углы, соответственно равные -- и —, а с осью О» — тупой угол. Найтн этот 4 3' угол. 73. Вычислить координаты вектора, длина которого равна 8, зная, что он образует с осью Ох угол 4, с осею λ— угол —.-, а с осью Оу — острый угол.
3 74. Найти координаты вектора, длина которого равна 5, а углы а, 1), 7, обрззуемые им с положительными направлениями осей Ох, Оу, О», связаны соогношением з!ига:з(п Р: з(п7= 3: 4: б. 76. Найти углы грп гр„гра, образуемые вектором 16, 2, 9) с плоскостями координат Оу», О»л, Оху.
76. Луч, выходящий из начала координат, образует с осями координат углы гь, !), 7. Найти направляющие косинусы проекции этого луча на плоскость Оху. 77в. Доказать, что если плоскость отсекает на осях координат отрезки, длины которых равны а, Ь и с, то длина перпендикуляра р, опущенного на эту плоскость из начала координат, удовлетворяет соотношению ! ! ! ! + + а Ь га Л~' 78. Из одной точки проведены векторы а=( — 3, О, 4) и Ь=(б, — 2, — 14).
Найти едвничный вектор, который, будучи отложен от той же точки, делит пополам угол между векторами а и Ь. 79*. Два луча, выходящие из начала координат, образуют с осЯми кооРдинат Углы ац Рм уг и сгь Р„Уь Найти направляющие косинусы биссектрисы угла между этими лучами. 20 ГЛ.!. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1 80 ф б. Леление отрезка в данном отношении Александров, гл. 1, 4 6; гл. Ш, 3 3, М о д е и о в, гл. 1, 4 5. Постников, гл.
'2, 4 1, и. 3. 1. Деленгге огпрезка в даняолг огляошеяин на прямой 80. На оси координат даны три точки: А=(2), В =(7), С=(4). Найти: 1) отношение, в котором точка С делит отрезок АВ; 2 2) точку Р, делящую отрезок АВ в отношении 3' 3) середину Е отрезка СВ; 4) отношение, в котором точка Е делит отрезок АЙ 81*. Точка М делит отрезок АВ в отношении Х. В каком отношении делит отрезок АВ точка М', симметричная точке М относительно середины отрезка АВ. 82в. Пусть точка С делит направленный отрезок АВ в опшшенни Х Ф- 1, точка В делит тот же отрезок в отношении — Х, а точка Е является серединой отрезка Сй.
1) Найти отношение, в котором точка Е делит ,отрезок АВ. 2) Локазать, что при любом АчЫ1 точка Е лежит вне отрезка АВ. 83. 1.!а оси координат даны три точки О = (О), Е=(1), М=(х). Найти отношение, в котором точка О делит направленный отрезок МЕ.
84в. На прямой даны три точки. Точка С делит направленный отрезок АВ в отношении )гни О. Найти отношение, в котором каждая из точек А, В, С делит направленный отрезок, определяемый двумя другими. АР Агт А!1 88"'. Пусть — = Л, == р, ==-гг а(р~т). Найти отно- РВ фВ ВВ шение, в котором точка)т' делит отрезок РЯ. АР А~ РВ 88'". Пусть —.. =г., ==р, ==в. Найти отношение.
РВ ОВ в когором точка гс делит отрезок АВ. 87. Ланы три точки А=(1), В=(2), С=(4). Найти точку 0 так, чтобы четверка точек А, В, С, В была 'гармонической. аа! за. ДвЛвннк ОтгВЗКл В данном отношении 2! 88. Доказать, что если пара точек С, Р гармонически разделяет пару А, В„ то 2 ! ! — = — + —, а и 2 где х, у, з — соответственно координаты векторов АВ, АС' и АР. 89. Доказать, что если отрезок АВ делится точкой О пополам, а точками С и Р гармонически, то аа=сг7, где а, с, ь! — координаты точек А, С, Р в системе координат с началом в точке О. 2. Деление отрезка в данном отношении на илоскослги 90.
Один из концов отрезка АВ' находится в точке А = (2, 3), его серединой служит точка А4=(1, — 2). Найти другой конец отрезка. Система координат аффинная. 91. Даны середины сторон треугольника (2, 4), ( — 3, 0), (2, 1). Найти его вершины. Система координат аффинная. 92. Даны две смежные вершин!я параллелограмма АВСР: Л =( — 4, — 7) и В=(2, 6) и точка пересечения его диагоналей М=(3, 1), Найти две другие вершины параллелограмма. Система координат аффипная.
98. На осях Ох и Оу отложены соответственно отрезки (ОЛ!=8, !ОВ!=4. Найти отношение, в котором основание перпендикуляра, опущенного на прямую АВ из начала координат, делит отрезок АВ. Система координат прямоугольная. 94. Вершины треугольника АВС находятся в точках (хп у,), (х„у,), (ха, уа). Найти точку (ха, уа) пересечения медиан этого треугольника. Система координат аффинная. 95. Ланы три последовательные вершины трапеции А=( — 2, — 3), В=(1, 4), С=(3, 1).
Най~и четвертую ее вершину Р при условии, что основание ЛР в пять раз больше основания ВС. Найти также точку А4 пересечения диагоналей и точку 8 пересечения боковых сторон трапеции. Система координат аффинная. 98. Дана точка А=(2, 4). Найти точку В при условии, что точка С пересечения прямой АВ с осью ординат делит Гл.!, ВектоРнля АлГеБРА [ 91 2 отрезок АВ в отношении, равном, а точка 11 пересече- 3 ния прямой АВ с осью абсцисс делит отрезок АВ в отноше- 3 нии — —. Система координат аффинная.
4' 97. Ланы две точки А=(9, — 1) и В=( — 2, 6). В каком отношении делит отрезок АВ точка С пересечения прямой АВ с биссектрисой второго и четвертого 'координатных углов? Система координат прямоугольная. 98. Найти две точки, А и В, зная, что точка С=( — 5, 4) 3 делит отрезок АВ в отношении —, а точка В=(6, — 5)— 4' 2 в отношении —. Система координат аффинная. 3' 99. В треугольнике с вершинами А=(5, 4), В=-( — 1, 2), С=(5, 1) проведена медиана АВ. Найти ее длину.
Система координат прямоугольная. 100. Дан треугольник с вершинами А=(4, 1), В=(7, 5), С=( — 4, 7). Вычислить длину биссектрисы А0 угла ВАС. Система координат прямоугольная. 101*. Найти центр М и радиус г круга, вписанного в треугольник с вершинами (9, 2), (О, 20), ( — 15, — 10). Система координат прямоугольная. 102. Найти точку пересечения общих касательных двух окружностей, центры которых С,=(2, 5) и Са=( †, †), 1' 22 3[ [3' 3 а радиусы соответственно равны 3 и 7. Система координат аффинная.
108в. Даны три последовательные вершины трапеции А =( — 1, — 2), В=(1, 3), С=(9, 9). Найти четвертую вершину 7? этой трапеции, (точку А4 пересечения ее диагоналей и точку В пересечения боковых сторон, зная, что длина ее основания АВ равна 15. Система координат прямоугольная.
104. В трех точках А=~7, — ), В=(6, 7) и С=(2, 4) 31 2)' помещены массы, соответственно равные 3; 5; 2. Определить центр тяжести этой системы точек. Система координат аффинная. 105. Найти координаты центра тяжести однородного стержня, согнутого под прямым углом, если длины его час- 11а1 $ а деление Отвезкл В дАннОм ОтнОшении 23 тей ! ОА ~ = 2, ! ОВ ! = 5, принимая за начало координат точку О, а за положительные направления осей Ох и Оу соответственно направления ОА и ОВ.
106в. Найти координаты центра тяжести проволочного треугольника, длины сторон которого 3, 4 и 5, направляя ось абсцисс по меньшему, а ось ординат по большему катету треугольника. 107'". Доказать, что четырехугольник АВСР с вершинами А=(1, 2), В=( — 3, 1), С=( — 1, — 5), Р=(3, — 1) выпуклый.
Система координат аффинная. 106"'. Проверить, что четырехугольник АВСР с вершинами А=(4, 4), В=(б, 7), С=(10, 10), Р=(12, 4) является выпуклым, и найти центр тяжести четырехугольной однородной пластинки с вершинами в точках А, В, С, Р. 3. Деление отрезка в данном отношении в пространстве 109. Даны две вершины треугольника: А=( — 4, — 1, 2) и В=(3, 5, — 16). Найти третью вершину С, зная, что сере- дина стороны АС лежит на оси Оу, а середина стороны ВС на плоскости Охж Система координат аффинная. 11О. Найти отношение, в котором плоскость Оуа дели г отреаок АВ: А=(2, — 1, 7) и В=(4, 5, — 2). Система коор- динат аффинная. 111*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
