1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ИРОизВеденияВектОРОВ В АФФин.кООРдинАтах 39 и углы АОО=гри ВО~Э=грв, СОО=<рв, образуемые диагонзлью ОО с ребрами ОА, ОВ, ОС, найти длины ребер ОА, ОВ, ОС, если длина диагонали ОО равна 41. 246*. Базисы ед, е„ев и ед, ев, ев называются взаимными, если (ед, ев)=64,' (1, 7'=1, 2, 3), т. е. 1 при (ед, еу)= 0 при ! -,А.у. Найти вектоРы ед, вв, ев базиса, взаимного с базисом ед, ев ев. 247в. Найти скалярное произведение векторов, один из котоРых задан своими кооРдинатами х', хв, хв в базисе Ед, е„ев, а дРУгой — кооРдинатами У„Ув, Ув в базисе е', ев, ев, взаимном с базисом е,, е„ев.
248в. Зная метрические коэффициенты дд! базиса ен ев, ев, найти метрические коэффициенты 6 » базиса ед, ев, ев, взаимного с базисом е„ е„ е,. 249в. Относительно базиса е„ ев, ев с метрическими коэффициентами ддд дан вектоР х=(хд, хв,хв). Найти кооР- динаты х„ хв, хв этого вектора в базисе, взаимном с данным. 260в.
Длины век~оров базиса е,, ем ев равны 1, а углы между ними равны †. Найти длины векторов базиса е', е, е, и 2 в 3' взаимного с данным, и углы между ними. 261 в. Зная метрические коэффициенты д.дт базиса е„ев, е, найти координаты векторов этого базиса во взаимном с ним базисе ед, ев, ев. 262'". Пусть вм вв, йв и ед, ев, ев — вааимные базисы. Найти углы 64 между векторами ев и ед(4=1, 2, 3), зная метРические коэффициенты Ад базиса ед, е,, еэ 263*.
Пусть е„ев, ев и е', е', е — взаимные базисы. Найти углы 34 между векторами е! и ед(1=1, 2, 3), если )вд(=~е, )=~ ев)=1, е„ев=оддв, ем ев=одвв, ем е,=доки 264 . Доказать, что если )ед(=)ев!=!ев(=1, е,, ев=одвв, ев,ед=одв„ед,зв=оддв то Угол 0 междУ вектоРами 42 и Ь определяется из соотношения ! СОВ Фдв СОВ Фа СОВ ад Сдм аа 1 СОВ ам ООВ ав сов одвд сов ым ! сов ав сов Рд ам Рв ссв рв сов 0 1 Яаа 4О гл, ь Впктогнля ллгсвпд где ан сся, сг, и 11н Рм Ра — Углы вектоРов а и Ь с бачисными векторами е„ ем еа соответственно. 255в. Относительно базиса ем ем ез даны кооРдипаты векторов а и Ь:а= 1х', хя, ха1, Ь=1у', уя, уа1.
Найти координаты «„ «м «а векторного произведения 1гт, Ь'1 в базисе е'„ еа, е', взаимном с бависом ем ея, еа. 9 11. Барнцентрические координаты А л е к с а я д р о в, гл. Х1Ъ', а 4. Постников, гл. 2, $1, и. б. 1. Бирицентричесмие иоординаягы иа прямой Лг =.=. Аод4 А Аг' Ло= —— МАг АоХт 259в. Пусть Ло, Лт — барипептрические координаты точки М прямой АоА, относительно базисного отрезка А,Ан Найти отношение, в котором точка М делит отрезок АоАы 266*. Пусть Л„Л, — барипентрические координаты точки М прямой й относительно базисного отрезка АоАг, т. е. Лт— координата точки М в системе координат с началом в точке Ао и базисным вектором А,Ан а Ло —— 1 — Ле Доказать, что если го, г„ г — радиусы-векторы точек А„ А,, М относительно полюса О, то г= Лого+ Л,г,.
Обратно: каковы бы ни были числа Ло, Лм сумма когорых равна 1, Ло + Лт= 1, точка М, определяемая радиусом-вектором г =Лого + Л,г,, лежит на прямой д и имеет относителыю базисного отрезка АоАт барицентрические координаты Ло, Л,. Если полюс О не лежит на прямой й, то Ло, Лд — аффинпые координаты точки М в системе координат с началом в точке О и базисом г„г,. 257 в. Пусть Л,, Л, — барипентрические координаты точки М относительно базисного отрезка АоАм «гоказать, что Ло является координатой точки М в системе координат с началом в точке А, и базисным вектором А,Ао, а Лд =1 — Ло.
258в. 11оказать, что если Ло, Лт — барипентрические координаты точки М относительно базисного отрезка АоА„то ябз ! % ц. БАРицвнтвическне коовдинлты 41 260. Пусть Лб, Лт — барицентрические координаты точки М относительно базисного отрезка АбА,. Локазать: 1) для того, чтобы точка М лежала внутри базисного отрезка А,Ам необходимо и достаточно, чтобы обе ее барицентрические координаты были положительны; 2) для того, чтобы точка М лежзлз на продолжении отрезка АбА, за точку Аб, необходимо и достаточно, чтобы было Лб) О, Лд< 0; для того, чтобы точка М лежала па продолжении отрезка АбА, за точку Ат, необходимо и достаточно, чтобы было Лб(0, Лт>0; 3) для того, чтобы точка М совпадала с точкой А„ необходимо н достаточно, чтобы было Лб —— -1, Лг=-0; для того, чтобы точка М совпадзла с точкой А„ необходимо и достаточно, чтобы было Лб —= О, Л,=- 1.
261*. Пусть Лб, Л, и рб, р, — бзрипентрические координаты точек Мм Мб пРЯмой АбАт о~носительно базисного отрезка АбА,. Найти барицентрические координаты точки М, делящей направленный отрезок МтМа в отношении Л. 2. Барит4ентрические координаты на плоскости 262*. Пусть Лб, Ль Ля — барицентрические координаты точки М плоскости н относительно базисного треугольника АбА Ая, т. е. Ло Ля — аффинные координаты точки М в системе координат с началом в точке Аб и базисными векторами АбА„ А,А,, а Ле†— 1 — Л, — Л,. Доказать, что если еб, ем е„ г — РадиУсы-вектоРы точек Аб, Ао Ая, М относительно полюса О, то г=Лбгб+Л,е,+Ляля. Обратно: каковы бы ии были числа Лб, Лп Ля, сумма которых равна 1, Л,+Л,+Л,=1, точка М, определяемая радиусом-вектором г= — Лбгб+Л,гд+ + Лзеа, лебкит в плоскости н и относительно базисного 1Реугольника АбАтА, имеет барицентрические координаты Лб, Л, Ля.
Если полюс О не лежит в плоскости и, то Лб, Ло Л,— аффинные координаты точки М в системе координзт с началом О и базисными векторами еб, гм г,. 263*. Пусть Л,, Лп Ла — барицентрические координаты точки М относительно базисного треугольника АбА,А,. Доказать, что: !) Ла, Л, являются аффипными координатами точки М в системе координат с началом в точке Ат и базисом АтА,„ АтА„а Л,=1 — Лб — Л,; 42 ГЛ. Ь ВЕКТОРНАН АЛГЕБРА 2) )„„Лд являются аффинными координатами точки М в системе координат с началом в точке Ая и бааисом АяА„, АяАР а Ля=1 — Ло — Лд 264*. Пусть Лм Лм Ля — барипентрические координаты точки М относительно базисного треугольника АБАдАа. Доказать, что: 1) если Л =О, то Л, и Л, являются барипентрическими координатами точки М на прямой АБАд с базисным отрезком АБАд; 2) если Ля==О, то Л, и Ля являются барипентрическими координатами точки М на прямой А,Аа с базисным отрезком АдАя; 3) если Лд — — О, то Ла и Л, являются барипептрическими координатами точки М на прямой АБАЯ с базисным отрезком АБАЯ.
266*. Доказать, что барипентрические координатная, Л,, Ля точки М относительно базисного треугольника АБА,А, равны отношениям площадей ориентированных треугольниковМА,Аа, АБМАя, А~АГМ к плошади ориентированного треугольника АБАдАБ. 266в )(оказать, что барипентрические координаты Ла, Лд, Л, точки М относительно базисного треугольника АБАГАя равны (г гд гд) ) (гь г гд) ) (гм гд, г) (гег„гд)' д (г„г,, г,)' я (г„г,, г)' где гм гд, г„ г — соответственно радиусы-векторы точек А, Ад, Ая, М относительно полюса, не лежащего в плоскости базисного треугольника. 267в. Пусть Ля, Л„ Ля — барипентрические координаты точки М относительно базисного треугольника АБА,АБ.
Йоказать, что: 1) точка М лежит внутри базисного треугольника АБА,Аа тогда и только тогда, когда Ля ) О, Лд ) О, Л, ) О; 2) точки Ая и М лежат по разные стороны от прямой АГАа тогда и только тогда, когда Ля ( О; точки Ад и М лежат по разные стороны от прямой АБАЯ тогда и только тогда, когда Лд ( О; точки А, и М лежат по разные стороны от прямой АБАд тогда и только тогда, когда Ла ( О; 3) точка М лежит на прямой АБАд тогда и только тогда, когда Ля=О; 43 % И.
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Я73 1 4) вершины Ао, Ат, А, базисного треугольника А,А,А, имеют соответственно следуюшие тройки барицентрических координат: Ло=?, Л1=0, Л,=-О; Л =О, Лт — — 1, Л,.=О; Л =О, Л,=-О, Л =1. 268*. Точка М относительно базисного треугольника АоА,А, имеет барицентрические координаты Л,, Л„ Л,.
Найти отношение, в котором точка Р пересечения прямой А„М с прямой АоА, делит направленный отрезок А,А,. 266в. Стороны АТА, и АяА, базисного треугольника АоА,А, разделены точками Р и Я в отношениях. соответственно равных Л и р. Найти барицентрические координаты точки М пересечения прямых А„Р и А1Я. 270в.
Относительно аффинной системы координат на плоскости заданы четыре точки Ао(.хо уо) А1(хт, ут) А (х„ у,), М (х, у). Пус1ь Л„ Л1, Л, — барицентрнческие координаты точки М относительно базисного треугольника АоА1Ая. Выразить координаты х и у точки М через ее баРицентРические кооРдинаты Ло, Лт, Ло и обРатно: выРазить Ло Лт, Ля через х и у. 271*. Относите71ьно аффинной системы координат стороны треугольника АоАТА, заданы уравнениями: Аох+ВоУ+Со=б (А1Ая) Атх+Вту+С1=0 (АяАа)~ Аях+ Воу+ Со = О (АоА,).
Принимая треугольник АоА1Ая за базисный треугольник барицентрической системы координат, выразить барицентрические координаты Л„Л,, Ля точки М через ее аффинные координаты х, у. 272в. Относительно аффинной системы координат даны четыРе точки Ао(хв Уо) А1(х„У7), Ая(хя, У,), Ао(ха, Уо). При каком необходимом и достаточном условии зти точки служат вершинами выпуклого четырехугольника. 273*. Относительно базисного треугольника АоА,А, заданы три точки своими барицентрическими координатами: Мо(Ло Лм Лм) Мт(Ро Ри Ря) Мя(то тм тя).
)Локазать, что Ло Л1 "о В=а ро р1 ро то тт то гл. к ВектОРИАя Алгеввл 4 т4 где Я и в †соответствен площади ориентированных треугольников МаМтМя и АрАтА,. 274в. Относительно базисного треугольника АаАтАя дэны две точки своими барипентрическими координатами: Мт(Ла, Лм Ля) и Мя(ра, ри р,). Найти барицентрическне координаты точки М, делящей направленный отрезок МтМя в отношении й. 275в. Принимая треугольник АВС за базисный, найти бзрицентрические координаты точки пересечения его медиан.
276е. Знзя длины а, Ь, с сторон ВС, СА и ЛВ треугольника АВС н принимая этот треугольник за базисный, найти барицентрические координаты центра О окружности, вписанной в этот треугольник. 277"'. Зная внутренние углы А, В, С треугольннкз ЛВС, найти барнцентрические координаты Ла, Лм Л, центра О описанной вокруг него окружности. 278"'. Зная внутренние углы А, В, С треугольника АВС, найти барицентрические координаты Лм Л„ г, точки И' пересечения его высот, принимая треугольник ЛВС за базисный. 279в.
Доказать, что всякая прямая на плоскости в бзрицекп рическях координатах определяется однородным уравнением первой степени ааЛа+ а,Л, + а,Л, = О, причем среди чисел а,, а,, а, есть, по крайней мере, два рззличных. Обратно: если среди чисел аа, ат„ ая есть, по крайней мере, два различных, то уравнение авЛо+ а,Л, + аяЛъ = О является уравнением прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
